Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng
Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 2 trang 24, giúp các em nắm vững kiến thức và luyện giải môn Toán lớp 9. Mời các bạn tham khảo.
Giải Toán 9 trang 24
Bài 6.23 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
а) x2 – 12x + 8 = 0;
b) 2x2 + 11x – 5 =0;
c) 3x2 – 10 = 0;
d) x2 – x + 3 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 
\(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 8.1 = 28 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 12;{x_1}.{x_2} = 8\)
b) Ta có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.\left( { - 5} \right) = 161 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 11}}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 5}}{2}\)
c) Ta có:\(\Delta ' = {0^2} - 3.\left( { - 10} \right) = 30 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có:\({x_1} + {x_2} = 0;{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 10}}{3}\)
d) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = - 11 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
Bài 6.24 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
а) 2x2 – 9x + 7 = 0;
b) 3x2 + 11x + 8 = 0;
c) 7x2 – 15x + 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm x1 = 2.
Hướng dẫn giải
a) Vì a + b + c = 2 - 9 + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{7}{2}.\)
b) Vì a - b + c = 3 - 11 + 8 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{ - 8}}{3}.\)
c) Gọi \({x_2}\)là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète ta có: \({x_1}.{x_2} = \frac{2}{7}.\)
Do đó,\({x_2} = \frac{2}{7}:2 = \frac{1}{7}.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = \frac{1}{7}.\)
Bài 6.25 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Tìm hai số u và v, biết:
a) u + v = 20, uv = 99;
b) u + v = 2, uv = 15.
Bài 6.26 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \({x^2} + 11x + 18\);
b) \(3{x^2} + 5x - 2\).\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)
Vì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) nên theo định lí Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Thay vào biểu thức \(a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta có:
\(a{x^2} - ax.\frac{{ - b}}{a} + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c\)
a) Giải phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\):
Ta có: \(\operatorname\Delta\;=11^2-4.1.18=49>0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_1=\frac{-11+\sqrt{49}}2=\;-2;x_2=\frac{-11-\sqrt{49}}2=\;-9\)
Do đó, \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\).
b) Giải phương trình \(3{x^2} + 5x - 2 = 0\):
Ta có: \(\operatorname\Delta\;=5^2-4.3.{(-2)}=49>0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}6=\frac13;x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}6=\;-2\)
Do đó, \(3{x^2} + 5x - 2 = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\).
Bài 6.27 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m2 và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.
Hướng dẫn giải:
Nửa chu vi của mảnh vườn là: \(74:2 = 37\left( m \right).\)
Khi đó, chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 37x + 300 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 37} \right)^2} - 4.1.300 = 169 > 0,\sqrt \Delta = 13.\)
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{37 + 13}}{2} = 25;{x_2} = \frac{{37 - 13}}{2} = 12\)
Vậy chiều rộng và chiều dài của bể bơi lần lượt là 12m và 25m.
Chú ý khi giải: Trong hình chữ nhật, chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng.
