Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Bài 6.25 trang 24 Toán 9 Tập 2:

Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 20, uv = 99;

b) u + v = 2, uv = 15.

Bài 6.26 trang 24 Toán 9 Tập 2:

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì đa thức $a{x}^2+bx+c$ được phân tích được thành nhân tử sau: $a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2+11x+18$;

b) $3x^2+5x-2$.$a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=a{x}^2-ax\left(x_1+x_2\right)+a{x}_1{x}_2$

Vì phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ nên theo định lí Viète ta có:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a};x_1.x_2=\frac{c}{a}$.

Thay vào biểu thức $a{x}^2-ax\left(x_1+x_2\right)+a{x}_1{x}_2$ ta có:

$a{x}^2-ax.\frac{-b}{a}+a.\frac{c}{a}=a{x}^2+bx+c$

a) Giải phương trình $x^2+11x+18=0$:

Ta có: $\mathrm{\Delta }={11}^2-4.1.18=49>0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{-11+\sqrt{49}}{2}=-2;x_2=\frac{-11-\sqrt{49}}{2}=-9$

Do đó, $x^2+11x+18=\left(x+2\right)\left(x+9\right)$.

b) Giải phương trình $3x^2+5x-2=0$:

Ta có: $\mathrm{\Delta }=5^2-4.3.(-2)=49>0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}{6}=\frac{1}{3};x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}{6}=-2$

Do đó, $3x^2+5x-2=3\left(x+2\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$.

Bài 6.27 trang 24 Toán 9 Tập 2:

Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m² và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi của mảnh vườn là: $74:2=37\left(m\right).$

Khi đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình:

$x^2-37x+300=0$

Ta có: $\mathrm{\Delta }={\left(-37\right)}^2-4.1.300=169>0,\sqrt{\mathrm{\Delta }}=13.$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{37+13}{2}=25;x_2=\frac{37-13}{2}=12$

Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12m và 25m.

Chú ý khi giải: Trong hình chữ nhật, chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng.