Toán 9 Cánh diều Bài 3: Định lí Viète
Định lí Viète là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp học sinh hiểu được mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Trong sách giáo khoa Cánh diều, bài học này được trình bày rõ ràng, gắn liền với thực hành và vận dụng. Nắm vững định lí Viète không chỉ giúp giải phương trình nhanh hơn mà còn hỗ trợ học sinh phân tích, biến đổi và giải các bài toán nâng cao một cách hiệu quả. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và các ví dụ minh họa sinh động, giúp học sinh tự tin khi học bài 3 chương trình Toán 9 Cánh diều.
Mục lục bài viết
Giải bài tập 1 trang 64
Nếu {x_1},{x_2} là hai nghiệm của phương trình 
\(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:
a) \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = - \frac{c}{a}\)
b)\({x_1} + {x_2} = \frac{c}{a};{x_1}.{x_2} = - \frac{b}{a}\)
c) \({x_1} + {x_2} = \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = - \frac{c}{a}\)
d) \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)
Giải:
Đáp án d)
Giải bài tập 2 trang 64
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\) và nghiệm còn lại là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
b) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = - 1\) và nghiệm còn lại là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
c) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = - 1\)và nghiệm còn lại là \({x_2} = - \frac{c}{a}\).
d) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\) và nghiệm còn lại là \({x_2} = - \frac{c}{a}\).
Lời giải
Chọn đáp án a) và c).
Giải bài tập 3 trang 64
Giải thích vì sao nếu ac < 0 thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có 2 nghiệm là 2 số trái dấu nhau.
Giải
Xét phương trình có 2 nghiệm phân biệt có ac < 0 do đó a và c trái dấu, suy ra \({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} < 0\)
Vậy nếu ac < 0 thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có 2 nghiệm là 2 số trái dấu nhau.
Giải bài tập 4 trang 64
Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\).
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)
b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}.\) Chứng minh cả 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều khác 0.
c) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)
d) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\)
e) Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).
Giải
a) Phương trình có các hệ số a = 2;b = - 3;c = - 6.
\(\Delta = {( - 3)^2} - 4.2.( - 6) = 57 > 0\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Áp dụng định lý Viète, ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - ( - 3)}}{2} = \frac{3}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3.\)
Vì \({x_1}.{x_2} = - 3 < 0\) nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Vậy cả 2 nghiệm đều khác 0.
c) \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{3}{2}:\left( { - 3} \right) = \frac{{ - 1}}{2}.\)
d) \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = \frac{{33}}{4}.\)
e) Xét \({\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)
\(= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right) = \frac{{57}}{4}.\)
Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}} = \frac{{\sqrt {57} }}{2}.\)
Giải bài tập 5 trang 65
Không tính \(\Delta\) , giải phương trình:
a) \(3{x^2} - x - 2 = 0\)
b) \(- 4{x^2} + x + 5 = 0\)
c) \(2\sqrt 3 {x^2} + \left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)x - 5 = 0\)
d) \(- 3\sqrt 2 {x^2} + \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0\)
Giải
a) Phương trình có các hệ số a = 3;b = - 1;c = - 2.
Ta thấy: a + b + c = 3 - 1 - 2 = 0 nên phương trình có nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{{ - 2}}{3}.\)
b) Phương trình có các hệ số a = - 4;b = 1;c = 5.
Ta thấy: a - b + c = - 4 - 1 + 5 = 0 nên phương trình có nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = \frac{{ - 5}}{{ - 4}} = \frac{5}{4}.\)
c) Phương trình có các hệ số \(a = 2\sqrt 3 ;b = 5 - 2\sqrt 3 ;c = - 5\).
Ta thấy: \(a + b + c = 2\sqrt 3 + 5 - 2\sqrt 3 - 5 = 0\) nên phương trình có nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{{ - 5}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{6}.\)
d) Phương trình có các hệ số \(a = - 3\sqrt 2 ;b = 4 - 3\sqrt 2 ;c = 4..\)
Ta thấy: \(a - b + c = - 3\sqrt 2 - 4 + 3\sqrt 2 + 4 = 0\) nên phương trình có nghiệm\(: {x_1} = - 1,{x_2} = \frac{{ - 4}}{{ - 3\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Giải bài tập 6 trang 65
Tìm hai số trong mỗi trường hợp sau:
a) Tổng của chúng bằng 7 và tích của chúng bằng 12.
b) Tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng -6.
Giải
\({x^2} - 7x + 12 = 0\).Phương trình có các hệ số: a = 1;b = - 7;c = 12.
\(\Delta = {( - 7)^2} - 4.1.12 = 1 > 0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 4;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 3.\)
Vậy hai số cần tìm là 3; 4.
b) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: \({x^2} - x - 6 = 0\).
Phương trình có các hệ số: a = 1;b = - 1;c = - 6.
\(\Delta = {( - 1)^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 3;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 2.\)
Vậy hai số cần tìm là -2; 3.
Giải bài tập 7 trang 65
Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m2 và chu vi bằng 6,4m. Tìm kích thước của cửa sổ đó.
Giải
Nửa chu vi của HCN: 6,4:2 = 3,2m.
Chiều dài và chiều rộng của HCN là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 3,2x + 2,52 = 0.\)
Phương trình có các hệ số: a = 1;b = - 3,2;c = 2,52.
\(\Delta ' = {( - 1,6)^2} - 1.2,52 = 0,04 > 0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1,6} \right) + \sqrt {0,04} }}{1} = 1,8;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1,6} \right) - \sqrt {0,04} }}{1} = 1,4.\)
Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài là 1,8m; chiều rộng là 1,4m.
Vậy chiều dài, chiều rộng của cửa sổ lần lượt là 1,8m; 1,4m.
