Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 52, 53, 54, 55, 56, giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán lớp 9 sách mới.

Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 52, 53, 54, 55, 56

Giải Toán 9 trang 52
- Hoạt động 1 trang 52 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Giải Toán 9 trang 54
Giải Toán 9 trang 55
- Thực hành 3 trang 55 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Giải Toán 9 trang 56

Giải Toán 9 trang 52

Hoạt động 1 trang 52 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Bốn ô cửa hình vuông diện tích $\frac{1}{2}{m^2}$ $\frac{1}{2}{m^2}$ ghép thành cửa sổ Hình 1.

a) Hai bạn An và Mai tính độ dài cạnh a (m) của mỗi ô cửa.

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích?

b) Biết rằng $\sqrt 2 \approx 1,4142$ $\sqrt 2 \approx 1,4142$. Không dùng máy tính cầm tay, hai bạn tìm giá trị gần đúng của độ dài mỗi ô cửa.

Theo em, bạn nào sẽ tìm ra đáp án nhanh hơn?

Hướng dẫn giải

a) Diện tích một hình vuông: S = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ (m2)

Mà S = a2 suy ra a = $\sqrt S = \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\sqrt S = \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (m)

Vậy kết quả của 2 bạn đều đúng.

b) Theo em, bạn An sẽ tìm đáp án nhanh hơn.

Vì bạn An chỉ cần tính $\sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $\sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Giải Toán 9 trang 54

Thực hành 1 trang 54 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}$ $\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}$

b) $- \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }}$ $- \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }}$

c) $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }}$ $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }}$

d) $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }}$ $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{3}$ $\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{3}$

b) $- \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }} = - \frac{{10.\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = - \frac{{10\sqrt 5 }}{{15}}$ $- \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }} = - \frac{{10.\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = - \frac{{10\sqrt 5 }}{{15}}$

c) $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }} = \frac{{2\sqrt 2 .\sqrt {40} }}{{\sqrt {40} .\sqrt {40} }} = \frac{{8\sqrt 5 }}{{40}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }} = \frac{{2\sqrt 2 .\sqrt {40} }}{{\sqrt {40} .\sqrt {40} }} = \frac{{8\sqrt 5 }}{{40}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

d) $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }}$ $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 2 }}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right).\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right).\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{5 - 2}}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{5 - 2}}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{3}$ $= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{3}$

Thực hành 2 trang 54 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Khử mẫu của các biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt {\frac{{11}}{6}}$ $\sqrt {\frac{{11}}{6}}$

b) $a\sqrt {\frac{2}{{5a}}}$ $a\sqrt {\frac{2}{{5a}}}$ với a > 0

c) $4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}}$ $4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}}$ với x > 0; y > 0

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {\frac{{11}}{6}} = \sqrt {\frac{{11.6}}{{6.6}}} = \frac{{\sqrt {66} }}{{\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{6}$ $\sqrt {\frac{{11}}{6}} = \sqrt {\frac{{11.6}}{{6.6}}} = \frac{{\sqrt {66} }}{{\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{6}$

b) $a\sqrt {\frac{2}{{5a}}} = a.\sqrt {\frac{{2.5a}}{{5a.5a}}} = a\frac{{\sqrt {10a} }}{{\sqrt {{{(5a)}^2}} }} = a\frac{{\sqrt {10a} }}{{5\left| a \right|}}$ $a\sqrt {\frac{2}{{5a}}} = a.\sqrt {\frac{{2.5a}}{{5a.5a}}} = a\frac{{\sqrt {10a} }}{{\sqrt {{{(5a)}^2}} }} = a\frac{{\sqrt {10a} }}{{5\left| a \right|}}$ với a > 0

c) $4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}} = 4x\sqrt {\frac{{3.4xy}}{{4xy.4xy}}} = 4x\frac{{\sqrt {12xy} }}{{\sqrt {{{\left( {4xy} \right)}^2}} }} = \frac{{8x\sqrt {3xy} }}{{\left| {4xy} \right|}}$ $4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}} = 4x\sqrt {\frac{{3.4xy}}{{4xy.4xy}}} = 4x\frac{{\sqrt {12xy} }}{{\sqrt {{{\left( {4xy} \right)}^2}} }} = \frac{{8x\sqrt {3xy} }}{{\left| {4xy} \right|}}$ với x > 0; y > 0

Vận dụng 1 trang 54 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở Hình 2 có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang.

Hướng dẫn giải

Ta có diện tích hình chữ nhật là: $\sqrt {12} .\sqrt {18} = \sqrt {12.18} = \sqrt {216} = 6\sqrt 6$ $\sqrt {12} .\sqrt {18} = \sqrt {12.18} = \sqrt {216} = 6\sqrt 6$

Ta có diện tích hình thang bằng diện tích hình chữ nhật là: $6\sqrt 6$ $6\sqrt 6$

Mà diện tích hình thang là: $\frac{1}{2}(\sqrt {12} + \sqrt {24} ).h$ $\frac{1}{2}(\sqrt {12} + \sqrt {24} ).h$ = $6\sqrt 6$ $6\sqrt 6$

Suy ra h = $\frac{{2.6\sqrt 6 }}{{(\sqrt {12} + \sqrt {24} )}} = 12 - 6\sqrt 2$ $\frac{{2.6\sqrt 6 }}{{(\sqrt {12} + \sqrt {24} )}} = 12 - 6\sqrt 2$

Hoạt động 2 trang 54 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như Hình 3.

Khám phá 2 trang 54 Toán 9 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 9

a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF.

b) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông ABCD theo hai cách khác nhau.

Hướng dẫn giải

a)Xét tam giác vuông AMI có AI = $\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$ $\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$cm

Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng $2\sqrt 2$ $2\sqrt 2$ cm

Xét tam giác vuông IFC có IC = $\sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2$ $\sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2$cm

Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng $3\sqrt 2$ $3\sqrt 2$ cm.

b) Cách 1:

Ta có: độ dài đường chéo ABCD = độ dài đường chéo AMNI + độ dài đường chéo IFCE = $2\sqrt 2$ $2\sqrt 2$ + $3\sqrt 2$ $3\sqrt 2$ = $5\sqrt 2$ $5\sqrt 2$ cm.

Cách 2:

Độ dài cạnh AB là : 2 + 3 = 5 cm

Độ dài cạnh BC là : 2 + 3 = 5 cm

Xét tam giác vuông ABC có: AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2$ $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2$ cm.

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là $5\sqrt 2$ $5\sqrt 2$ cm.

Giải Toán 9 trang 55

Thực hành 3 trang 55 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {20} - \sqrt 5$ $\sqrt {20} - \sqrt 5$

b) $\sqrt {32} - \sqrt {18} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $\sqrt {32} - \sqrt {18} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$

c) $\left( {2 - \sqrt {10} } \right)\left( {2 - \sqrt 5 } \right)$ $\left( {2 - \sqrt {10} } \right)\left( {2 - \sqrt 5 } \right)$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt {20} - \sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt 5 = 2\sqrt 5 - \sqrt 5 = \sqrt 5$ $\sqrt {20} - \sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt 5 = 2\sqrt 5 - \sqrt 5 = \sqrt 5$

b) $\sqrt {32} - \sqrt {18} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $\sqrt {32} - \sqrt {18} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= \sqrt {16.2} - \sqrt {9.2} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= \sqrt {16.2} - \sqrt {9.2} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= 4\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= 4\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= \sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= \sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 2 }}$ $= \sqrt 2 .\sqrt 2 + 4$ $= \sqrt 2 .\sqrt 2 + 4$$= 2 + 4 = 6$

c) $\left( {2 - \sqrt {10} } \right)\left( {2 - \sqrt 5 } \right)$ $\left( {2 - \sqrt {10} } \right)\left( {2 - \sqrt 5 } \right)$ $= 4 - 2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} + \sqrt {10} .\sqrt 5$ $= 4 - 2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} + \sqrt {10} .\sqrt 5$ $= 4 - 2\sqrt 5 + \left( {\sqrt 5 - 2} \right)\sqrt {10}$ $= 4 - 2\sqrt 5 + \left( {\sqrt 5 - 2} \right)\sqrt {10}$

Giải Toán 9 trang 56

Thực hành 4 trang 56 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}} + 4x\sqrt {\frac{x}{4}} - {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}}$ $\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}} + 4x\sqrt {\frac{x}{4}} - {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}}$ với x > 0

b) $\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt {15} }}$ $\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt {15} }}$ với a $\ne - \sqrt 5$ $\ne - \sqrt 5$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}} + 4x\sqrt {\frac{x}{4}} - {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}}$ $\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}} + 4x\sqrt {\frac{x}{4}} - {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}}$

$\begin{array}{l} = \frac{2}{3}.3\sqrt {{x^2}.x} + 4x.\frac{1}{2}\sqrt x - \sqrt {{x^4}\frac{1}{x}} \\ = 2x\sqrt x + 2x\sqrt x - \sqrt {{x^3}} \\ = 4x\sqrt x - x\sqrt x \\ = 3x\sqrt x \end{array}$ $\begin{array}{l} = \frac{2}{3}.3\sqrt {{x^2}.x} + 4x.\frac{1}{2}\sqrt x - \sqrt {{x^4}\frac{1}{x}} \\ = 2x\sqrt x + 2x\sqrt x - \sqrt {{x^3}} \\ = 4x\sqrt x - x\sqrt x \\ = 3x\sqrt x \end{array}$

b) $\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }}$ $\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }}$ với a $\ne - \sqrt 5$ $\ne - \sqrt 5$

$\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {a + \sqrt 5 } \right)\left( {a - \sqrt 5 } \right)}}{{a + \sqrt 5 }} = a - \sqrt 5$ $\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {a + \sqrt 5 } \right)\left( {a - \sqrt 5 } \right)}}{{a + \sqrt 5 }} = a - \sqrt 5$

Vận dụng 2 trang 56 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Trả lời câu hỏi trong hoạt động khởi động trang 52.

Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm tra bằng cách nào?

Hướng dẫn giải

Cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: $\sqrt {1800} = 30\sqrt 2$ $\sqrt {1800} = 30\sqrt 2$m.

Chu vi thửa ruộng bé là: $30\sqrt 2 .4 = 120\sqrt 2$ $30\sqrt 2 .4 = 120\sqrt 2$m

Cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: $\sqrt {3200} = 40\sqrt 2$ $\sqrt {3200} = 40\sqrt 2$ m

Cạnh của tam giác vuông là: $\sqrt {{{(30\sqrt 2 )}^2} + {{(40\sqrt 2 )}^2}} = 50\sqrt 2$ $\sqrt {{{(30\sqrt 2 )}^2} + {{(40\sqrt 2 )}^2}} = 50\sqrt 2$ m

Chu vi tam giác vuông là: $30\sqrt 2 + 40\sqrt 2 + 50\sqrt 2 = 120\sqrt 2$ $30\sqrt 2 + 40\sqrt 2 + 50\sqrt 2 = 120\sqrt 2$ m.

Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.

Bài 1 Trang 56 Toán 9 tập 1 Chân trời

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

b) $\frac{10}{3\sqrt{5}}$ $\frac{10}{3\sqrt{5}}$

c) $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}}$ $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}}$ với a > 0

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$ $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$

b) $\frac{10}{3\sqrt{5}}=\frac{10.\sqrt{5}}{3\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$ $\frac{10}{3\sqrt{5}}=\frac{10.\sqrt{5}}{3\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$

c) $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}}$ $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}}$ với a > 0

$=-\frac{3\sqrt{a}.\sqrt{12a}}{\sqrt{12a}.\sqrt{12a}}=-\frac{3\sqrt{\left(2a\right)^2.3}}{\sqrt{\left(12a\right)^2}}$ $=-\frac{3\sqrt{a}.\sqrt{12a}}{\sqrt{12a}.\sqrt{12a}}=-\frac{3\sqrt{\left(2a\right)^2.3}}{\sqrt{\left(12a\right)^2}}$

$=-\frac{3.\left|2a\right|\sqrt{3}}{\left|12a\right|}=-\frac{3.2a\sqrt{3}}{12a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=-\frac{3.\left|2a\right|\sqrt{3}}{\left|12a\right|}=-\frac{3.2a\sqrt{3}}{12a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 2 Trang 56 Toán 9 tập 1 Chân trời

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $\sqrt{\frac{4}{7}}$

c) $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}$ với a > 0

b) $\sqrt{\frac{5}{24}}$ $\sqrt{\frac{5}{24}}$

d) $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}$ $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}$ với a < 0, b > 0

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7.7}}=\frac{\sqrt{2^2.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$ $\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7.7}}=\frac{\sqrt{2^2.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

b) $\sqrt{\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5.24}{24^2}}=\frac{\sqrt{5.2^2.6}}{\sqrt{24^2}}=\frac{2\sqrt{30}}{24}=\frac{\sqrt{30}}{12}$ $\sqrt{\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5.24}{24^2}}=\frac{\sqrt{5.2^2.6}}{\sqrt{24^2}}=\frac{2\sqrt{30}}{24}=\frac{\sqrt{30}}{12}$

c) $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}$ với a > 0

$=\sqrt{\frac{2.3a^3}{\left(3a^3\right)^2}}=\frac{\sqrt{a^2.6a}}{\sqrt{\left(3a^3\right)^2}}=\frac{\left|a\right|\sqrt{6a}}{\left|3a^3\right|}=\frac{\sqrt{6a}}{3a^2}$ $=\sqrt{\frac{2.3a^3}{\left(3a^3\right)^2}}=\frac{\sqrt{a^2.6a}}{\sqrt{\left(3a^3\right)^2}}=\frac{\left|a\right|\sqrt{6a}}{\left|3a^3\right|}=\frac{\sqrt{6a}}{3a^2}$ (vì a > 0)

d) $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}$ $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}$ với a < 0, b > 0

$=2ab\sqrt{\frac{a^2.2b}{2b.2b}}=2ab\frac{\sqrt{a^2.2b}}{\sqrt{\left(2b\right)^2}}=2ab\frac{\left|a\right|\sqrt{2b}}{\left|2b\right|}$ $=2ab\sqrt{\frac{a^2.2b}{2b.2b}}=2ab\frac{\sqrt{a^2.2b}}{\sqrt{\left(2b\right)^2}}=2ab\frac{\left|a\right|\sqrt{2b}}{\left|2b\right|}$

$=2ab\frac{\left|a\right|\sqrt{2b}}{\left|2b\right|}=2ab\frac{(-a)\sqrt{2b}}{2b}= -a^2\sqrt{2b}$ $=2ab\frac{\left|a\right|\sqrt{2b}}{\left|2b\right|}=2ab\frac{(-a)\sqrt{2b}}{2b}= -a^2\sqrt{2b}$

Bài 3 Trang 56 Toán 9 tập 1 Chân trời

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}$ $\frac{4}{\sqrt{13}-3}$

b) $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}$ $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}$

c) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với a > 0, b > 0, a ≠ b

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}=\frac{4\left(\sqrt{13}+3\right)}{\left(\sqrt{13}-3\right)\left(\sqrt{13}+3\right)}$ $\frac{4}{\sqrt{13}-3}=\frac{4\left(\sqrt{13}+3\right)}{\left(\sqrt{13}-3\right)\left(\sqrt{13}+3\right)}$

$=\frac{4\left(\sqrt{13}+3\right)}{13-9}=\sqrt{13}+3$ $=\frac{4\left(\sqrt{13}+3\right)}{13-9}=\sqrt{13}+3$

b) $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}=\frac{10\left(5-2\sqrt{5}\right)}{\left(5+2\sqrt{5}\right)\left(5-2\sqrt{5}\right)}$ $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}=\frac{10\left(5-2\sqrt{5}\right)}{\left(5+2\sqrt{5}\right)\left(5-2\sqrt{5}\right)}$

$=\frac{10\left(5-2\sqrt{5}\right)}{25-20}$ $=\frac{10\left(5-2\sqrt{5}\right)}{25-20}$

$=2\left(5-2\sqrt{5}\right)=10-4\sqrt{5}$ $=2\left(5-2\sqrt{5}\right)=10-4\sqrt{5}$

c) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với a > 0, b > 0, a ≠ b

$=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{a-b}$ $=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{a-b}$

Bài 4 Trang 56 Toán 9 tập 1 Chân trời

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{3}-\sqrt{27}$ $2\sqrt{3}-\sqrt{27}$

b) $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$ $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$

c) $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ với a > 0

Hướng dẫn giải:

a) $2\sqrt{3}-\sqrt{27} =2\sqrt{3}-\sqrt{3^2.3}$ $2\sqrt{3}-\sqrt{27} =2\sqrt{3}-\sqrt{3^2.3}$

$=2\sqrt{3}-3\sqrt{ 3} = - \sqrt{ 3}$ $=2\sqrt{3}-3\sqrt{ 3} = - \sqrt{ 3}$

b) $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$ $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$ $=\sqrt{3^2.5}-\sqrt{2^2.5}+\sqrt{5}$ $=\sqrt{3^2.5}-\sqrt{2^2.5}+\sqrt{5}$

$=3\sqrt{ 5}-2\sqrt{ 5}+\sqrt{5}$ $=3\sqrt{ 5}-2\sqrt{ 5}+\sqrt{5}$

$=2\sqrt{5}$ $=2\sqrt{5}$

c) $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ với a > 0

$=\sqrt{8^2.a}-\sqrt{3^2.2}- \sqrt{a^2.\frac{3^2}{a}}+\sqrt{5^2.2}$ $=\sqrt{8^2.a}-\sqrt{3^2.2}- \sqrt{a^2.\frac{3^2}{a}}+\sqrt{5^2.2}$

$=8\sqrt{ a}-3\sqrt{ 2}-3\sqrt{a}+5\sqrt{ 2}$ $=8\sqrt{ a}-3\sqrt{ 2}-3\sqrt{a}+5\sqrt{ 2}$

$=5\sqrt{ a}+2\sqrt{ 2}$ $=5\sqrt{ a}+2\sqrt{ 2}$

Bài 5 Trang 56 Toán 9 tập 1 Chân trời

Tính

a) $\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6$ $\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6$

b) $\sqrt {18} :\sqrt 6 + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}}$ $\sqrt {18} :\sqrt 6 + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}}$

c) ${\left( {1 - 2\sqrt 5 } \right)^2}$ ${\left( {1 - 2\sqrt 5 } \right)^2}$

Hướng dẫn giải

a) $\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 = \sqrt {\frac{4}{3}} .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6$ $\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 = \sqrt {\frac{4}{3}} .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6$ $= \sqrt {\frac{{24}}{3}} + \sqrt {18}$ $= \sqrt {\frac{{24}}{3}} + \sqrt {18}$ $=\sqrt 8 + \sqrt {18}$ $=\sqrt 8 + \sqrt {18}$ $= \sqrt {2.4} + \sqrt {2.9}$ $= \sqrt {2.4} + \sqrt {2.9}$ $= 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2$ $= 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2$ $= 5\sqrt 2$ $= 5\sqrt 2$

b) $\sqrt {18} :\sqrt 6 + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}}$ $\sqrt {18} :\sqrt 6 + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}}$ $= \sqrt {\frac{{18}}{6}} + \sqrt {8.\frac{{27}}{2}}$ $= \sqrt {\frac{{18}}{6}} + \sqrt {8.\frac{{27}}{2}}$ $= \sqrt 3 + \sqrt {108}$ $= \sqrt 3 + \sqrt {108}$ $= \sqrt 3 + \sqrt {36.3}$ $= \sqrt 3 + \sqrt {36.3}$ $= \sqrt 3 + 6\sqrt 3$ $= \sqrt 3 + 6\sqrt 3$ $= 7\sqrt 3$ $= 7\sqrt 3$

c) ${\left( {1 - 2\sqrt 5 } \right)^2} = 1 - 4\sqrt 5 + 20 = 21 - 4\sqrt 5$ ${\left( {1 - 2\sqrt 5 } \right)^2} = 1 - 4\sqrt 5 + 20 = 21 - 4\sqrt 5$

Bài 6 Trang 56 Toán 9 tập 1 Chân trời

Chứng minh rằng:

a) $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ với a > 0; b > 0

b) $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ với a $\ge$ $\ge$ 0 và a $\ne$ $\ne$1

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ với a > 0; b > 0

Xét vế trái, ta có:

$\begin{array}{l}VT = \frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\ = \frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = a - b = VP\end{array}$ $\begin{array}{l}VT = \frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\ = \frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = a - b = VP\end{array}$

Vậy $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$ $\frac{{a\sqrt b - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a - b$

b) $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ với a $\ge$ $\ge$ 0 và a $\ne$ $\ne$1

Xét vế trái ta có:

$\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a - 1}}} \right)$ $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a - 1}}} \right)$

$= \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 - a$ $= \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 - a$ = VP.

Vậy $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$ $\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a$