Toán 9 Kết nối tri thức Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 38, 39, 40, 41.

Giải Toán 9 trang 45

Hoạt động 1 trang 45 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tìm các số thực x sao cho \({x^2} = 49.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \({x^2} = 49 = {\left( { - 7} \right)^2} = {7^2}\) nên \(x = 7\) và \(x =  - 7.\)

Vậy \(x \in \left\{ {7; - 7} \right\}.\)

Luyện tập 1 trang 45 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tìm căn bậc hai của 121.

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt {121}  = 11\) nên 121 có hai căn bậc hai là 11 và -11.

Luyện tập 2 trang 45 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Sử dụng MTCT tìm căn bậc hai của \(\frac{7}{{11}}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) .

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt {\frac{7}{{11}}}  \approx 0,80\) nên căn bậc hai của \(\frac{7}{{11}}\) là 0,80 và -0,80.

Hoạt động 2 trang 45 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tính và so sánh \(\sqrt {{a^2}}\) và \(\left| a \right|\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(a = 3;\)

b) \(a =  - 3.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(a = 3;\)

Ta có \(a = 3\) thì \(\sqrt {{a^2}}  = \sqrt {{3^2}}  = \sqrt 9  = 3\)

\(\left| 3 \right| = 3\) nên \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|\)

b) \(a =  - 3.\)

Ta có \(a =  - 3\) thì \(\sqrt {{a^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt 9  = 3\)

\(\left| { - 3} \right| = 3\) nên \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|\)

Giải Toán 9 trang 46

Luyện tập 3 trang 46 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

a) Không sử dụng MTCT, tính: \(\sqrt {{6^2}} ;\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} ;\sqrt 5  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} .\)

b) So sánh 3 với \(\sqrt {10}\) bằng hai cách:

- Sử dụng MTCT;

- Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học đã học ở lớp 7: Nếu \(0 \le a < 7\) thì \(\sqrt a  < \sqrt b .\)

Hướng dẫn giải:

a)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{6^2}}  = 6;\\\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {25}  = 5;\\\sqrt 5  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5  - \left| {\sqrt 5  - 1} \right| = \sqrt 5  - \left( {\sqrt 5  - 1} \right) = \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1 = 1.\end{array}\)

b)

- Sử dụng MTCT ta có \(\sqrt {10}  \approx 3,16\) nên \(\sqrt {10}  > 3.\)

- Sử dụng tính chất đã học của căn bậc hai số học ta có: \(3 = \sqrt 9\) mà \(9 < 10\) nên \(\sqrt 9  < \sqrt {10}\) do đó \(3 < \sqrt {10} .\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3 trang 46 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Viết biểu thức tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, biết \(AB = 3cm,AC = x\,\,cm.\)

Hướng dẫn giải:

Biểu thức tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC là \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + x}  = \sqrt {9 + x} \left( {cm} \right)\)

Hoạt động 4 trang 46 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho biểu thức \(C = \sqrt {2x - 1} .\)

a) Tính giá trị của biểu thức tại \(x = 5.\)

b) Tại \(x = 0\) có tính được giá trị của biểu thức không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

a) Với \(x = 5\) thay vào biểu thức C ta có: \(C = \sqrt {2.5 - 1}  = \sqrt 9  = 3.\)

Vậy với \(x = 5\) thì \(C = 3.\)

b) Với \(x = 0\) ta có biểu thức dưới dấu căn bậc hai số học là \(2.0 - 1 =  - 1 < 0\)

Mà không có căn bậc hai số học của số âm.

Vậy ta không tính được giá trị của biểu thức C.

Giải Toán 9 trang 47

Luyện tập 4 trang 47 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho căn thức \(\sqrt {5 - 2x} .\)

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại \(x = 2.\)

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của \(\sqrt {5 - 2x}\) là \(5 - 2x \ge 0\) hay \(- 2x \ge 0 - 5\) suy ra \(x \le \frac{5}{2}.\)

b) Thay \(x = 2\left( {t/m} \right)\) vào căn thức ta có \(\sqrt {5 - 2.2}  = 1.\)

Giải Toán 9 trang 48

Luyện tập 5 trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

a) Rút gọn biểu thức \(x\sqrt {{x^6}} \left( {x < 0} \right).\)

b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức \(x + \sqrt {4{x^2} - 4x + 1}\) tại \(x =  - 2,5.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(x\sqrt {{x^6}}  = x.\sqrt {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}}  = x.\left| {{x^3}} \right| = x. - {x^3} =  - {x^4}\) vì \(\left( {x < 0} \right).\)

b) Ta có: \(x + \sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  = x + \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}  = x + \left| {2x - 1} \right|\)

Tại \(x =  - 2,5\) ta có giá trị của biểu thức là:

\(- 2,5 + \left| {2.\left( { - 2,5} \right) + 1} \right| =  - 2,5 + 4 = 1,5.\)

Vận dụng trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trở lại tình huống mở đầu.

Tình huống mở đầu

Trong Vật lí, quãng đường S (tính bằng mét) của một vật tự rơi tự do được cho bởi công thức \(S = 4,9{t^2},\) trong đó t là thời gian rơi (tính bằng giây) . Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét?

a) Viết công thức tính thời gian t (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường S (mét)

b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu

Hướng dẫn giải:

a) Từ công thức \(S = 4,9{t^2}\) ta có \({t^2} = \frac{S}{{4,9}}\) suy ra thời gian vật rơi được quãng đường S là:

\(t = \sqrt {\frac{S}{{4,9}}}\) (giây)

b) Thời gian vật rơi được quãng đường 122,5 mét là:

\(t = \sqrt {\frac{{122,5}}{{4,9}}}  = 5\) (giây) .

Vậy sau 5 giây thì vật sẽ chạm đất nếu rơi từ độ cao 122,5 mét.

Bài 3.1 trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) :

a) 24,5;

b) \(\frac{9}{{10}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\sqrt {24,5} \approx 4,95\) nên căn bậc hai của 24,5 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 4,95 và -4,95.

b) Ta có \(\sqrt {\frac{9}{{10}}} \approx 0,95\) nên căn bậc hai của\(\frac{9}{{10}}\)(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 0,95 và -0,95.

Bài 3.2 trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng \(2\,{m^2}\). Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Bán kính của ô đất là \(R = \sqrt {\frac{2}{{3,14}}}\)

Độ chính xác là 0,005 là làm tròn đến hàng phần trăm tức là \(R = \sqrt {\frac{2}{{3,14}}} = 0,7980868845\) nên \(R \approx 0,80\)

Bài 3.3 trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tìm điều kiện xác định của \(\sqrt {x + 10}\)và tính giá trị của căn thức tại x = - 1.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của\(\sqrt {x + 10}\) là \(x + 10 \ge 0\) hay \(x \ge - 10\)

Thay x = - 1 vào căn thức ta được \(\sqrt { - 1 + 10} = \sqrt 9 = 3\)

Bài 3.4 trang 48

Tính: \(\sqrt {5,{1^2}} ;\sqrt {{{\left( { - 4,9} \right)}^2}} ; - \sqrt {{{\left( { - 0,001} \right)}^2}} .\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\sqrt {5,{1^2}} = \left| {5,1} \right| = 5,1;\\\sqrt {{{\left( { - 4,9} \right)}^2}} = \left| {4,9} \right| = 4,9; \\- \sqrt {{{\left( { - 0,001} \right)}^2}} = - \left| {0,001} \right| = - 0,001.\)

Bài 3.5 trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} ;\)

b) \(3\sqrt {{x^2}} - x + 1\left( {x < 0} \right);\)

c) \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} \left( {x < 2} \right).\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5 - 2\)

b) \(3\sqrt {{x^2}} - x + 1 = 3.\left| x \right| - x + 1 = - 3x - x + 1 = - 4x + 1\)

c) \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right| = 2 - x\)

Bài 3.6 trang 48 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức A có giá trị là số nguyên:

\(A = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} .\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \left| {1 + 2\sqrt 2 } \right| - \left| {1 - 2\sqrt 2 } \right|\\ = 1 + 2\sqrt 2 - \left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\\ = 1 + 2\sqrt 2 - 2\sqrt 2 + 1\\ = 2\end{array}\)