Toán 9 Kết nối tri thức Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 14: Cung và dây của một đường tròn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 87, 88, 89, 90.

Giải Toán 9 trang 87

Hoạt động trang 87 Toán 9 Tập 1:

Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R) (H.5.7). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOB, chứng minh AB < 2R.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AOB có: AB < OA + OB (bất đẳng thức tam giác).

Mà OA = OB = R nên AB < 2R.

Giải Toán 9 trang 88

Luyện tập 1 trang 88 Toán 9 Tập 1:

Cho đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) trên đường tròn, ta đều có: BC < AB + AC < 2BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có: BC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác). (1)

Xét đường tròn đường kính BC có dây cung AB, AC ta có: AB < BC, AC < BC.

Suy ra: AB + AC < 2BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC < AB + AC < 2BC.

Giải Toán 9 trang 90

Bài 5.5 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn $\frac{AB}{2}$.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của M trên AB.

Khi đó khoảng cách từ M đến AB bằng độ dài đoạn MH.

Xét tam giác MHO vuông tại H có: MH ≤ MO.

Lại có OM=$\frac{AB}{2}$ (do AB là đường kính, OM là bán kính của đường tròn (O)).

Vậy MH≤$\frac{AB}{2}$

Bài 5.6 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng dây cung nhỏ AB có số đo bằng ${100}^{\circ }$(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Theo bài 5.6, $\widehat{HOA}=\frac{\widehat{AOB}}{2}mà\widehat{AOB}=sđ\stackrel{⌢}{AB}=100{}^{\circ }$

nên $\widehat{HOA}=\frac{{100}^{\circ }}{2}={50}^{\circ }$

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

$\cos \widehat{HOA}=\frac{OH}{OA}\Rightarrow OA=\frac{OH}{\cos \widehat{HOA}}=\frac{3}{\cos {50}^{\circ }}\approx 4,67(cm)$

Bài 5.7 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.

b) Tính$\tan \alpha$ nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng $2\alpha .$

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Suy ra: $AH=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3$

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Suy ra: $\mathrm{\Delta }OAH=\mathrm{\Delta }OBH(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OHB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OHB}$ và $\widehat{OHB}$ là hai góc bù nhau nên$\widehat{OHA}+\widehat{OHB}={180}^{\circ }$

$\Rightarrow 2\widehat{OHB}={180}^{\circ }\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OHB}={90}^{\circ }$hay $OH\mathrm{\perp }AB$

Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: $A{H}^2+O{H}^2=O{A}^2$(định lý Pythagore)

hay $O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2=5^2-3^2=16\Rightarrow OH=4(cm)$

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4 cm.

b) Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là $\widehat{AOB}=2\alpha$

Mà theo câu a) $\mathrm{\Delta }OAH=\mathrm{\Delta }OBH\Rightarrow \widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (2 góc tương ứng)

Lại có: $\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}\Rightarrow 2\widehat{HOA}=2\alpha \Rightarrow \widehat{HOA}=\alpha$

Suy ra: $\tan \alpha =\frac{AH}{OH}=\frac{3}{4}$

Bài 5.8 trang 90 Toán 9 Tập 1:

Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút:

a) Đầu kim phút vạch trên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

b) Đầu kim giờ vạch trên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải

a) Cứ 60 phút kim phút chạy hết 1 vòng đồng hồ, tức là vạch trên 1 cung có số đo bằng

360°.

Mỗi phút kim phút vạch trên một cung có số đo là: $\frac{360°}{60}=6°$

Như vậy sau 36 phút, kim phút vạch trên 1 cung có số đo bằng:

6° . 36 = 216°.

b) Sau 1 giờ, kim giờ vạch trên 1 cung có số đo bằng: $\frac{360°}{12}=30°.$

Mỗi phút kim giờ vạch trên một cung có số đo là: $\frac{30°}{60}=0,5°.$

Như vậy sau 36 phút, kim giờ vạch trên 1 cung có số đo bằng:

0,5° . 36 = 18°.