Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương 4

Bài 1 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và $\hat{B}=\alpha$(Hình 40).

a) Tỉ số $\frac{HA}{HB}$ bằng:

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

b) Tỉ số $\frac{HA}{HC}$ bằng:

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

c) Tỉ số $\frac{HA}{AC}$ bằng:

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

Hướng dẫn giải

a) Chọn đáp án C.

b) Xét tam giác AHC vuông tại H có:

$\tan C=\frac{HA}{HC}.$

Do $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$nên $\tan C=\cot B.$

Vậy $\cot \alpha =\frac{HA}{HC}.$

Chọn đáp án D.

c) Xét tam giác AHC vuông tại H có:

$\sin C=\frac{HA}{AC}.$

Do $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$nên $\sin C=\cos B.$

Vậy $\cos \alpha =\frac{HA}{AC}.$

Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho hình thoi ABCD có AB = a,$\widehat{BAD}=2\alpha \left(0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }\right)$. Chứng minh:

a) BD = 2a.sinα;

b) AC = 2a.cosα.

Hướng dẫn giải

Do $\widehat{BAD}=2\alpha \Rightarrow \widehat{OAB}=\alpha .$

a) Xét tam giác BOA vuông tại O có :

$BO=AB.\sin \alpha =a.\sin \alpha .$

Mà $BD=2BO=2a.\sin \alpha .$

b) Xét tam giác BOA vuông tại O có:

$CO=AB.\cos \alpha =a.\cos \alpha .$

Mà $AC=2CO=2a.\cos \alpha .$

Bài 3 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Trong trò chơi xích đu ở Hình 41, khi dây căng xích đu (không dãn) $OA=3m$ tạo với phương thẳng đứng một góc là $\widehat{AOH}={43}^{\circ }$ thì khoảng cách $AH$ từ em bé đến vị trí cân bằng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ ta có:

$AH=OA.\sin \widehat{AOH}=3.\sin {43}^{\circ }\approx 2,05\left(m\right)$.

Vậy khoảng cách $AH$ từ em bé đến vị trí cân bằng khoảng 2,05m.

Bài 4 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Một người đứng ở vị trí $B$ trên bờ sông muốn sử dụng la bàn để ước lượng khoảng cách từ vị trí đó đến một vị trí $A$ ở trên một cù lao giữa dòng sông. Người đó đã làm như sau:

- Sử dụng la bàn, xác định được phương $BA$ lệch với phương Nam – Bắc về hướng Đông ${52}^{\circ }$.

- Người đó di chuyển đến vị trí $C$, cách $B$ một khoảng là 187m. Sử dụng la bàn, xác định được phương $CA$ lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây ${27}^{\circ }$; $CB$ lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây ${70}^{\circ }$ (Hình 42).

Em hãy giúp người đó tính khoảng cách $AB$ từ những dữ liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Hướng dẫn giải

Lấy B’B, C’C là các đường thẳng biểu diễn phương Nam – Bắc như hình vẽ.

Theo bài ra ta có $\widehat{B^{\prime }BA}={52}^{\circ },\widehat{C^{\prime }CA}={27}^{\circ },\widehat{C^{\prime }CB}={70}^{\circ }$ suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{C^{\prime }CB}-\widehat{C^{\prime }CA}={70}^{\circ }-{27}^{\circ }={43}^{\circ }$.

Kẻ AA’ ( $A^{\prime }\in BC$) song song với phương Nam – Bắc, khi đó $A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }//C{C}^{\prime }$.

Vì $A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }//C{C}^{\prime }$ nên ta có $\widehat{B^{\prime }BA}=\widehat{BA{A}^{\prime }}={52}^{\circ }$ (hai góc so le trong) và $\widehat{A^{\prime }AC}=\widehat{C^{\prime }CA}={27}^{\circ }$ suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{BA{A}^{\prime }}+\widehat{A^{\prime }AC}={52}^{\circ }+{27}^{\circ }={79}^{\circ }$.

Kẻ $BH\mathrm{\perp }AC\left(H\in AC\right)$.

Xét $\mathrm{\Delta }BHC$ vuông tại H có: $\sin C=\frac{BH}{BC}$ suy ra $BH=\sin C.BC=\sin {43}^{\circ }.187\approx 128\left(m\right)$.

Xét $\mathrm{\Delta }BAH$ vuông tại H có: $\sin A=\frac{BH}{BA}$ suy ra $BA=\frac{BH}{\sin A}\approx \frac{128}{\sin {79}^{\circ }}\approx 130\left(m\right)$

Vậy khoảng cách AB là khoảng 130m.