Toán 9 Cánh diều Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 59, 60.

Giải Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 59, 60

Giải Toán 9 trang 59
Giải Toán 9 trang 60

Giải Toán 9 trang 59

Bài 1 trang 59 Toán 9 Tập 1:

Tính:

a. $\sqrt {{{25}^2}}$ ;

b. $\sqrt {{{\left( { - 0,16} \right)}^2}}$ ;

c. $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}}$ .

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {{{25}^2}} = \left| {25} \right| = 25.$

b. $\sqrt {{{\left( { - 0,16} \right)}^2}} = \left| { - 0,16} \right| = 0,16.$

c. $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 7 - 3} \right|$

Do $\sqrt 7 < \sqrt 9$ hay $\sqrt 7 < 3$ nên $\sqrt 7 - 3 < 0$ . Vì thế, ta có: $\left| {\sqrt 7 - 3} \right| = 3 - \sqrt 7 .$

Vậy $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| = 3 - \sqrt 7 .$

Bài 2 trang 59 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a. $\sqrt {36.81}$

b. $\sqrt {49.121.169}$

c. $\sqrt {{{50}^2} - {{14}^2}}$

d. $\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 }$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {36.81} = \sqrt {36} .\sqrt {81} = 6.9 = 54.$

b. $\sqrt {49.121.169} = \sqrt {49} .\sqrt {121} .\sqrt {169} = 7.11.13 = 1001.$

c. $\sqrt {{{50}^2} - {{14}^2}} = \sqrt {\left( {50 - 14} \right)\left( {50 + 14} \right)} = \sqrt {36.64} = \sqrt {36} .\sqrt {64} = 6.8 = 48.$

d. $\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right).\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2.$

Bài 3 trang 59 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a. $\sqrt {\frac{{49}}{{36}}}$

b. $\sqrt {\frac{{{{13}^2} - {{12}^2}}}{{81}}}$

c. $\frac{{\sqrt {{9^3} + {7^3}} }}{{\sqrt {{9^2} - 9.7 + {7^2}} }}$

d. $\frac{{\sqrt {{{50}^3} - 1} }}{{\sqrt {{{50}^2} + 51} }}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {\frac{{49}}{{36}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {36} }} = \frac{7}{6}.$

b. $\sqrt {\frac{{{{13}^2} - {{12}^2}}}{{81}}} = \sqrt {\frac{{\left( {13 - 12} \right)\left( {13 + 12} \right)}}{{81}}} = \frac{{\sqrt {1.25} }}{{\sqrt {81} }} = \frac{5}{9}.$

c. $\frac{{\sqrt {{9^3} + {7^3}} }}{{\sqrt {9{}^2 - 9.7 + {7^2}} }} = \frac{{\sqrt {\left( {9 + 7} \right)\left( {{9^2} - 9.7 + {7^2}} \right)} }}{{\sqrt {{9^2} - 9.7 + {7^2}} }} = \frac{{\sqrt {9 + 7} .\sqrt {{9^2} - 9.7 + {7^2}} }}{{\sqrt {{9^2} - 9.7 + {7^2}} }} = \sqrt {16} = 4.$

d. $\frac{{\sqrt {{{50}^3} - 1} }}{{\sqrt {{{50}^2} + 51} }} = \frac{{\sqrt {\left( {50 - 1} \right)\left( {{{50}^2} + 50.1 + {1^2}} \right)} }}{{\sqrt {{{50}^2} + 51} }} = \frac{{\sqrt {49} .\sqrt {{{50}^2} + 51} }}{{\sqrt {{{50}^2} + 51} }} = \sqrt {49} = 7.$

Bài 4 trang 59 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {12} - \sqrt {27} + \sqrt {75} ;$

b. $2\sqrt {80} - 2\sqrt 5 - 3\sqrt {20} ;$

c. $\sqrt {2,8} .\sqrt {0,7} .$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {12} - \sqrt {27} + \sqrt {75} = \sqrt {4.3} - \sqrt {9.3} + \sqrt {25.3} = \sqrt {{2^2}.3} - \sqrt {{3^2}.3} + \sqrt {{5^2}.3} = 2\sqrt 3 - 3\sqrt 3 + 5\sqrt 3 = 4\sqrt 3 .$

b. $2\sqrt {80} - 2\sqrt 5 - 3\sqrt {20} = 2\sqrt {16.5} - 2\sqrt 5 - 3\sqrt {4.5} = 2\sqrt {{4^2}.5} - 2\sqrt 5 - 3\sqrt {{2^2}.5} = 8\sqrt 5 - 2\sqrt 5 - 6\sqrt 5 = 0.$

c. $\sqrt {2,8} .\sqrt {0,7} = \sqrt {4.0,7} .\sqrt {0,7} = 2\sqrt {0,7} .\sqrt {0,7} = 2.0,7 = 1,4.$

Bài 5 trang 59 Toán 9 Tập 1:

Áp dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai, hãy rút gọn biểu thức:

a. $9\sqrt {\frac{2}{9}} - 3\sqrt 2$

b. $\left( {2\sqrt 3 + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt {12} - \sqrt {11} } \right)$

Hướng dẫn giải

a. $9\sqrt {\frac{2}{9}} - 3\sqrt 2 = \sqrt {{9^2}.\frac{2}{9}} - \sqrt {{3^2}.2} = \sqrt {9.2} - \sqrt {9.2} = \sqrt {18} - \sqrt {18} = 0$

b. $\left( {2\sqrt 3 + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt {12} - \sqrt {11} } \right)$

$= \left( {\sqrt {{2^2}.3} + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt {12} - \sqrt {11} } \right)$

$= \left( {\sqrt {12} + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt {12} - \sqrt {11} } \right)\,$

$= {\left( {\sqrt {12} } \right)^2} - {\left( {\sqrt {11} } \right)^2} = 12 - 11 = 1$

Giải Toán 9 trang 60

Bài 6 trang 60 Toán 9 Tập 1:

So sánh:

a. $\sqrt 3 .\sqrt 7$ và $\sqrt {22} ;$

b. $\frac{{\sqrt {52} }}{{\sqrt 2 }}$ và 5;

c. $3\sqrt 7$ và $\sqrt {65} .$

Hướng dẫn giải

Do 21 < 22 nên $\sqrt {21} < \sqrt {22}$ hay $\sqrt {3.7} < \sqrt {22} .$ Vậy $\sqrt 3 .\sqrt 7 < \sqrt {22} .$

b. Ta có: $\frac{{\sqrt {52} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{52}}{2}} = \sqrt {26} .$

Do 26 > 25 nên $\sqrt {26} > \sqrt {25}$ hay $\sqrt {\frac{{52}}{2}} > 5$ . Vậy $\frac{{\sqrt {52} }}{{\sqrt 2 }} > 5.$

c. Ta có: $3\sqrt 7 = \sqrt {{3^2}.7} = \sqrt {9.7} = \sqrt {63} .$

Do 63 < 65 nên $\sqrt {63} < \sqrt {65}$ . Vậy $3\sqrt 7 < \sqrt {65} .$

Bài 7 trang 60 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh a. Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC theo a.

Hướng dẫn giải

Bài 7 trang 60 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Do AH là đường cao của tam giác đều ABC.

Suy ra AH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra H là trung điểm của BC.

Suy ra $HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a.$

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}$ (Định lý Py – ta – go)

$\begin{array}{l}A{H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {a^2}\\A{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{4{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{3{a^2}}}{4}\\AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}$

Vậy $AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Bài 8 trang 60 Toán 9 Tập 1:

Trong Vật lí, ta có định luật Joule – Lenz để tính nhiệt lượng tỏa ra ở dây dẫn khi có dòng điện chạy qua: $Q = {I^2}Rt.$

Trong đó: Q là nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn tính theo Jun (J);

I là cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn tính theo Ampe (A);

R là điện trở dây dẫn tính theo Ohm \left( \Omega \right);

t là thời gian dòng điện chạy qua dây dẫn tính theo giây.

Áp dụng công thức trên để giải bài toán sau: Một bếp điện khi hoạt động bình thường có điện trở R = 80\Omega . Tính cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn, biết nhiệt lượng mà dây dẫn tỏa ra trong 1 giây là 500J.

Hướng dẫn giải

Ta có: $500 = {I^2}.80.1$

$\begin{array}{l}500 = {I^2}.80\\{I^2} = \frac{{25}}{4}\\I = \sqrt {\frac{{25}}{4}} = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt 4 }} = \frac{5}{2}.\end{array}$

Bài 9 trang 60 Toán 9 Tập 1:

Tốc độ gần đúng của một ô tô ngay trước khi đạp phanh được tính theo công thức $v = \sqrt {2\lambda gd}$ , trong đó $v\left( {m/s} \right)$ là tốc độ của ô tô, d\left( m \right) là chiều dài của vết trượt tính từ thời điểm đạp phanh cho đến khi ô tô dừng lại trên đường, \lambda là hệ số cản lăn của mặt đường, g = 9,8 m/s ². Nếu một ô tô để lại vết trượt dài khoảng 20m trên đường nhựa thì tốc độ của ô tô trước khi đạp phanh là khoảng bao nhiêu mét trên giây (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng hệ số cản lăn của đường nhựa là \lambda = 0,7.