Toán 9 Kết nối tri thức Luyện tập chung trang 52

Bài 3.12 trang 53 Toán 9 KNTT Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} ;\)

b) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}^2}} .\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}}\)\(= \left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right|\)\(= \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2\)\(= 2\sqrt 3\)

b) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}^2}}\)\(= \left| {\sqrt 7 - 3} \right| + \left| {\sqrt 7 + 3} \right|\)\(= 3 - \sqrt 7 + \sqrt 7 + 3\)\(= 6\)

Bài 3.13 trang 53 Toán 9 KNTT Tập 1

Thực hiện phép tính:

a) \(\sqrt 3 .\left( {\sqrt {192} - \sqrt {75} } \right);\)

b) \(\frac{{ - 3\sqrt {18} + 5\sqrt {50} - \sqrt {128} }}{{7\sqrt 2 }}.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt 3 .\left( {\sqrt {192} - \sqrt {75} } \right)\)\(= \sqrt 3 .\left( {\sqrt {64.3} - \sqrt {25.3} } \right)\)\(= \sqrt 3 .\sqrt 3 \left( {\sqrt {64} - \sqrt {25} } \right)\)\(= 3.\left( {8 - 5} \right)\)\(= 9\)

b) \(\frac{{ - 3\sqrt {18} + 5\sqrt {50} - \sqrt {128} }}{{7\sqrt 2 }}\)\(= \frac{{ - 3.\sqrt {9.2} + 5.\sqrt {25.2} - \sqrt {64.2} }}{{7\sqrt 2 }}\)\(= \frac{{\sqrt 2 \left( { - 3\sqrt 9 + 5\sqrt {25} - \sqrt {64} } \right)}}{{\sqrt 2 }}\)\(= - 9 + 25 - 8\)\(= 8\)

Bài 3.14 trang 53 Toán 9 KNTT Tập 1

Chứng minh rằng:

a) \({\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} = 3 - 2\sqrt 2 ;\)

b) \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^2} = 5 + 2\sqrt 6 .\)

Hướng dẫn giải

a) \({\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} = {1^2} - 2.1.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = 3 - 2\sqrt 2 ;\)

b)\({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^2} = {\sqrt 3 ^2} + 2.\sqrt 3 .\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 6 + 2 = 5 + 2\sqrt 6\)

Bài 3.15 trang 53 Toán 9 KNTT Tập 1

Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .\)

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2.\)

c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2\), biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }\)có giá trị không đổi.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} .\)

Do \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên căn thức đã cho xác định với mọi giá trị của x.

b) Với \(x \ge 2\) ta có:

\(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right| = x - 2\)

c) Ta có:

\(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } = \sqrt {x - \left| {x - 2} \right|} = \sqrt {x - \left( {x - 2} \right)} = \sqrt 2\)là hằng số

Do đó với mọi\(x \ge 2\), biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }\)có giá trị không đổi.

Bài 3.16 trang 53 Toán 9 KNTT Tập 1

Trong Vật lí, tốc độ (m/s) của một vật đang bay được cho bởi công thức \(v = \sqrt {\frac{{2E}}{m}}\) , trong đó E là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là J) và m (kg) là khối lượng của vật (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

Tính tốc độ bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng 2,5 kg và động năng 281,25 J.

Hướng dẫn giải

Tốc độ bay của vật khi có khối lượng 2,5 kg và động năng 281,25 J là v = \(\sqrt {\frac{{2.281,2}}{{2,5}}} = \sqrt {225} = 15(m/s)\)

Vậy tốc độ bay của vật là 15 m/s