Toán 9 Kết nối tri thức: Bài tập cuối chương 9

Giải Toán 9 – Bài tập cuối chương 9 (Kết nối tri thức) cung cấp lời giải chi tiết, rõ ràng cho từng bài tập, giúp học sinh tổng hợp và ôn luyện toàn bộ kiến thức trọng tâm của chương. Đây là phần luyện tập quan trọng giúp các em tự đánh giá mức độ hiểu bài, củng cố kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho bài kiểm tra cuối chương. Nội dung được trình bày logic, dễ theo dõi, hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả và tiết kiệm thời gian.

Bài 9.37 trang 92 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn.

B. Góc có hai cạnh chứa các dây cung của đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.

C. Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn.

D. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

⦁ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. Do đó phương án A là sai và phương án C là đúng.

⦁ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó nên phương án B và D là sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 9.38 trang 92 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có \(\widehat {A}-\widehat {C}=100^{\circ}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\widehat {A}\)=80°.

B. \(\widehat {C}\)=80°.

C. \(\widehat {B} +\widehat {D}\)=100°.

D. \(\widehat {A}\)=140°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°, do đó \(\widehat {B} +\widehat {D}\)=180°; \(\widehat {A}+\widehat {C}\)=180°.

Mà \(\widehat {A}-\widehat {C}\)=100° nên \(\widehat {A}\)=180°+100°2=140° và \(\widehat {C}\)=180°−100°2=40°.

Bài 9.39 trang 92

Đa giác nào dưới đây không nội tiếp một đường tròn?

A. Đa giác đều.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Tam giác.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Các tam giác, hình chữ nhật, đa giác đều là các đa giác nội tiếp được một đường tròn.

Hình bình hành không là đa giác nội tiếp đường tròn.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 9.40 trang 92 

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên HE ⊥ AE và HF ⊥ AF.

Vì ∆AEH vuông tại E nên đường tròn ngoại tiếp của tam giác có tâm I, đường kính AH. Do đó ba điểm A, E, H cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AH.

Vì ∆AFH vuông tại F nên đường tròn ngoại tiếp của tam giác có tâm I, đường kính AH. Do đó ba điểm A, F, H cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AH.

Suy ra bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AH.

Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AH.

b)

Xét ∆IAF có IA = IF (do A, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AH) nên ∆IAF cân tại I, suy ra \(\widehat {IAF}=\widehat {IFA}\).(1)

Xét ∆BCF vuông tại F có FM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên FM = MB = MC = 12BC.

Xét ∆BMF có MB = MF nên ∆BMF cân tại M, suy ra \(\widehat {MFB}=\widehat {MBF}\).(2)

Kéo dài AH cắt BC tại D, khi đó AD là đường cao của tam giác ABC.

Xét ∆ABD vuông tại D, ta có:

\(\widehat {BAD}+\widehat {ABD}\)=90° (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Do đó ˆIFA+ˆMFB=ˆIAF+ˆMBF=ˆBAD+ˆABD=90°.

Lại có \(\widehat {IFA}+\widehat {MFB}=\widehat {IAF}+\widehat {MBF}=\widehat {BAD}+\widehat {ABD}=90^{\circ}\)=180°

Suy ra \(\widehat {IFM}=180^{\circ} -(\widehat {IFA}+\widehat {MFB})\)=180°−90°=90°.

Hay MF ⊥ IF, mà IF là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Do đó MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Tương tự, ta cũng chứng minh được ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Vậy ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Bài 9.41 trang 92 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng các tứ giác ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Mà M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên OM, ON, OP là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó OM ⊥ BC, ON ⊥ CA, OP ⊥ AB.

Vì ∆OAN vuông tại N nên tam giác nội tiếp đường tròn có đường kính OA. Do đó O, A, N nằm trên đường tròn đường kính OA.

Vì ∆OAP vuông tại P nên tam giác nội tiếp đường tròn đường kính OA. Do đó O, A, P nằm trên đường tròn đường kính OA.

Suy ra bốn điểm A, N, O, P nằm trên đường tròn đường kính OA.

Vì vậy, tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Chứng minh tương tự, ta có BPOM nội tiếp đường tròn đường kính OB, CMON nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Vậy ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.