Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2 Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 11, trang 12, trang 13, 14, 15, 16.

Giải Toán 9 trang 11

Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - 3y = 1\end{array} \right.\). Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.

2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá tị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải:

1. Ta có \(x + y = 3\) suy ra \(y = 3 - x\) thay vào phương trình \(2x - 3y = 1\) ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 3\left( {3 - x} \right) = 1\\2x - 9 + 3x = 1\\5x = 10\\x = 2\end{array}\)

2. Với \(x = 2\) suy ra \(y = 3 - 2 = 1.\) Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải Toán 9 trang 12

Luyện tập 1 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 2x + 5y = 1;\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = - 1\\7x + 2y = 1.\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

a) Từ phương trình \(x - 3y = 2\) ta có \(x = 2 + 3y.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(- 2\left( {2 + 3y} \right) + 5y = 1\) hay \(- 4 - y = 1\) suy ra \(y = - 5.\) Từ đó \(x = 2 + 3.\left( { - 5} \right) = - 13.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 13; - 5} \right).\)

b) Từ phương trình \(4x + y = - 1\) ta có \(y = - 1 - 4x.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(7x + 2\left( { - 1 - 4x} \right) = 1\) hay \(- x - 2 = 1\) suy ra \(x = - 3.\) Từ đó \(y = - 1 - 4.\left( { - 3} \right) = 11.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 3;11} \right).\)

Luyện tập 2 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\4x - 2y = - 4\end{array} \right.\) bằng phương pháp thế

Hướng dẫn giải:

Ta có \(- 2x + y = 3\) hay \(y = 3 + 2x\), thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}4x - 2\left( {3 + 2x} \right) = - 4\\0x - 6 = - 4\end{array}\)

\(0x = 2\) (vô lí) (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 3 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 1\\3x + 9y = - 3\end{array} \right.\) bằng phương pháp thế

Hướng dẫn giải:

Ta có \(x + 3y = - 1\) hay \(x = - 1 - 3y\) (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}3\left( { - 1 - 3y} \right) + 9y = - 3\\0y - 3 = - 3\end{array}\)

\(0y = 0\) (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi \(y \in \mathbb{R}\) thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 1 - 3y;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Vận dụng 1 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống \(\left( {x;y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Hướng dẫn giải:

a) Số cây cải trồng trong vườn là \(xy\)

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là \(x + 8\); số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là \(y - 3\), số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 108 = xy\) suy ra \(- 3x + 8y = - 84.\)

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là \(x - 4\), nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là \(y + 2\) thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 64 = xy\) suy ra \(2x - 4y = 72.\)

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y = - 84\\2x - 4y = 72\end{array} \right.\)

b) Ta có \(- 3x + 8y = - 84\) suy ra \(x = \frac{{84 + 8y}}{3}\) thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(2.\frac{{84 + 8y}}{3} - 4y = 72\) suy ra \(\frac{4}{3}y = 16\) nên \(y = 12.\)

Với \(y = 12\) nên \(x = \frac{{84 + 8.12}}{3} = 60.\)

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải Toán 9 trang 13

Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hệ phương trình \(\left( {II} \right)\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 3\\x - 2y = 6\end{array} \right.\). Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối của nhau (tổng của chúng bằng 0) . Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.

2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 6 + 3\\3x = 9\\x = 3\end{array}\)

2. Với \(x = 3\) thay vào phương trình thứ hai ta có: \(3 - 2y = 6\) nên \(y = \frac{{ - 3}}{2}.\)

Vậy \(\left( {3;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

Giải Toán 9 trang 14

Luyện tập 4 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

\(a) \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 3y = 0\\4x - 5y = - 8;\end{array} \right.\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 0\\x + 3y = 9.\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \(- 2y = - 8\) suy ra \(y = 4.\)

Thế \(y = 4\) vào phương trình đầu ta được \(- 4x + 3.4 = 0\) nên \(- 4x = - 12\) suy ra \(x = 3.\)

Vậy\(\left( {3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {4x + 3y} \right) - \left( {x + 3y} \right) = 0 - 9\) nên \(3x = - 9\) suy ra \(x = - 3.\)

Thế \(x = - 3\) vào phương trình số hai ta được \(- 3 + 3.y = 9\) nên \(3y = 12\) suy ra \(y = 4.\)

Vậy \(\left( { - 3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

Luyện tập 5 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\ - 6x + 10y = - 4\end{array} \right.\) bằng phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 2 ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}12x + 9y = 18\\ - 12x + 20y = - 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {12x + 9y} \right) + \left( { - 12x + 20y} \right) = 18 + \left( { - 8} \right)\) nên \(29y = 10\) suy ra \(y = \frac{{10}}{{29}}.\)

Thế \(y = \frac{{10}}{{29}}\) vào phương trình thứ nhất ta được \(4x + 3.\frac{{10}}{{29}} = 6\) nên \(4x = \frac{{144}}{{29}}\) suy ra \(x = \frac{{36}}{{29}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{36}}{{29}};\frac{{10}}{{29}}} \right)\).

Luyện tập 6 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 0.5x + 0.5y = 1\\ - 2x + 2y = 8.\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \(- 2x + 2y = 4\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 4\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( { - 2x + 2y} \right) - \left( { - 2x + 2y} \right) = 4 - 8\) suy ra \(0x + 0y = - 4\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Toán 9 Kết nối tri thức trang 16

Bài 1.6 trang 16 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

\(a)\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2;\end{array} \right.\)

\(b)\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 13\\4x + y = 2;\end{array} \right.\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l}0,5x - 1,5y = 1\\ - x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(a) \left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2;\end{array} \right.\)

Từ phương trình đầu ta có \(x = 3 + y\) thế vào phương trình thứ hai ta được \(3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2\) suy ra \(9 - y = 2\) nên \(y = 7.\) Thế \(y = 7\) vào phương trình đầu ta có \(x = 10.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {10;7} \right).\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 13\\4x + y = 2;\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 2 - 4x\) thế vào phương trình đầu ta được \(7x - 3\left( {2 - 4x} \right) = 13\) suy ra \(- 6 + 19x = 13\) nên \(x = 1.\) Thế \(x = 1\) vào phương trình thứ hai ta có \(y = - 2.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {1; - 2} \right).\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l}0,5x - 1,5y = 1\\ - x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(x = 3y - 2\) thế vào phương trình đầu ta được \(0,5\left( {3y - 2} \right) - 1,5y = 1\) suy ra \(0y - 1 = 1\) hay \(0y = 2\) (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của y thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.7 trang 16 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số;

\(a) \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array} \right.\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\\3x - 9y = - 12.\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(a) \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {3x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y} \right) = 6 + 14\) nên \(5x = 20\) suy ra \(x = 4.\)

Thế \(x = 4\) vào phương trình thứ nhất ta được \(3.4 + 2y = 6\) nên \(2y = - 6\) suy ra \(y = - 3.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {4; - 3} \right)\).

\(b) \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(1,5x + 1,5y = 9,\) vậy hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}1,5x + 1,5y = 9\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {1,5x + 1,5y} \right) - \left( {1,5x - 2y} \right) = 9 - 1,5\) nên \(3,5y = 7,5\) suy ra \(y = \frac{{15}}{7}.\)

Thế \(y = \frac{{15}}{7}\) vào phương trình thứ hai ta được \(1,5x - 2.\frac{{15}}{7} = 1,5\) nên \(1,5x = \frac{{81}}{7}\) suy ra \(x = \frac{{27}}{7}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{27}}{7};\frac{{15}}{7}} \right)\).

\(c) \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\\3x - 9y = - 12.\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{2}\) ta được \(- x + 3y = 4,\) nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{3}\) ta được \(x - 3y = - 4.\)

Vậy hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = 4\\x - 3y = - 4\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( { - x + 3y} \right) + \left( {x - 3y} \right) = 4 + \left( { - 4} \right)\) nên \(0x + 0y = 0\) (luôn đúng) .

Ta thấy phương trình luôn đúng với x tùy ý và y tùy ý. Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bởi phương trình \(- x + 3y = 4,\) suy ra \(x = 3y - 4\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {3y - 4;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).

Bài 1.8 trang 16 Toán 9 Tập 1:

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 2{m^2}x + 9y = 3\left( {m + 3} \right)\end{array} \right.\), trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) \(m = - 2;\)

b) \(m = - 3;\)

c) \(m = 3.\)

Hướng dẫn giải

a) Thay \(m = - 2\) vào hệ phương trình đã cho ta được\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \(8x - 4y = - 12,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 4y = - 12\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right..\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {8x - 4y} \right) + \left( { - 8x + 9y} \right) = \left( { - 12} \right) + 3\) nên \(5y = - 9\) suy ra \(y = \frac{{ - 9}}{5}.\) Thế \(y = \frac{{ - 9}}{5}\) vào phương trình \(2x - y = - 3\) ta được \(2x - \frac{{ - 9}}{5} = - 3\) suy ra \(x = - \frac{{12}}{5}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - \frac{{12}}{5}; - \frac{9}{5}} \right).\)

b) Thay \(m = - 3\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 18x + 9y = 0\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{9}\), ta được \(- 2x + y = 0,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2y - y = - 3\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x - y} \right) + \left( { - 2x + y} \right) = - 3 + 0\) nên \(0x + 0y = - 3\) (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) Thay \(m = 3\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 18x + 9y = 18\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{9}\), ta được \(- 2x + y = 2,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2y - y = - 3\\ - 2x + y = 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x - y} \right) + \left( { - 2x + y} \right) = - 3 + 2\) nên \(0x + 0y = - 1\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.9 trang 16 Toán 9 Tập 1:

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

\(a) \left\{ \begin{array}{l}12x - 5y + 24 = 0\\ - 5x - 3y - 10 = 0;\end{array} \right.\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2;\end{array} \right.\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - x + 2y = 0;\end{array} \right.\)

\(d) \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{9}x - \frac{3}{5}y = 11\\\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y = - 2.\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(a) \left\{ \begin{array}{l}12x - 5y + 24 = 0\\ - 5x - 3y - 10 = 0;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = - \frac{{77}}{{61}};y = \frac{{108}}{{61}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - \frac{{77}}{{61}};\frac{{108}}{{61}}} \right).\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính, màn hình hiển thị “Infinite Sol”. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

\(c) \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - x + 2y = 0;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{4}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right).\)

\(d) \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{9}x - \frac{3}{5}y = 11\\\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y = - 2.\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{9}{2};y = - 15.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{9}{2}; - 15} \right).\)

Bài tiếp theo: Luyện tập chung trang 19