VnDoc.com

Toán 9 Cánh diều Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Giải bài tập

Bộ sách: Cánh diều

Loại: Tài liệu Lẻ

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương trình bậc hai một ẩn là một trong những kiến thức cốt lõi trong chương trình Toán 9, đóng vai trò nền tảng cho việc học các chuyên đề đại số nâng cao sau này. Trong sách giáo khoa Cánh diều, học sinh sẽ được tiếp cận với khái niệm, cách giải phương trình bậc hai, công thức nghiệm và các dạng bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, rõ ràng cho từng phần, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận bài học, hiểu sâu bản chất và tự tin vận dụng vào thực tế.

Giải bài tập 1 trang 59

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Đối với những phương trình bậc hai một ẩn đó, xác định hệ số a của ${x^2}$ ${x^2}$, hệ số b của x, hệ số tự do c.

a) $0,5{x^2} - 5x + \sqrt 3 = 0$ $0,5{x^2} - 5x + \sqrt 3 = 0$

b) $0{x^2} - 0,25x + 6 = 0$ $0{x^2} - 0,25x + 6 = 0$

c) $- {x^2} + \sqrt 5 x = 0$ $- {x^2} + \sqrt 5 x = 0$

Giải

Các phương trình bậc hai một ẩn là:

a) $0,5{x^2} - 5x + \sqrt 3 = 0 với a = 0,5;b = - 5;c = \sqrt 3$ $0,5{x^2} - 5x + \sqrt 3 = 0 với a = 0,5;b = - 5;c = \sqrt 3$

c) $- {x^2} + \sqrt 5 x = 0 với a = - 1;b = \sqrt 5 ;c = 0$ $- {x^2} + \sqrt 5 x = 0 với a = - 1;b = \sqrt 5 ;c = 0$

Phương trình b) $0{x^2} - 0,25x + 6 = 0$ $0{x^2} - 0,25x + 6 = 0$ không phải phương trình bậc hai một ẩn vì a = 0.

Giải bài tập 2 trang 59

Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ có hai nghiệm phân biệt. Điều ngược lại có đúng không? Tại sao?

Giải

Chiều xuôi: Nếu ac < 0 thì phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac. Vì ac < 0 nên - 4ac > 0, suy ra {b^2} - 4ac > 0(do {b^2} > 0), do đó \Delta > 0$ $\Delta = {b^2} - 4ac. Vì ac < 0 nên - 4ac > 0, suy ra {b^2} - 4ac > 0(do {b^2} > 0), do đó \Delta > 0$

Vậy nếu ac < 0 thì phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ có hai nghiệm phân biệt.

Chiều ngược: Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ có hai nghiệm phân biệt thì ac < 0.

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt suy ra $\Delta = {b^2} - 4ac > 0 nên {b^2} > 4ac$ $\Delta = {b^2} - 4ac > 0 nên {b^2} > 4ac$.

Ta thấy có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: 4ac > 0 nên ac > 0

TH2: 4ac < 0 nên ac < 0

Vậy khẳng định chiều ngược lại không đúng.

Giải bài tập 3 trang 59

Giải các phương trình

a) ${x^2} - x - 5 = 0$ ${x^2} - x - 5 = 0$

b) $2{x^2} - 0,5x - 0,03 = 0$ $2{x^2} - 0,5x - 0,03 = 0$

c) $- 16{x^2} + 8x - 1 = 0$ $- 16{x^2} + 8x - 1 = 0$

d) $- 2{x^2} + 5x - 4 = 0$ $- 2{x^2} + 5x - 4 = 0$

e) $\frac{1}{5}{x^2} - 5 = 0$ $\frac{1}{5}{x^2} - 5 = 0$

g) $3{x^2} + \sqrt 2 x = 0$ $3{x^2} + \sqrt 2 x = 0$

Giải
a) ${x^2} - x - 5 = 0$ ${x^2} - x - 5 = 0$

Phương trình có các hệ số a = 1;b = - 1;c = - 5.

$\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 21 > 0$ $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 21 > 0$

Do $\Delta > 0$ $\Delta > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ 1 + \sqrt {21} }}{{2.1}} = \frac{{ 1 + \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{ 1 - \sqrt {21} }}{{2.1}} = \frac{{ 1 - \sqrt {21} }}{2}$ ${x_1} = \frac{{ 1 + \sqrt {21} }}{{2.1}} = \frac{{ 1 + \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{ 1 - \sqrt {21} }}{{2.1}} = \frac{{ 1 - \sqrt {21} }}{2}$

b) $2{x^2} - 0,5x - 0,03 = 0$ $2{x^2} - 0,5x - 0,03 = 0$

Phương trình có các hệ số a = 2;b = - 0,5;c = - 0,03.

$\Delta = {\left( { - 0,5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 0,03} \right) = 0,01 > 0$ $\Delta = {\left( { - 0,5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 0,03} \right) = 0,01 > 0$

Do $\Delta > 0$ $\Delta > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{0,5 + \sqrt {0,01} }}{{2.2}} = 0,15;{x_2} = \frac{{ 0,5 - \sqrt {0,01} }}{{2.2}} = 0,1$ ${x_1} = \frac{{0,5 + \sqrt {0,01} }}{{2.2}} = 0,15;{x_2} = \frac{{ 0,5 - \sqrt {0,01} }}{{2.2}} = 0,1$

c) $- 16{x^2} + 8x - 1 = 0$ $- 16{x^2} + 8x - 1 = 0$

Phương trình có các hệ số a = - 16;b = 8;c = - 1. Do b = 8 nên b' = 4.

$\Delta$ $\Delta ' = {4^2} - \left( { - 16} \right).( - 1) = 0$

Do \Delta ' = 0 nên phương trình có nghiệm kép là:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 4}}{{ - 16}} = \frac{1}{4}$ ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 4}}{{ - 16}} = \frac{1}{4}$

d) $- 2{x^2} + 5x - 4 = 0$ $- 2{x^2} + 5x - 4 = 0$

Phương trình có các hệ số a = - 2;b = 5;c = - 4.

$\Delta = {5^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0$ $\Delta = {5^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0$

Do $\Delta < 0$ $\Delta < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

e) $\frac{1}{5}{x^2} - 5 = 0$ $\frac{1}{5}{x^2} - 5 = 0$

$\begin{array}{l}\frac{1}{5}{x^2} = 5\\{x^2} = 25\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{1}{5}{x^2} = 5\\{x^2} = 25\end{array}$

x = 5 hoặc x = - 5

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5;x = - 5.

g) $3{x^2} - \sqrt 2 x = 0$ $3{x^2} - \sqrt 2 x = 0$

$x(3x - \sqrt 2 ) = 0$ $x(3x - \sqrt 2 ) = 0$

$x = 0 hoặc 3x - \sqrt 2 = 0$ $x = 0 hoặc 3x - \sqrt 2 = 0$

$x = 0 x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ $x = 0 x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$

Vậy phương trình có nghiệm ${x_1} = 0 và {x_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}.$ ${x_1} = 0 và {x_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}.$

Giải bài tập 4 trang 60

Ra đa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong 10 phút, phát hiện rằng tốc độ v (km/h) của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian t (phút) bởi công thức $v = 3{t^2} - 30t + 135.$ $v = 3{t^2} - 30t + 135.$

a) Tính tốc độ của ô tô khi t = 5.

b) Tính giá trị của t khi tốc độ ô tô bằng 120 km/h theo đơn vị phút và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Giải

$v = 3{t^2} - 30t + 135(1)$ $v = 3{t^2} - 30t + 135(1)$

a) Vận tốc của ô tô khi t = 5 là:

$v = {3.5^2} - 30.5 + 135 = 60(km/h)$ $v = {3.5^2} - 30.5 + 135 = 60(km/h)$

b) Để vận tốc ô tô bằng 120 km/h thì:

$\begin{array}{l}120 = 3{t^2} - 30t + 135\\{t^2} - 10t + 5 = 0\\\Delta$ $\begin{array}{l}120 = 3{t^2} - 30t + 135\\{t^2} - 10t + 5 = 0\\\Delta ' = {( - 5)^2} - 5.1 = 20 > 0\end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

${t_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {20} }}{1} \approx 9;{t_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {20} }}{1} \approx 1$ ${t_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {20} }}{1} \approx 9;{t_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {20} }}{1} \approx 1$

Vì ra đa của máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của ô tô trong 10 phút nên 0 < t < 10.

Vậy để vận tốc ô tô bằng 120 km/h thì $t \approx 9$ $t \approx 9$ phút $hoặc t \approx 1$ $hoặc t \approx 1$ phút.

Giải bài tập 5 trang 60

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2019 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của dịch bệnh nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2020 và 2021 đều giảm, cụ thể: Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019; Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020. Biết rằng số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 51% so với số lượng sản phẩm xuất được của năm 2019. Tìm x.

Giải

Điều kiện 0 < x < 100.

Số sản phẩm nhà máy đó sản xuất được trong năm 2020 là: $5000 - x\% .5000 = 5000 - 50x$ $5000 - x\% .5000 = 5000 - 50x$ (sản phẩm)

Số sản phẩm nhà máy đó sản xuất được trong năm 2021 là:

$5000 - 50x - x\% \left( {5000 - 50x} \right) \\= 5000 - 50x - 50x + 0,5x^2 \\= 0,5x^2 - 100x + 5000$ $5000 - 50x - x\% \left( {5000 - 50x} \right) \\= 5000 - 50x - 50x + 0,5x^2 \\= 0,5x^2 - 100x + 5000$

Ta lại có, số sản phẩm nhà máy đó sản xuất được trong năm 2021 giảm 51% so với số sản phẩm của năm 2019, nên số sản phẩm của năm 2021 là: $5000 - 51\% .5000 = 2450$ $5000 - 51\% .5000 = 2450$ sản phẩm.

Ta có phương trình:

$\begin{array}{l}0,5x^2 - 100x + 5000 = 2450\\0,5x^2 - 100x + 2550 = 0\\x^2 - 200x + 5100 = 0\\\Delta$ $\begin{array}{l}0,5x^2 - 100x + 5000 = 2450\\0,5x^2 - 100x + 2550 = 0\\x^2 - 200x + 5100 = 0\\\Delta ' = {\left( { - 100} \right)^2} - 1.5100 = 4900 > 0\end{array}$

Vì $\Delta$ $\Delta ' > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 100} \right) + \sqrt {4900} }}{1} = 170;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 100} \right) - \sqrt {4900} }}{1} = 30.$ ${x_1} = \frac{{ - \left( { - 100} \right) + \sqrt {4900} }}{1} = 170;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 100} \right) - \sqrt {4900} }}{1} = 30.$

Mà 0 < x < 100 nên x = 30.

Vậy x = 30 là giá trị cần tìm.

Giải bài tập 6 trang 60

Mảnh đất của bác An có dạng hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 10m. Ở mỗi góc của mảnh đất, bác An đã dành 1 phần đất có dạng tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$chiều rộng của mảnh đất để trồng hoa (Hình 8). Tính chiều rộng mảnh đất đó, biết diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần trồng hoa là $408 {m^2}$ $408 {m^2}$.

Giải

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (mét, x > 0)

Chiều dài của mảnh đất là: x + 10(m)

Diện tích mảnh đất là: $x(x + 10)({m^2})$ $x(x + 10)({m^2})$

Cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là: $\frac{x}{8}(m)$ $\frac{x}{8}(m)$

Tổng diện tích trồng hoa là:
$4.\frac{1}{2}.\frac{x}{8}.\frac{x}{8} = \frac{{{x^2}}}{{32}}({m^2})$ $4.\frac{1}{2}.\frac{x}{8}.\frac{x}{8} = \frac{{{x^2}}}{{32}}({m^2})$

Vì diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần trồng hoa là $408 {m^2}$ $408 {m^2}$ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}x(x + 10) - \frac{{{x^2}}}{{32}} = 408\\{x^2} + 10x - \frac{{{x^2}}}{{32}} = 408\\32{x^2} + 320x - {x^2} = 13056\\31{x^2} + 320x - 13056 = 0\end{array}$ $\begin{array}{l}x(x + 10) - \frac{{{x^2}}}{{32}} = 408\\{x^2} + 10x - \frac{{{x^2}}}{{32}} = 408\\32{x^2} + 320x - {x^2} = 13056\\31{x^2} + 320x - 13056 = 0\end{array}$

x = - 26,3 hoặc x = 16

Mà x > 0 nên x = 16.

Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 16m.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Phùng

1

39

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!