Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 54, 55, 56, 57.

Giải Toán 9 trang 56

Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{{3a}}{{2\sqrt 2 }}$ với $\sqrt 2$ và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{3a}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{3a.\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{2.2}} = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4}$

Hoạt động 4 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hai biểu thức $\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + 1}}$ và $\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}.$ Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:

a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức liên hợp của $\sqrt 3 + 1$ là $\sqrt 3 - 1$ và của $\sqrt 3 - \sqrt 2$ là $\sqrt 3 + \sqrt 2$

b) Ta có:

$\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}$ ; $\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = \frac{{1\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}$

c) $\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + 1}}$ $= \frac{{ - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}$ $= \frac{{ - 2\sqrt 3 + 2}}{{3 - 1}}$ $= \frac{{ - 2\sqrt 3 + 2}}{2}$ $= - \sqrt 3 + 1$

$\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$ $= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}$ $= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}}$ $= \sqrt 3 + \sqrt 2$

Giải Toán 9 trang 57

Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }};$

b) $\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a + \sqrt 2 }}\left( {a \ge 0,a \ne 2} \right).$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt {3\left( {{x^2} + 1} \right)} }}{6}$

b) $\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a + \sqrt 2 }}$ $= \frac{{a\left( {a - 2} \right)\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)}}$ $= \frac{{a\left( {a - 2} \right)\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)}}{{a - 2}}$ $= a\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)$

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải Toán 9 trang 58

Luyện tập 5 trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Rút gọn biểu thức sau:

$\left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right).$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\\ = \left( {\frac{{\sqrt {11} \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{ - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} = \left( { - \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\\ = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\\ = - \left( {7 - 11} \right) = - 4\end{array}$

Vận dụng trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức $m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},$ trong đó ${m_0}$ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo ${m_0}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ $v = \frac{1}{{10}}c.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{{{m_0}\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}$

b) Với $v = \frac{1}{{10}}c$ , ta có $\frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2} = \frac{1}{{100}}$

Nên $m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{100}}} }} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {\frac{{99}}{{100}}} }} = \frac{{10{m_0}}}{{9\sqrt {11} }} = \frac{{10{m_0}\sqrt {11} }}{{99}}$

Bài 3.17 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt {52} ;$

b) $\sqrt {27a} \left( {a \ge 0} \right);$

c) $\sqrt {50\sqrt 2 + 100} ;$

d) $\sqrt {9\sqrt 5 - 18} .$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {75} = \sqrt {{2^2}.13} = 2\sqrt 13$

b) $\sqrt {27a} = \sqrt {9.3} = \sqrt {{3^2}.3} = 3\sqrt 3$

c) $\sqrt {50\sqrt 2 + 100} = \sqrt {25.2\sqrt 2 + 25.4} = \sqrt {25\left( {2\sqrt 2 + 4} \right)} = 5\sqrt {2\sqrt 2 + 4}$

d) $\sqrt {9\sqrt 5 - 18} = \sqrt {9\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} = 3\sqrt {\sqrt 5 - 2}$

Bài 3.18 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $4\sqrt 3 ;$

b) $- 2\sqrt 7 ;$

c) $4\sqrt {\frac{{15}}{2}} ;$

d) - $5\sqrt {\frac{{16}}{5}} .$

Hướng dẫn giải

a) $4\sqrt 3$ = $\sqrt{4^{2}.3 }$ = $\sqrt {48}$

b) $- 2\sqrt 7 = - \sqrt 4 .\sqrt 7 = - \sqrt {28}$

c) $4\sqrt {\frac{{15}}{2}} = \sqrt {16} .\sqrt {\frac{{15}}{2}} = \sqrt {16.\frac{{15}}{2}} = \sqrt {120}$

d) $- 5\sqrt {\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {25} .\sqrt {\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {25.\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {80}$

Bài 3.19 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a.\sqrt {\frac{3}{5}} ;$

b) $- 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} \left( {x > 0} \right);$

c) $- \sqrt {\frac{{3a}}{b}} \left( {a \ge 0,b > 0} \right).$

Hướng dẫn giải

a) $2a.\sqrt {\frac{3}{5}} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = 2a.\frac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = 2a\frac{{\sqrt {15} }}{5}$

b) $- 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} = - 3x.\frac{{\sqrt 5 .\sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt x }} = - 3x.\frac{{\sqrt {5x} }}{x} = - 3\sqrt x$

c) $- \sqrt {\frac{{3a}}{b}} = - \frac{{\sqrt {3a} }}{{\sqrt b }} = - \frac{{\sqrt {3ab} }}{{\sqrt b .\sqrt b }} = \frac{{ - \sqrt {3ab} }}{b}$

Bài 3.20 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }};$

b) $\frac{1}{{\sqrt 5 - 2}};$

c) $\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }};$

d) $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}.$

Hướng dẫn giải

$a) \frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left( {4 + 3\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 + 15}}{5}$

$b) \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{1.\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{5 - 4}} = \sqrt 5 + 2$

$c) \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{3 + 3\sqrt 3 + 1\sqrt 3 + \sqrt {{3^2}} }}{{1 - 3}} = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{{ - 2}}$

$d) \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{\sqrt 6 - 2}}{{3 - 2}} = \sqrt 6 - 2$

Bài 3.21 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} ;$

b) $\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }};$

c) $\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}.$

Hướng dẫn giải

$a) 2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} = 2\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - 4\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = 2.\frac{{\sqrt 6 }}{3} - 4.\frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6 \left( {\frac{2}{3} - 2} \right) = \frac{{ - 4\sqrt 6 }}{3}.$

b) $\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }}$

$= \frac{{5\sqrt {16.3} - 3\sqrt {9.3} + 2\sqrt {4.3} }}{{\sqrt 3 }}$

$= \frac{{\sqrt 3 .\left( {5\sqrt {16} - 3\sqrt 9 + 2\sqrt 4 } \right)}}{{\sqrt 3 }}$

$= 5.4 - 3.3 + 2.2 = 20 - 9 + 4 = 15$

c) $\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}$

$= \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}$

$= \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{9 - 8}} + \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 3 - 2\sqrt 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{2}$

$= 3 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3$

Bài 3.22 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right).$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\\ = \sqrt x .\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{x - 9}} - \frac{{3 + \sqrt x }}{{9 - x}}} \right)\\ = \sqrt x \left( {\frac{{\sqrt x - 3 + 3 + \sqrt x }}{{x - 9}}} \right)\\ = \sqrt x .2\sqrt x \\ = 2x\end{array}$