Toán 9 Kết nối tri thức Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng
Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 54, 55, 56, 57.
Giải Toán 9 KNTT bài 12
Giải SGK Toán 9 Trang 74
Hoạt động 1 Trang 74 Toán 9 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và cạnh góc vuông b, c (H.4.12).
a) Viết các tỉ số lượng giác sin, côsin của góc B và góc C theo độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và các tỉ số lượng giác nói trên của góc B và góc C.
Hướng dẫn giải:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}; \ \cos B=\frac{AB}{BC} =\frac{c}{a}\)
\(\sin C=\frac{AB}{BC} =\frac{c}{a}; \ \cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}\)
b) Ta có:
- \(\sin B=\frac{b}{a}\) nên \(b = a . \sin B\)
- \(\cos B=\frac{c}{a}\) nên \(c = a . \cos B\)
- \(\sin C=\frac{c}{a}\) nên \(c = a . \sin C\)
- \(\cos C=\frac{b}{a}\) nên \(b = a . \cos C\)
Giải SGK Toán 9 Trang 75
Luyện tập 1 Trang 75 Toán 9 Tập 11. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 65o (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?
2. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? (H.4.15).
Hướng dẫn giải:
1) Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng là:
3 . cos 65o ≈ 1,27 (m)
2) Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác cos, ta có
\(\cos\alpha=\frac{250}{320}=0,78125\)
Suy ra α ≈ 38o 37'
Hoạt động 2 Trang 75 Toán 9 Tập 1Xét tam giác ABC trong Hình 4.16.
a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc B và góc C theo b, c.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác nói trên của góc B và góc C.
Hướng dẫn giải:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}; \ \cot B=\frac{AB}{AC} =\frac{c}{b}\)
\(\tan C=\frac{AB}{AC} =\frac{c}{b}; \ \cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}\)
b) Ta có:
\(\tan B=\frac{b}{c}\) nên \(b = c . \tan B\)
\(\cot B=\frac{c}{b}\) nên \(c = b . \cot B\)
\(\tan C=\frac{c}{b}\) nên \(c = b . \tan C\)
\(\cot C=\frac{b}{c}\) nên \(b = c . \cot C\)
Giải SGK Toán 9 Trang 76
Luyện tập 2 Trang 76 Toán 9 Tập 1Bóng trên mặt đất của một cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 40o (H.4,18).
Hướng dẫn giải:
Ta nhận thấy chiều cao h của cây đối diện với góc 40o (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và bóng của cây trên mặt đất).
Theo định lí 2, ta có:
h = 25 . tan 40o ≈ 21,0 (m)
Vậy chiều cao của cây là khoảng 21 m.
Giải SGK Toán 9 Trang 77
Luyện tập 3 Trang 77 Toán 9 Tập 1Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông AB = 4, cạnh huyền BC = 8. Tính cạnh AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AC2 = BC2 - AB2 = 82 - 42 = 48 (định lí Pythagore)
Suy ra AC ≈ 6,928
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn, ta có:
\(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\); suy ra B = 60o.
Do đó, \(\widehat{C} =90^{\circ} -\widehat{B}=90^{\circ} - 60^{\circ} =30^{\circ}\).
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 9, \(\widehat{C} =53^{\circ}\).
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A:
Ta có: \(\widehat{B} =90^{\circ} -\widehat{C}=90^{\circ} - 53^{\circ} =37^{\circ}\)
Theo định lí về hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông, ta có:
AB = BC . sin C = 9 . sin 53o ≈ 7,19
AC = BC . cos C = 9 . cos 53o ≈ 5,42
Vận dụng Trang 77 Toán 9 Tập 1Giải bài toán ở tình huống mở đầu với α = 27o và β = 19o (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài toán: Để đo chiều cao của một toà lâu đài (H.4.11), người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm M. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh P' của toà lâu đài dưới góc nhọn α. Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm N, NM = 20 m, thì nhìn thấy đỉnh P' dưới góc nhọn β (β < α). Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
N'H = P'H . cot β
M'H = P'H . cot α
Trừ từng vế của hai đẳng thức, ta có:
N'H - M'H = P'H(cot β - cot α)
⇔ 20 = P'H(cot β - cot α)
⇔ \(P'H=\frac{20}{\cotβ-\cot\alpha} =\frac{20}{\cot19^{\circ} -\cot27^{\circ} }\approx21,24\) m
Do đó, PP' = PH + HP' = 1,6 + 21,24 ≈ 22,84 m
Vậy chiều cao của tòa lâu đài khoảng 22,84 m.
Giải SGK Toán 9 Trang 78
Giải tam giác ABC vuông tại A có BC = a,AC = b,AB = c, trong các trường hợp:
a) a = 21, b = 18;
b) b = 10,\(\widehat C = {30^0};\)
c) c = 5, b = 3.
Hướng dẫn
a) a = 21,b = 18;
Tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lý Pythagore)
Thay số ta có: \(A{B^2} + {18^2} = {21^2}\) hay \(AB = \sqrt {{{21}^2} - {{18}^2}} = 3\sqrt {13}\)(vì AB > 0)
Ta có \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{18}}{{21}} = \frac{6}{7}\)nên\(\widehat B \approx {59^0}\)
Mà \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) nên \(\widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {90^0} - {59^0} = {31^0}\)
b) b = 10,\(\widehat C = {30^0};\)
Tam giác ABC vuông tại A, ta có \(\tan \widehat C = \frac{{AC}}{{AB}}\) hay \(\tan {30^0} = \frac{{10}}{{AB}}\) suy ra \(AB = \frac{{10}}{{\tan {{30}^0}}} = 10\sqrt 3\)
\(\sin \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}}\) hay \(\sin {30^0} = \frac{{10}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{10}}{{\sin {{30}^0}}} = 20\)
Mà \(\widehat B + \widehat C = {90^0} nên \widehat C = {90^0} - \widehat B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)
c) c = 5,b = 3.
Tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lý Pythagore)
Thay số ta có: \(B{C^2} = {5^2} + {3^2} = 34\) hay \(BC = \sqrt {34} (vì BC > 0)\)
Ta có \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{{\sqrt {34} }} nên \widehat B \approx {30^0}58'\)
Mà \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) nên \(\widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {90^0} - {30^0}57' = {59^0}02'\)
Hướng dẫn
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác cos, ta có \(cosα=4/5\), từ đó tính được α ≈ 36°52’.
Vậy góc nghiêng α của thùng xe chở rác khoảng 36°52’.
Bài 4.10 trang 78 Toán 9 Tập 1:Tìm góc nghiêng α và chiều rộng AB của mái nhà kho trong Hình 4.23.
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{0,9}}{{15}}\) hay \(\alpha \approx {3^0}26'\)
Độ dài cạnh AB là AB = \(\sqrt {0,{9^2} + {{15}^2}} = \sqrt {225,81} \approx 15,03 m\)
Vậy góc nghiêng \alpha của mái nhà kho khoảng \({3^0}26'\) và chiều rộng \(AB \approx 15,03\)
Bài 4.11 trang 78 Toán 9 Tập 1:
Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài \(2\sqrt 3\) và 2.
Hướng dẫn
Xét hình thoi ACBE có hai đường chéo ED và đường chéo AB lần lượt là \(2\sqrt 3\) và 2.
Hai đường chéo cắt nhau tại C nên C là trung điểm của hai đường chéo
Do đó: \(CE = CD = \sqrt 3\) ;AC = CB = 1
Tam giác ACD vuông tại C (tính chất hai đường chéo của hình thoi) ta có:
\(CE = CD = \sqrt 3\) hay \(\widehat {DAC} = {60^0}\) nên \(\widehat {DAE} = 2\widehat {DAC} = {2.60^0} = {120^0}\) (tính chất hình thoi)
\(\widehat {DAC} + \widehat {ADC} = {90^0}\) (Do tam giác ACD vuông tại C)
Nên\(\widehat {ADC} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) nên \(\widehat {ADB} = 2.\widehat {ADC} = {2.30^0} = {60^0}\)
Vậy hình thoi có các góc là 1200 và 600
Bài 4.12 trang 78 Toán 9 Tập 1:
Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AD = 16cm,BC = 4cm,\(\widehat A = \widehat B = \widehat {ACD} = {90^0}.\)
a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh \widehat {ADC} = \widehat {ACE}. Tính sin của các góc \widehat {ADC},\widehat {ACE} và suy ra A{C^2} = AE.AD. Từ đó tính AC.
b) Tính góc D của hình thang.
Hướng dẫn
a) Ta có \(\widehat {ADC} = \widehat {ACE}\) (cùng phụ với góc DCE)
Ta có \(\sin \widehat {ADC} = \frac{{AC}}{{AD}};\sin \widehat {ACE} = \frac{{AE}}{{AC}}\). Từ đó ta có \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = AE.AD.\)
AECB là hình chữ nhật do \(\widehat {BAE} = \widehat {ABC} = \widehat {AEC} = {90^0}\) do đó ta có AE = BC = 4 cm.
Nên \(A{C^2} = AE.AD = 4.16 = 64\) hay \(AC = \sqrt {64} = 8 cm (vì AC > 0)\)
b) \(\sin \widehat {ADC} = \frac{{AC}}{{AD}}\) hay \(\sin \widehat {ADC} = \frac{8}{{16}} = \frac{1}{2}\) hay \(\sin \widehat {ADC} = {30^0}\)
Một người đứng tại điểm A, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm B là 1,2 m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương B của ngọn cây (cây có gốc ở tại điểm C cách B là 4,8 m, B nằm giữa A và C). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65 m. Tính chiều cao của cây (H.4.24).
Hướng dẫn
Gọi D là điểm tại mắt của người đứng, E là điểm trên đầu ngọn cây, ta có hình vẽ sau;
Chiều cao của cây là đoạn EC
Ta có \(\tan \widehat {ABD} = \frac{{1,65}}{{1,2}} = \frac{{11}}{8}\) hay \(\tan \widehat {EBC} = \frac{{11}}{8}\) (do\(\widehat {ABC} = \widehat {DBC})\)
Mà \(\tan \widehat {EBC} = \frac{{EC}}{{BC}}\) suy ra \(\frac{{EC}}{{4,8}} = \frac{{11}}{8}\) hay \(EC = \frac{{11}}{8}.4,8 = 6,6 m\)
Vậy chiều cao của cây là 6,6 m.
