Toán 9 Kết nối tri thức Luyện tập chung trang 79

Bài 4.14 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức:

Một cuốn sách khổ 17 × 24 cm, tức là chiều rộng 17 cm, chiều dài 24 cm. Gọi α là góc giữa đường chéo và cạnh 17 cm. Tính sinα, cosα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo α (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải:

Xét cuốn sách có dạng là hình chữ nhật chiều dài AB = CD = 24 cm; chiều rộng AC = BD = 17 cm.

Tam giác ACD vuông tại C có \(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2}\) (định lý Pythagore)

Thay số ta có: \(A{D^2} = {17^2} + {24^2} = 865\) hay \(AD = \sqrt {865}\)cm (vì AD > 0)

\(\sin \alpha = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{24}}{{\sqrt {865} }} \approx 0,82;\cos \alpha = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{17}}{{\sqrt {865} }} \approx 0,58\) và \(\alpha \approx {55^0}\)

Bài 4.15 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC có chân đường cao AH nằm giữa B và C. Biết HB = 3cm,HC = 6cm,\(\widehat {HAC} = {60^0}\). Hãy tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm) , số đo các góc của tam giác ABC (làm tròn đến độ) .

Hướng dẫn giải:

Cạnh BC = BH + HC = 3 + 6 = 9 cm

Ta có:

\(\sin \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{AC}}\)hay \(\sin {60^0} = \frac{6}{{AC}}\) hay \(AC = \frac{6}{{\sin {{60}^0}}} = 4\sqrt 3 cm\)

\(\tan \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{AH}}\) hay \(\tan {60^0} = \frac{6}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{6}{{\tan {{60}^0}}} = 2\sqrt 3\)

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {3^2} = 21\) hay A\(B = \sqrt {21} cm\) (vì AB > 0)

Bài 4.16 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức

Tìm chiều rộng d của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m).

Hướng dẫn giải:

Chiều rộng của sông là \(d = 50.\tan {40^0} \approx 42 m\)

Vậy chiều rộng của sông khoảng 42 m

Bài 4.18 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức:

Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai điểm A và B ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm C đến A và đến B là CA = 90m,CB = 150m và \widehat {ACB} = {120^0} (H.4.29) . Hãy tính AB giúp bạn.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\widehat {BCA} + \widehat {ACH} = {180^0}\) (kề bù)

Nên \(AH = AC.\sin \widehat {ACH} = 90.\sin 60 = 45\sqrt 3 m\)

\(CH = AC.\cos \widehat {ACH} = 90.\cos {60^0} = 45 m\)

Do đó BH = BC + CH = 150 + 45 = 195 m

Tam giác ABH vuông tại H nên \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lý Pythagore)

Thay số ta có \(A{B^2} = {195^2} + {\left( {45\sqrt 3 } \right)^2} = 44100\) hay AB = 210 m.

Bài 4.19 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức:

Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang ABCD (H.4.30). Chiều rộng của mặt trên AB của đập là 3 m. Độ dốc của sườn AD, tức là tanD = 1,25. Độ dốc của sườn BC, tức là tanC = 1,5. Chiều cao của đập là 3,5 m. Hãy tính chiều rộng CD của chân đập, chiều dài của các sườn AD và BC (làm tròn đến dm).

Hướng dẫn giải:

Kẻ BK vuông góc với DC tại K và AJ vuông góc với DC tại J nên hình thang có hai đường cao là AJ và BK; AB= JK = 3,5 m

Xét tứ giác ABKJ có AJ // BK; AJ = BK; \(\widehat {AJK} = {90^0}\)

Nên ABKJ là hình chữ nhật suy ra JK = AB = 3 m

Tam giác ADJ vuông tại J nên ta có:

\(\tan \widehat D = \frac{{AJ}}{{DJ}}\) hay \(1,25 = \frac{{3,5}}{{DJ}}\) suy ra \(DJ = \frac{{3,5}}{{1,25}} = 2,8 m = 2,8 dm.\)

\(A{D^2} = D{J^2} + A{J^2} = 3,{5^2} + 2,{8^2} = 20,09\) hay \(AD = \sqrt {20,09} \approx 4,5 m = 45 dm\) (vì AD > 0)

Tam giác BKC vuông tại K nên ta có:

\(\tan \widehat C = \frac{{BK}}{{KC}}\) hay \(1,5 = \frac{{3,5}}{{KC}}\) suy ra \(KC = \frac{{3,5}}{{1,5}} = \frac{7}{3} \approx 2,3 m = 28 dm.\)

\(B{C^2} = B{K^2} + K{C^2} = 3,{5^2} + 2,{3^2} = 17,54 hay BC = \sqrt {17,54} \approx 4,2 m =42 dm\) (vì BC > 0)

Độ dài cạnh DC là \(DC = DJ + JK + KC \approx 2,8 + 3 + 2,3 = 8,1 m\)

Bài 4.20 trang 80 Toán 9 Kết nối tri thức:

Trong một buổi tập trận, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 21° để lặn xuống (H.4.31).

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 200 m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (làm tròn đến m).

b) Giả sử tốc độ của tàu là 9 km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 m (tức là cách mặt nước biển 200 m)?

Hướng dẫn giải:

a) Tàu ở độ sâu là \(BH = AH.\sin \widehat A = 200.\sin {21^0} \approx 72 m\)

Vậy khi di chuyển được 200 m thì tàu ở độ sâu khoảng 72 m.

b) Ta có \(\sin \widehat A = \frac{{BH}}{{AB}}\) hay \(\sin {21^0} = \frac{{200}}{{AH}}\) suy ra \(AH = \frac{{200}}{{\sin {{21}^0}}} \approx 558 m = 0,558 km\)

Thời gian tàu chạy ở độ sâu 200 m là 0,558:9 = 0,062 giờ