Toán 9 Cánh diều Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117.

Giải Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117

Giải Toán 9 trang 111
- Hoạt động 1 trang 111 Toán 9 Tập 1 Cánh diều
- Luyện tập 1 trang 111 Toán 9 Tập 1 Cánh diều
Giải Toán 9 trang 112
- Hoạt động 2 trang 112 Toán 9 Tập 1 Cánh diều
Giải Toán 9 trang 115
Giải Toán 9 trang 116
- Hoạt động 5 trang 116 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải Toán 9 trang 117

Giải Toán 9 trang 111

Hoạt động 1 trang 111 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho đường tròn (O). Hãy vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn (O) như sau:

Hoạt động 1 trang 111 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Luyện tập 1 trang 111 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Trong Hình 47, coi mỗi khung đồng hồ là một đường tròn, kim giờ, kim phút là các tia. Số đo góc ở tâm trong mỗi hình 47a, 47b, 47c, 47d là bao nhiêu?

Luyện tập 1 trang 111 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Hướng dẫn giải:

a) Số đo góc ở tâm là 60°.

b) Số đo góc ở tâm là 90°.

c) Số đo góc ở tâm là 150°.

d) Số đo góc ở tâm là 180°.

Giải Toán 9 trang 112

Hoạt động 2 trang 112 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Quan sát góc ở tâm AOB (khác góc bẹt) ở Hình 48, cho biết trong hai phần đường tròn được tô màu xanh và màu đỏ, phần nào nằm bên trong, phần nào nằm bên ngoài góc AOB.

Hoạt động 2 trang 112 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Hướng dẫn giải:

Phần đường tròn được tô màu xanh nằm bên trong góc AOB.

Phần đường tròn được tô màu đỏ nằm bên ngoài góc AOB.

Giải Toán 9 trang 115

Hoạt động 3 trang 115 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Trong Hình 55, đỉnh của góc AIB có thuộc đường tròn hay không? Hai cạnh của góc chứa hai dây cung nào của đường tròn?

Hoạt động 3 trang 115 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Hướng dẫn giải:

⦁ Đỉnh của góc AIB là điểm I, điểm I có thuộc đường tròn.

⦁ Hai cạnh của góc AIB chứa hai dây cung IA, IB của đường tròn.

Luyện tập 3 trang 115 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Hãy vẽ một đường tròn và hai góc nội tiếp trong đường tròn đó.

Hướng dẫn giải:

$\widehat {ABC}$ $\widehat {ABC}$; $\widehat {DEF}$ $\widehat {DEF}$ là hai góc nội tiếp đường tròn (O).

Hoạt động 4 trang 115 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho góc $AIB$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $IK$ sao cho tâm $O$ nằm trong góc đó (Hình 57).

Hoạt động 4 trang 115 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Các cặp góc $\widehat {OAI}$ $\widehat {OAI}$ và $\widehat {OIA};\widehat {OBI}$ $\widehat {OIA};\widehat {OBI}$ và $\widehat {OIB}$ $\widehat {OIB}$ có bằng nhau hay không?

b) Tính các tổng $\widehat {AOI} + 2\widehat {OIA},\widehat {BOI} + 2\widehat {OIB}$ $\widehat {AOI} + 2\widehat {OIA},\widehat {BOI} + 2\widehat {OIB}$.

c) Tính các tổng $\widehat {AOI} + \widehat {AOK},\widehat {BOI} + \widehat {BOK}$ $\widehat {AOI} + \widehat {AOK},\widehat {BOI} + \widehat {BOK}$.

d) So sánh $\widehat {AOK}$ $\widehat {AOK}$ và $2\widehat {OIA},\widehat {BOK}$ $2\widehat {OIA},\widehat {BOK}$ và $2\widehat {OIB},\widehat {AOB}$ $2\widehat {OIB},\widehat {AOB}$ và $2\widehat {AIB}$ $2\widehat {AIB}$.

Lời giải chi tiết:

a) Do $OI = OA = R$ nên tam giác $IOA$ cân tại $O$ suy ra $\widehat {OAI} = \widehat {OIA}$ $\widehat {OAI} = \widehat {OIA}$

Do $OI = OB = R$ nên tam giác $IOB$ cân tại $O$ suy ra $\widehat {OBI} = \widehat {OIB}$ $\widehat {OBI} = \widehat {OIB}$

b) Xét tam giác $AOI$ cân tại $O$ có:

$\widehat {AOI} + \widehat {OIA} + \widehat {OAI} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {AOI} + \widehat {OIA} + \widehat {OIA} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {AOI} + 2\widehat {OIA} = 180^\circ$ $\widehat {AOI} + \widehat {OIA} + \widehat {OAI} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {AOI} + \widehat {OIA} + \widehat {OIA} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {AOI} + 2\widehat {OIA} = 180^\circ$

Xét tam giác $BOI$ cân tại $O$ có:

$\widehat {BOI} + \widehat {OIB} + \widehat {OBI} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} + \widehat {OIB} + \widehat {OIB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} + 2\widehat {OIB} = 180^\circ$ $\widehat {BOI} + \widehat {OIB} + \widehat {OBI} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} + \widehat {OIB} + \widehat {OIB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} + 2\widehat {OIB} = 180^\circ$

c) Ta có: $\widehat {AOI} + \widehat {AOK} = 180^\circ$ $\widehat {AOI} + \widehat {AOK} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

$\widehat {BOI} + \widehat {BOK} = 180^\circ$ $\widehat {BOI} + \widehat {BOK} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

d) Do $\widehat {AOI} + 2\widehat {OIA} = 180^\circ$ $\widehat {AOI} + 2\widehat {OIA} = 180^\circ$ lại có $\widehat {AOI} + \widehat {AOK} = 180^\circ$ $\widehat {AOI} + \widehat {AOK} = 180^\circ$ nên $2\widehat {OIA} = \widehat {AOK}$ $2\widehat {OIA} = \widehat {AOK}$

Do $\widehat {BOI} + 2\widehat {OIB} = 180^\circ$ $\widehat {BOI} + 2\widehat {OIB} = 180^\circ$ lại có $\widehat {BOI} + \widehat {BOK} = 180^\circ$ $\widehat {BOI} + \widehat {BOK} = 180^\circ$ nên $2\widehat {OIB} = \widehat {BOK}$ $2\widehat {OIB} = \widehat {BOK}$

Ta có: $\widehat {OIA} + \widehat {OIB} = \widehat {AIB} \Rightarrow 2\left( {\widehat {OIA} + \widehat {OIB}} \right) = 2\widehat {AIB} \Rightarrow 2\widehat {OIA} + 2\widehat {OIB} = 2\widehat {AIB}$ $\widehat {OIA} + \widehat {OIB} = \widehat {AIB} \Rightarrow 2\left( {\widehat {OIA} + \widehat {OIB}} \right) = 2\widehat {AIB} \Rightarrow 2\widehat {OIA} + 2\widehat {OIB} = 2\widehat {AIB}$

Mà $2\widehat {OIA} = \widehat {AOK},2\widehat {OIB} = \widehat {BOK}$ $2\widehat {OIA} = \widehat {AOK},2\widehat {OIB} = \widehat {BOK}$ nên $\widehat {AOK} + \widehat {BOK} = 2\widehat {AIB} \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AIB}$ $\widehat {AOK} + \widehat {BOK} = 2\widehat {AIB} \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AIB}$

Giải Toán 9 trang 116

Luyện tập 4 trang 116 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ $\left( {O;R} \right)$ và dây cung $AB = R$. Điểm $C$ thuộc cung lớn $AB,C$ khác $A$ và $B$. Tính số đo góc $ACB$.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $OAB$ có: $OA = OB = AB = R$.

Suy ra tam giác $OAB$ là tam giác đều nên $\widehat {AOB} = 60^\circ$ $\widehat {AOB} = 60^\circ$.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ $\left( O \right)$: Vì $\widehat {AOB}$ $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm và $\widehat {ACB}$ $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ nên:

$\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 120^\circ$ $\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 120^\circ$.

Vậy $\widehat {ACB} = 120^\circ$ $\widehat {ACB} = 120^\circ$.

Hoạt động 5 trang 116 SGK Toán 9 Cánh diều

Quan sát Hình 60 và nêu mối liên hệ giữa

a) $\widehat {AIB}$ $\widehat {AIB}$ và sđ $\overset\frown{AmB}$ $\overset\frown{AmB}$;

b) $\widehat {AKB}$ $\widehat {AKB}$ và sđ $\overset\frown{AmB}$ $\overset\frown{AmB}$;

c) $\widehat {AIB}$ $\widehat {AIB}$ và $\widehat {AKB}$ $\widehat {AKB}$.

Hoạt động 5 trang 116 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy: $\widehat {AIB}$ $\widehat {AIB}$ là góc nội tiếp chắn $\overset\frown{AmB}$ $\overset\frown{AmB}$ nên $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB}$ $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB}$.

b) Ta thấy: $\widehat {AKB}$ $\widehat {AKB}$ là góc nội tiếp chắn $\overset\frown{AmB}$ $\overset\frown{AmB}$ nên $\widehat{AKB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB}$ $\widehat{AKB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB}$.

c) Do $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB};\widehat{AKB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB}$ $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB};\widehat{AKB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AmB}$ nên $\widehat {AIB} = \widehat {AKB}$ $\widehat {AIB} = \widehat {AKB}$.

Giải Toán 9 trang 117

Luyện tập 5 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Trong Hình 61, gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh IA.ID = IB.IC.

Luyện tập 5 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Bài 1 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Quan sát Hình 62, hãy cho biết:

a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D;

b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D.

Bài 1 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Hướng dẫn giải:

a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc: $\widehat {AOB}$ $\widehat {AOB}$; $\widehat {AOC}$ $\widehat {AOC}$; $\widehat {AOD}$ $\widehat {AOD}$; $\widehat {BOC}$ $\widehat {BOC}$; $\widehat {BOD}$ $\widehat {BOD}$; $\widehat {COD}$ $\widehat {COD}$

b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc: $\widehat {ABC}$ $\widehat {ABC}$; $\widehat {ADC}$ $\widehat {ADC}$; $\widehat {BAD}$ $\widehat {BAD}$; $\widehat {BCD}$ $\widehat {BCD}$

Bài 2 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho đường tròn (O; R) và dây AB sao cho AOB^=90°. Giả sử M, N lần lượt là các điểm thuộc cung lớn AB và cung nhỏ AB (M, N khác A và B).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) Tính số đo các góc ANB và AMB.

Bài 3 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Trong Hình 63, cho biết AB = OA.

Bài 3 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Tính số đo góc AOB.

b) Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB của (O).

c) Tính số đo góc MIN.

d) Tính số đo cung nhỏ MN và cung lớn MN của (I).

e) Tính số đo góc MKN.

Bài 4 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Biểu đồ hình quạt tròn ở Hình 64 mô tả các thành phần của một chai nước ép hoa quả (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương ứng với phần biểu diễn thành phần việt quất, táo, mật ong lần lượt có số đo là bao nhiêu độ.

Bài 4 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Bài 5 trang 117 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho hai đường tròn (O), (I) cắt nhau tại hai điểm A, B. Kẻ các đoạn thẳng AC, AD lần lượt là các đường kính của hai đường tròn (O), (I). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.