Toán 9 Kết nối tri thức Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 14: Cung và dây của một đường tròn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 87, 88, 89, 90.

Giải Toán 9 KNTT bài 14

Giải Toán 9 trang 87
- Hoạt động trang 87 Toán 9 Tập 1:
Giải Toán 9 trang 88
- Luyện tập 1 trang 88 Toán 9 Tập 1:
Giải Toán 9 trang 90

Giải Toán 9 trang 87

Hoạt động trang 87 Toán 9 Tập 1:

Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R) (H.5.7). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOB, chứng minh AB < 2R.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AOB có: AB < OA + OB (bất đẳng thức tam giác).

Mà OA = OB = R nên AB < 2R.

Giải Toán 9 trang 88

Luyện tập 1 trang 88 Toán 9 Tập 1:

Cho đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) trên đường tròn, ta đều có: BC < AB + AC < 2BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có: BC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác). (1)

Xét đường tròn đường kính BC có dây cung AB, AC ta có: AB < BC, AC < BC.

Suy ra: AB + AC < 2BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC < AB + AC < 2BC.

Giải Toán 9 trang 90

Bài 5.5 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn $\frac{AB}{2}$ $\frac{AB}{2}$.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của M trên AB.

Khi đó khoảng cách từ M đến AB bằng độ dài đoạn MH.

Xét tam giác MHO vuông tại H có: MH ≤ MO.

Lại có OM= $\frac{AB}{2}$ $\frac{AB}{2}$ (do AB là đường kính, OM là bán kính của đường tròn (O)).

Vậy MH≤ $\frac{AB}{2}$ $\frac{AB}{2}$

Bài 5.6 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng dây cung nhỏ AB có số đo bằng $100^\circ$ $100^\circ$(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Theo bài 5.6, $\widehat {HOA} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} mà \widehat {AOB} = sđ\overset\frown{AB}=100{}^\circ$ $\widehat {HOA} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} mà \widehat {AOB} = sđ\overset\frown{AB}=100{}^\circ$

nên $\widehat {HOA} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$ $\widehat {HOA} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

$\cos \widehat {HOA} = \frac{{OH}}{{OA}} \Rightarrow OA = \frac{{OH}}{{\cos \widehat {HOA}}} = \frac{3}{{\cos 50^\circ }} \approx 4,67(cm)$ $\cos \widehat {HOA} = \frac{{OH}}{{OA}} \Rightarrow OA = \frac{{OH}}{{\cos \widehat {HOA}}} = \frac{3}{{\cos 50^\circ }} \approx 4,67(cm)$

Bài 5.7 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.

b) Tính $\tan \alpha$ $\tan \alpha$ nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng $2\alpha .$ $2\alpha .$

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Suy ra: $AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Suy ra: $\Delta OAH = \Delta OBH(c.c.c)$ $\Delta OAH = \Delta OBH(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB}$ $\Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OHB}$ $\widehat {OHB}$ và $\widehat {OHB}$ $\widehat {OHB}$ là hai góc bù nhau nên $\widehat {OHA} + \widehat {OHB} = 180^\circ$ $\widehat {OHA} + \widehat {OHB} = 180^\circ$

$\Rightarrow 2\widehat {OHB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = 90^\circ$ $\Rightarrow 2\widehat {OHB} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = 90^\circ$hay $OH \bot AB$ $OH \bot AB$

Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: $A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}$ $A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}$(định lý Pythagore)

hay $O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow OH = 4 (cm)$ $O{H^2} = O{A^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow OH = 4 (cm)$

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4 cm.

b) Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là $\widehat {AOB} = 2\alpha$ $\widehat {AOB} = 2\alpha$

Mà theo câu a) $\Delta OAH = \Delta OBH \Rightarrow \widehat {HOA} = \widehat {HOB}$ $\Delta OAH = \Delta OBH \Rightarrow \widehat {HOA} = \widehat {HOB}$ (2 góc tương ứng)

Lại có: $\widehat {HOA} + \widehat {HOB} = \widehat {AOB} \Rightarrow 2\widehat {HOA} = 2\alpha \Rightarrow \widehat {HOA} = \alpha$ $\widehat {HOA} + \widehat {HOB} = \widehat {AOB} \Rightarrow 2\widehat {HOA} = 2\alpha \Rightarrow \widehat {HOA} = \alpha$

Suy ra: $\tan \alpha = \frac{{AH}}{{OH}} = \frac{3}{4}$ $\tan \alpha = \frac{{AH}}{{OH}} = \frac{3}{4}$