Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Hướng dẫn giải Toán 9 KNTT Bài 9
Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 54, 55, 56, 57.
Giải SGK Toán 9 KNTT trang 54
Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Tính và so sánh
\(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}.25}\) với \(\left| { - 3} \right|.\sqrt {25}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}.25} = \sqrt {9.25} = \sqrt {225} = 15\)
\(\left| { - 3} \right|.\sqrt {25} = 3.5 = 15\)
Do đó ta có \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}.25}\) = \(\left| { - 3} \right|.\sqrt {25}\)
Luyện tập 1 trang 54 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) \(\sqrt {12}\) ;
b) \(3\sqrt {27}\) ;
c) \(5\sqrt {48}\) .
Lời giải chi tiết:
a) \(\sqrt {12} = \sqrt {4.3} = \sqrt {{2^2}.3} = 2\sqrt 3\)
b) \(3\sqrt {27} = 3\sqrt {9.3} = 3.\sqrt {{3^2}.3} = 3.3.\sqrt 3 = 9\sqrt 3\)
c) \(5\sqrt {48} = 5.\sqrt {16.3} = 5.\sqrt {{4^2}.3} = 5.4.\sqrt 3 = 20\sqrt 3\)
Giải SGK Toán 9 KNTT trang 55
Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Khử mẫu của biểu thức lấy căn \sqrt {\frac{3}{5}} .
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\sqrt {\frac{3}{5}} = \sqrt {\frac{{3.5}}{{5.5}}} = \sqrt {\frac{{15}}{{{5^2}}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\)
Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Tính và so sánh:
a) \(5.\sqrt 4\) với \(\sqrt {{5^2}.4}\) ; b) -\(5.\sqrt 4\) với \(- \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.4}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(5.\sqrt 4 = 5.2 = 10;\sqrt {{5^2}.4} = \sqrt {100} = 10.\)
Do đó \(5.\sqrt 4 = \sqrt {{5^2}.4}\)
b) \(- 5.\sqrt 4 = - 5.2 = - 10; - \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.4} = - \left| { - 5} \right|.\sqrt 4 = - 5.2 = - 10.\)
Do đó \(- 5.\sqrt 4 = - \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.4}\)
Giải SGK Toán 9 KNTT trang 56
Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a) \(3\sqrt 5\) ;
b) \(- 2\sqrt 7\) .
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}} .\sqrt 5 = \sqrt {9.5} = \sqrt {45}\)
b) Ta có \(- 2\sqrt 7 = - \left( {2\sqrt 7 } \right) = - \sqrt {{2^2}} .\sqrt 7 = - \sqrt {28}\)
Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức \(\frac{{3a}}{{2\sqrt 2 }}\) với \(\sqrt 2\) và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{{3a}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{3a.\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{2.2}} = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4}\)
Hoạt động 4 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho hai biểu thức \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + 1}}\) và \(\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}.\) Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:
a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.
b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức liên hợp của \(\sqrt 3 + 1\) là \(\sqrt 3 - 1\) và của \(\sqrt 3 - \sqrt 2\) là \(\sqrt 3 + \sqrt 2\)
b) Ta có:
\(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\)
\(\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = \frac{{1\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\)
c) Ta có:
\(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 + 1}}\)\(= \frac{{ - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\)\(= \frac{{ - 2\sqrt 3 + 2}}{{3 - 1}}\)\(= \frac{{ - 2\sqrt 3 + 2}}{2}\)\(= - \sqrt 3 + 1\)
\(\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\)\(= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\)\(= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}}\)\(= \sqrt 3 + \sqrt 2\)
Giải SGK Toán 9 KNTT trang 57
Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) \(\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }};\) b) \(\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a + \sqrt 2 }}\left( {a \ge 0,a \ne 2} \right).\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt {3\left( {{x^2} + 1} \right)} }}{6}\)
b) Ta có:
\(\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a + \sqrt 2 }}\)\(= \frac{{a\left( {a - 2} \right)\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)}}\)
\(= \frac{{a\left( {a - 2} \right)\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)}}{{a - 2}}\)\(= a\left( {\sqrt a - \sqrt 2 } \right)\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Giải SGK Toán 9 KNTT trang 58
Luyện tập 5 trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Rút gọn biểu thức sau:
\(\left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right).\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt {11} \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{ - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \left( { - \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\\ = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\\ = - \left( {7 - 11} \right) = - 4\end{array}\)
Vận dụng trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},\) trong đó \({m_0}\) (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .
a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.
b) Tính khối lượng m theo \({m_0}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ \(v = \frac{1}{{10}}c.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{{{m_0}\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\)
b) Với \(v = \frac{1}{{10}}c\), ta có: \(\frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2} = \frac{1}{{100}}\)
Nên \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{100}}} }} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {\frac{{99}}{{100}}} }} = \frac{{10{m_0}}}{{9\sqrt {11} }} = \frac{{10{m_0}\sqrt {11} }}{{99}}\)
Giải SGK Toán 9 KNTT trang 59
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)\(\sqrt {52} ;\) b) \(\sqrt {27a} \left( {a \ge 0} \right);\) c) \(\sqrt {50\sqrt 2 + 100} ;\) d) \(\sqrt {9\sqrt 5 - 18} .\)
Hướng dẫn giải
a) \(\sqrt {75} = \sqrt {{2^2}.13} = 2\sqrt 13\)
b) \(\sqrt {27a} = \sqrt {9.3} = \sqrt {{3^2}.3} = 3\sqrt 3\)
c) \(\sqrt {50\sqrt 2 + 100} = \sqrt {25.2\sqrt 2 + 25.4} = \sqrt {25\left( {2\sqrt 2 + 4} \right)} = 5\sqrt {2\sqrt 2 + 4}\)
d) \(\sqrt {9\sqrt 5 - 18} = \sqrt {9\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} = 3\sqrt {\sqrt 5 - 2}\)
Bài 3.18 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a) \(4\sqrt 3 ;\) b) \(- 2\sqrt 7 ;\) c) \(4\sqrt {\frac{{15}}{2}} ;\) d) \(-5\sqrt {\frac{{16}}{5}} .\)
Hướng dẫn giải
a) \(4\sqrt 3\) = \(\sqrt{4^{2}.3 }\) =\(\sqrt {48}\)
b) \(- 2\sqrt 7 = - \sqrt 4 .\sqrt 7 = - \sqrt {28}\)
c) \(4\sqrt {\frac{{15}}{2}} = \sqrt {16} .\sqrt {\frac{{15}}{2}} = \sqrt {16.\frac{{15}}{2}} = \sqrt {120}\)
d) \(- 5\sqrt {\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {25} .\sqrt {\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {25.\frac{{16}}{5}} = - \sqrt {80}\)
Bài 3.19 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Khử mẫu trong dấu căn:
a) \(2a.\sqrt {\frac{3}{5}} ;\) b) \(- 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} \left( {x > 0} \right);\) c) \(- \sqrt {\frac{{3a}}{b}} \left( {a \ge 0,b > 0} \right).\)
Hướng dẫn giải
a) \(2a.\sqrt {\frac{3}{5}} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = 2a.\frac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = 2a\frac{{\sqrt {15} }}{5}\)
b) \(- 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} = - 3x.\frac{{\sqrt 5 .\sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt x }} = - 3x.\frac{{\sqrt {5x} }}{x} = - 3\sqrt x\)
c) \(- \sqrt {\frac{{3a}}{b}} = - \frac{{\sqrt {3a} }}{{\sqrt b }} = - \frac{{\sqrt {3ab} }}{{\sqrt b .\sqrt b }} = \frac{{ - \sqrt {3ab} }}{b}\)
Bài 3.20 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Trục căn thức ở mẫu:
a) \(\frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }};\) b) \(\frac{1}{{\sqrt 5 - 2}};\) c) \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }};\) d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left( {4 + 3\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 + 15}}{5}\)
b) Ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{1.\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{5 - 4}} = \sqrt 5 + 2\)
c) Ta có:
\(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}\)\(= \frac{{3 + 3\sqrt 3 + 1\sqrt 3 + \sqrt {{3^2}} }}{{1 - 3}} = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{{ - 2}}\)
d) Ta có:
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\)\(= \frac{{\sqrt 6 - 2}}{{3 - 2}} = \sqrt 6 - 2\)
Bài 3.21 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} ;\) b) \(\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }};\) c)\(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} = 2\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - 4\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)\(= 2.\frac{{\sqrt 6 }}{3} - 4.\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)\(= \sqrt 6 \left( {\frac{2}{3} - 2} \right) = \frac{{ - 4\sqrt 6 }}{3}.\)
b) Ta có:
\(\frac{{5\sqrt {48} - 3\sqrt {27} + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }}\)\(= \frac{{5\sqrt {16.3} - 3\sqrt {9.3} + 2\sqrt {4.3} }}{{\sqrt 3 }}\)
\(= \frac{{\sqrt 3 .\left( {5\sqrt {16} - 3\sqrt 9 + 2\sqrt 4 } \right)}}{{\sqrt 3 }}\)
\(= 5.4 - 3.3 + 2.2 = 20 - 9 + 4 = 15\)
c) Ta có:
\(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2 - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}\)
\(= \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}} + \frac{{4\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}\)
\(= \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{9 - 8}} + \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 3 - 2\sqrt 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{2}\)
\(= 3 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\)
Bài 3.22 trang 59 Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right).\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}A = \sqrt x \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\\ = \sqrt x .\left( {\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{x - 9}} - \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{9 - x}}} \right)\\ = \sqrt x \left( {\frac{{\sqrt x - 3 + 3 + \sqrt x }}{{x - 9}}} \right)\\ = \sqrt x .2\sqrt x \\ = 2x\end{array}\)
Bài tiếp theo:
- Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba
- Luyện tập chung trang 63
- Bài tập cuối chương 3
- Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng
- Luyện tập chung trang 80
-----------------------------------
Qua bài học Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, học sinh sẽ nắm vững các quy tắc biến đổi căn thức, biết cách rút gọn biểu thức một cách chính xác và vận dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài tập khác nhau. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng, giúp việc học các chuyên đề tiếp theo về căn thức bậc hai cũng như giải toán ôn thi vào lớp 10 trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Hy vọng phần Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 9 với lời giải chi tiết, dễ hiểu đã giúp bạn tự tin hoàn thành các bài tập trong sách giáo khoa. Hãy tiếp tục luyện tập thêm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, ghi nhớ những lỗi thường gặp và thường xuyên ôn lại các công thức trọng tâm để nâng cao kỹ năng giải toán, đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
