Toán 9 Cánh diều Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Giải Toán 9 trang 82

Hoạt động 1 trang 82 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A ( Hình 13 ).

a) Biểu diễn sinB, cosC theo AC, BC.

b) Viết công thức tính AC theo BC và sinB.

c) Viết công thức tính AC theo BC và cosC.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: sinB = \(\frac{AC}{BC}\) và cosB = \(\frac{AB}{BC}\)

b) Từ sinB = \(\frac{AC}{BC}\) (câu a) ta có AC = BC.sinB.

c) Từ cosB = \(\frac{AB}{BC}\) (câu a) ta có AC = BC.cosB.

Giải Toán 9 trang 83

Luyện tập 1 trang 83 Toán 9 Tập 1:

Tính độ cao AC trong Hình 12 khi BC = 20 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: AC = BC.sinB = 20.sin15° ≈ 5,2 (m).

Luyện tập 2 trang 83 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Biểu diễn CK theo AC và sinA. Từ đó, chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng \(\frac{1}{2}\).AB.AC.sinA.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ACK vuông tại K, ta có: sinA = \(\frac{CK}{AC}\) do đó CK = AC.sinA.

Khi đó, diện tích của tam giác ABC là

\(\frac{1}{2}\)CK.AB = \(\frac{1}{2}\).AC.sinA.AB= \(\frac{1}{2}\).AB.AC.sinA.

Giải Toán 9 trang 84

Hoạt động 2 trang 84 Toán 9 Tập 1 

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 17)

a) Biểu diễn tan B, cot C theo AB, AC

b) Viết công thức tính AC theo AB và tan B

c) Viết công thức tính AC theo AB và cot C

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\tan B=\frac{AC}{AB}; \ \cot C=\frac{AC}{AB}\)

b) Ta có \(\tan B=\frac{AC}{AB}\) nên AC = AB . tan B

c) Ta có \(\cot C=\frac{AC}{AB}\) nên AC = AB . cot C

Luyện tập 3 trang 84 Toán 9 Tập 1:

Tính độ dài cạnh AB trong Hình 17 khi AC = 4 cm và \(\hat{B}\) = 34 ° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có AB = AC.cotB = 4.cot34° ≈ 5,9 (m).

Giải Toán 9 trang 85

Luyện tập 4 trang 85 SGK Toán 9 Cánh diều

Tìm độ dài cạnh góc vuông \(AC\) và số đo các góc nhọn \(B,C\) của tam giác vuông \(ABC\), biết cạnh góc vuông \(AB = 5cm\) và cạnh huyền \(BC = 13cm\).

Hướng dẫn giải::

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

+) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (theo định lý Pythagore), suy ra \({13^2} = {5^2} + A{C^2}\) hay \(AC = 12\left( {cm} \right)\).

+) \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\) suy ra \(\widehat B \approx 67^\circ\).

+) \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ\) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông), suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 90^\circ - 67^\circ \approx 23^\circ\).

Luyện tập 5 trang 85 SGK Toán 9 Cánh diều

Tìm số đo góc nhọn \(C\) và độ dài cạnh góc vuông \(AB\), cạnh huyền \(BC\) của tam giác vuông \(ABC\), biết cạnh góc vuông \(AC = 7cm\) và \(\widehat B = 55^\circ\).

Hướng dẫn giải::

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

+) \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ\) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông), suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).

+) \(AB = AC.\tan C = 7.\tan 35^\circ \approx 4,9\left( {cm} \right)\).

+) \(BC = AC.\sin B = 7.\sin 55^\circ \approx 5,7\left( {cm} \right)\).

Giải Toán 9 trang 86

Luyện tập 6 trang 86 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) thỏa mãn \(AC = 6cm,\widehat {BAC} = 47^\circ\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,AD\).

Hướng dẫn giải::

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:

+) \(AB = AC.\cos \widehat {BAC} = 6.\cos 47^\circ \approx 4,1\left( {cm} \right)\).

+) \(BC = AC.\sin \widehat {BAC} = 6.\sin 47^\circ \approx 4,4\left( {cm} \right)\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC = AD\) (tính chất hình chữ nhật) suy ra \(AD \approx 4,4\left( {cm} \right)\).

Bài 1 trang 86 Toán 9 Tập 1:

Tìm x, y trong mỗi hình 23a, 23b, 23c (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

+) \(y = 3.\sin 54^\circ \approx 2,4\left( {cm} \right).\)

+) \(x = 3.\cos 54^\circ \approx 1,8\left( {cm} \right).\)

b) Ta có:

+) \(x = \frac{{1,5}}{{\tan 32^\circ }} \approx 2,4\left( {cm} \right).\)

+) \(y = \frac{{1,5}}{{\sin 32^\circ }} \approx 2,8\left( {cm} \right).\)

c) Ta có:

+) \(y = 0,8.\tan 70^\circ \approx 2,2\left( {cm} \right).\)

+) \(x = \frac{{0,8}}{{\cos 70^\circ }} \approx 2,3\left( {cm} \right).\)

Bài 2 trang 86 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC có đường cao AH = 6cm,\(\widehat B = 40^\circ\) ,\(\widehat C = 35^\circ\) . Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BH, AC, BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

+) \(AB = \frac{{AH}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{6}{{\sin 40^\circ }} \approx 9,3\left( {cm} \right).\)

+) \(BH = \frac{{AH}}{{\tan 40^\circ }} = \frac{6}{{\tan 40^\circ }} \approx 7,2\left( {cm} \right).\)

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

+) \(AC = \frac{{AH}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{6}{{\sin 35^\circ }} \approx 10,5\left( {cm} \right).\)

+) \(CH = \frac{{AH}}{{\tan 35^\circ }} = \frac{6}{{\tan 35^\circ }} \approx 8,6\left( {cm} \right).\)

Ta có:\(BC = BH + HC \approx 7,2 + 8,6 \approx 15,8\left( {cm} \right).\)