Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương 4

Bài 1 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và \(\widehat B = \alpha\)(Hình 40).

a) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{HB}}\) bằng:

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

b) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{HC}}\) bằng:

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

c) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{AC}}\) bằng:

A. sinα.

B. cosα.

C. tanα.

D. cotα.

Hướng dẫn giải

a) Chọn đáp án C.

b) Xét tam giác AHC vuông tại H có:

\(\tan C = \frac{{HA}}{{HC}}.\)

Do \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ\)nên \(\tan C = \cot B.\)

Vậy \(\cot \alpha = \frac{{HA}}{{HC}}.\)

Chọn đáp án D.

c) Xét tam giác AHC vuông tại H có:

\(\sin C = \frac{{HA}}{{AC}}.\)

Do \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ\)nên \(\sin C = \cos B.\)

Vậy \(\cos \alpha = \frac{{HA}}{{AC}}.\)

Chọn đáp án B.

Bài 2 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho hình thoi ABCD có AB = a,\(\widehat {BAD} = 2\alpha \left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\). Chứng minh:

a) BD = 2a.sinα;

b) AC = 2a.cosα.

Hướng dẫn giải

Do \(\widehat {BAD} = 2\alpha \Rightarrow \widehat {OAB} = \alpha .\)

a) Xét tam giác BOA vuông tại O có :

\(BO = AB.\sin \alpha = a.\sin \alpha .\)

Mà \(BD = 2BO = 2a.\sin \alpha .\)

b) Xét tam giác BOA vuông tại O có:

\(CO = AB.\cos \alpha = a.\cos \alpha .\)

Mà \(AC = 2CO = 2a.\cos \alpha .\)

Bài 3 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Trong trò chơi xích đu ở Hình 41, khi dây căng xích đu (không dãn) \(OA = 3m\) tạo với phương thẳng đứng một góc là \(\widehat {AOH} = 43^\circ\) thì khoảng cách \(AH\) từ em bé đến vị trí cân bằng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác \(OHA\) vuông tại \(H\) ta có:

\(AH = OA.\sin \widehat {AOH} = 3.\sin 43^\circ \approx 2,05\left( m \right)\).

Vậy khoảng cách \(AH\) từ em bé đến vị trí cân bằng khoảng 2,05m.

Bài 4 trang 92 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Một người đứng ở vị trí \(B\) trên bờ sông muốn sử dụng la bàn để ước lượng khoảng cách từ vị trí đó đến một vị trí \(A\) ở trên một cù lao giữa dòng sông. Người đó đã làm như sau:

- Sử dụng la bàn, xác định được phương \(BA\) lệch với phương Nam – Bắc về hướng Đông \(52^\circ\).

- Người đó di chuyển đến vị trí \(C\), cách \(B\) một khoảng là 187m. Sử dụng la bàn, xác định được phương \(CA\) lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây \(27^\circ\); \(CB\) lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây \(70^\circ\) (Hình 42).

Em hãy giúp người đó tính khoảng cách \(AB\) từ những dữ liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Hướng dẫn giải

Lấy B’B, C’C là các đường thẳng biểu diễn phương Nam – Bắc như hình vẽ.

Theo bài ra ta có \(\widehat {B'BA} = 52^\circ ,\widehat {C'CA} = 27^\circ ,\widehat {C'CB} = 70^\circ\) suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {C'CB} - \widehat {C'CA} = 70^\circ - 27^\circ = 43^\circ\).

Kẻ AA’ ( \(A' \in BC\)) song song với phương Nam – Bắc, khi đó \(AA'//BB'//CC'\).

Vì \(AA'//BB'//CC'\) nên ta có \(\widehat {B'BA} = \widehat {BAA'} = 52^\circ\) (hai góc so le trong) và \(\widehat {A'AC} = \widehat {C'CA} = 27^\circ\) suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BAA'} + \widehat {A'AC} = 52^\circ + 27^\circ = 79^\circ\).

Kẻ \(BH \bot AC\left( {H \in AC} \right)\).

Xét \(\Delta BHC\) vuông tại H có: \(\sin C = \frac{{BH}}{{BC}}\) suy ra \(BH = \sin C.BC = \sin 43^\circ .187 \approx 128\left( m \right)\).

Xét \(\Delta BAH\) vuông tại H có: \(\sin A = \frac{{BH}}{{BA}}\) suy ra \(BA = \frac{{BH}}{{\sin A}} \approx \frac{{128}}{{\sin 79^\circ }} \approx 130\left( m \right)\)

Vậy khoảng cách AB là khoảng 130m.