Số chính phương là gì? Tính chất của số chính phương

Số chính phương là một khái niệm quen thuộc trong Toán học, thường xuất hiện trong các bài toán số học ở cấp tiểu học, THCS và cả trong các đề thi học sinh giỏi. Vậy số chính phương là gì? Làm sao để nhận biết và phân tích các tính chất của số chính phương để áp dụng giải nhanh các bài toán liên quan? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu khái niệm, dấu hiệu nhận biết, đặc điểm và một số bài toán thường gặp về số chính phương, kèm lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh từ cơ bản đến nâng cao đều có thể nắm chắc kiến thức.

A. Lí thuyết số chính phương

1. Định nghĩa

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

2. Tính chất

2.1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2.2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

2.3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

2.4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

2.5. Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

2.6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

2.7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

2.8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.

2.9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.

2.10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.

2.11. Nếu n² < k < (n + 1)² (n ∈ N) thì k không là số chính phương.

2.12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là các số chính phương.

2.13. Số chính phương a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p².

2.14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng a - mp²; b - mp².

2.15. Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a² - b² = (a + b) . (a - b).

2.16. Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1.

Ví dụ: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 + 9, ….

B. Một số dạng bài tập

1. Dạng 1. Chứng minh một số là số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh một số n là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa, tức là chứng minh n = k² (k ∊ N).

Lời giải:

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ 

A = [(x + y)(x + 4y)] . [(x + 2y)(x + 3y)] + y4 

A = (x² + 5xy + 4y²)(x² + 5xy + 6y²) + y⁴ 

Đặt x² + 5xy + 5y² = t (t ∈ Z), ta có:

A = (t - y²)(t + y²) + y⁴

A = t² - y⁴ + y⁴

A = t² = (x² + 5xy + 5y²)²

Vì x, y, z ∈ Z nên (x² + 5xy + 5y²) ∈ Z.

Vậy A là số chính phương.

Lời giải:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:

B = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

B = [n(n + 3)].[(n + 1)(n + 2)] + 1

B = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) ta có:

B = t(t + 2) + 1

B = t² + 2t + 1

B = (t + 1)²

B = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Hướng dẫn giải

a và b lẻ nên a = 2k + 1, b = 2m + 1 (Với k, m \(\in\) N).

=> a² + b² = (2k + 1)² + ( 2m + 1)² = 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1

= 4 (k² + k + m² + m) + 2

=> a² + b² không thể là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p\(\vdots\)2 và p không thể chia hết cho 4 (1)

a) Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m² ( m \(\in\) N).

Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.

Đặt m = 2k + 1 (k \(\in\) N). Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p + 1 = 4k² + 4k + 1

=> p = 4k² + 4k = 4k (k + 1) \(\vdots\) 4 mâu thuẫn với (1).

=> p + 1 không phải là số chính phương.

b) p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2.

=> p - 1 không là số chính phương.

Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương.

Hướng dẫn giải

a) 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1

Có 2N \(\vdots\) 3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k \(\in\) N)

=> 2N - 1 không là số chính phương.

b) 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.

=> N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N \(\vdots\) 2 nhưng 2N không chia hết cho 4.

2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3

=> 2N không là số chính phương.

c) 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1

2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.

=> 2N + 1 không là số chính phương.

n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2) = n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)] = n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với n\(\in\)N, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² là số chính phương.

a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m \(\in\) N).

=> a² + b² = (2k + 1)² + ( 2m + 1)² = 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1

= 4 (k² + k + m² + m) + 2

=> a² + b² không thể là số chính phương.

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p\(\vdots\)2 và p không thể chia hết cho 4 (1)

a- Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m² ( m \(\in\) N).

Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.

Đặt m = 2k + 1 (k \(\in\) N). Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p + 1 = 4k² + 4k + 1

=> p = 4k² + 4k = 4k (k + 1) \(\vdots\) 4 mâu thuẫn với (1).

=> p + 1 không phải là số chính phương.

b- p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2.

=> p - 1 không là số chính phương.

Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương.

2. Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh n không là số chính phương, ta có thể sử dụng các cách sau:

• Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên.
• Chứng minh n² < k < (k + 1)² với k là số nguyên.
• Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8
• Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3
• Chứng minh n có dạng 3k + 2
• Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p².

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n.

Ta có: 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó n có dạng 3k + 2 với k là số tự nhiên. 

Mặt khác, số chính phương không có dạng 3k + 2 

Suy ra số tự nhiên n không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có: A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2³³ 

A = 3 + 2² . (1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2³⁰ . (1 + 2 + 2² + 2³)

A = 3 + 2 . 30 + ... + 2²⁹ . 30 

A = 3 + (2 + ... + 2²⁹) . 30

Ta thấy A có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số chính phương.

3. Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phương

Phương pháp: Vận dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng định nghĩa.
• Sử dụng tính chẵn, lẻ.
• Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.
• Sử dụng các tính chất.

Lời giải:

a) Với n = 1 thì A = 1² - 1 + 2 = 2 không là số chính phương

Với n = 2 thì A = 2² - 2 + 2 = 4 là số chính phương

Với n > 2 thì A = n² - n + 2 không là số chính phương vì: 

(n - 1)² = n² - 2n + 1 < n² - n - 2 < n² 

Vậy n = 2 thì A là số chính phương.

b) Ta có: B = n⁵ - n + 2 = (n² - 1) . n . (n² + 1)

Với n = 5k thì n chia hết cho 5

Với n = 5k ± 1 thì n² - 1 chia hết cho 5

Với n = 5k ± 2 thì n² + 1 chia hết cho 5

Do đó n⁵ - n luôn chia hết cho 5

Nên n⁵ - n + 2 chia cho 5 dư 2

Suy ra n⁵ - n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên B = n⁵ - n + 2 không là số chính phương.

Vậy không có giá trị nào của n thỏa mãn để B là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Giả sử 2010 + n² là số chính phương thì 2010 + n² = m² (m \(\in N\) )

Từ đó suy ra m² - n² = 2010 \(\Leftrightarrow\) (m + n) (m – n) = 2010

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m \(\Rightarrow\) 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) m + n và m – n là 2 số chẵn.

\(\Rightarrow\) (m + n) (m – n) \(\vdots\) 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n² là số chính phương.

4. Dạng 4: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Lời giải:

a) Vì n² + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n² + 2n + 12 = k² (k ∊ N)

(n² + 2n + 1) + 11 = k²

⇔ k² – (n + 1)² = 11

⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

(k + n + 1) (k - n - 1) = 11 . 1

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + n + 1 = 11\\ k - n - 1 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 6\\ n = 4 \end{array} \right.\)

b) Đặt n(n + 3) = a² (n ∊ N)

⇒ n² + 3n = a²

⇔ 4n² + 12n = 4a²

⇔ (4n² + 12n + 9) – 9 = 4a²

⇔ (2n + 3)² – 4a² = 9

⇔ (2n + 3 + 2a).(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 . 1

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2n + 3 + 2a = 9\\ 2n + 3 - 2a = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 1\\ a = 2 \end{array} \right.\)

c) Đặt 13n + 3 = y² (y ∊ N)

⇒ 13(n - 1) = y² – 16

⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)

⇒ (y + 4)(y – 4) chia hết cho 13

Mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 chia hết cho 13 hoặc y – 4 chia hết cho 13

⇒ y = 13k ± 4 (với k ∊ N)

⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)² – 16 = 13k . (13k ± 8) = 13k² ± 8k + 1

Vậy n = 13k² ± 8k + 1 (với k ∊ N) thì 13n + 3 là số chính phương

d) Đặt n² + n + 1589 = m² (m ∊ N)

⇒ (4n² + 1)² + 6355 = 4m²

⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ

Nên ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 . 1 = 1271 . 5 = 205 . 31 = 155 . 41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

5. Dạng 5: Tìm số chính phương

Lời giải:

Gọi A = \(\overline {abcd\,} \, = \,{k^2}\). Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

B = \(\overline {(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)} = {m^2}\) với k, m ∊ N và 32 < k < m < 100 và a, b, c, d = \(\overline {1;\,9}\)

Ta có:

A = \(\overline {abcd\,} \, = \,{k^2}\)

B = \(\overline {abcd\,} \, + 1111 = \,{m^2}\). Đúng khi cộng không có nhớ

m² – k² = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.

Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11 . 101

Do đó:

\(\left\{ \begin{array}{l} m - k = 11\\ m + k = 101 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 56\\ n = 45 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2025\\ B = 3136 \end{array} \right.\).

Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương

Lời giải

Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là \(\overline{ab}(a,b \in N,1 \leq a,b \leq 9)\)

Số viết theo thứ tự ngược lại \(\overline{ba}\)

Ta có \({\overline{ab}}^{2} - {\overline{ba}}^{2} = (10a + b)^{2} - (10\text{\ }b + a)^{2} = 99\left( a^{2} - b^{2} \right):11 \Rightarrow a^{2} - b^{2}:11\)

Hay \((a - b)(a + b) \vdots 11\)

Vì \(0 < a - b \leq 8,2 \leq a + b \leq 18\) nên \(a + b \vdots 11 \Rightarrow a + b = 11\)

Khi đó: \({\overline{ab}}^{2} - {\overline{ba}}^{2} = 3^{2} \cdot 11^{2} \cdot (a - b)\)

Để \(\overline{ab^{2}} - {\overline{ba}}^{2}\) là số chính phương thì \(a - b\) phải là số chính phương do đó \(a - b = 1\) hoặc a \(- b = 4\)

Nếu \(a - b = 1\) kết hợp với \(a + b = 11 \Rightarrow a = 6,\text{\ }b = 5,\overline{ab} = 65\)

Khi đó \(65^{2} - 56^{2} = 1089 = 33^{2}\)

Nếu \(a - b = 4\) kết hợp với \(a + b = 11 \Rightarrow a = 7,5\) loại

Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu.

(Kết quả: 1156)

Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

Lời giải

Gọi số phải tìm là \(\overline{ab}\) với \(a,b \in N,1 \leq a \leq 9;0 \leq b \leq 9\)

Theo giả thiết ta có: \(\overline{ab} = (a + b)^{3}\)

\(\Leftrightarrow (10a + b)^{2} = (a + b)^{3}\)

\(\Rightarrow \overline{ab}\) là một lập phương và \(a + b\) là một số chính phương

Đặt \(\overline{ab} = t^{3}(t \in N),a + b = 1^{2}(1 \in \text{\ }N)\)

Vì \(10 \leq ab \leq 99 \Rightarrow \overline{ab} = 27\) hoặc \(\overline{ab} = 64\)

Nếu \(\overline{ab} = 27 \Rightarrow a + b = 9\) là số chính phương

Nếu \(\overline{ab} = 64 \Rightarrow a + b = 10\) không là số chính phương \(\Rightarrow\) loại

Vậy số cần tìm là \(ab = 27\).

Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.

Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n \(\in\) N)

Ta có : A = (2n – 1)² + (2n + 1)² + (2n +3)² = 12n² + 12n + 11

Theo đề bài ta đặt 12n² + 12n + 11 = \(\overline{aaaa}\) = 1111 . a với a lẻ và 1 \(\leq\) a \(\leq\) 9

\(\Rightarrow\) 12n(n + 1) = 11(101a – 1)

\(\Rightarrow\) 101a – 1 \(\vdots\) 3\(\Rightarrow\) 2a – 1 \(\vdots\) 3

Vì 1 \(\leq\) a \(\leq\) 9 nên 1 \(\leq\) 2a – 1 \(\leq\)17 và 2a – 1 lẻ nên 2a – 1 \(\in \left\{ 3;\ 9;\ 15 \right\}\)

\(\Rightarrow\) a\(\in \left\{ 2;\ 5;\ 8 \right\}\)

Vì a lẻ \(\Rightarrow\) a = 5 \(\Rightarrow\) n = 21

3 số cần tìm là: 41; 43; 45

Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

\(\overline{ab}\) (a + b) = a³ + b³

\(\Leftrightarrow\) 10a + b = a² – ab + b² = (a + b)² – 3ab

\(\Leftrightarrow\) 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1)

a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó

a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a

a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b

\(\Rightarrow\) a = 4, b = 8 hoặc a = 3, b = 7

Vậy \(\overline{ab}\) = 48 hoặc \(\overline{ab}\) = 37

Để xem trọn bộ tài liệu về Chuyên đề số chính phương, mời tải tài liệu về!

------------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã được trang bị đầy đủ kiến thức về số chính phương, bao gồm định nghĩa, cách nhận biết, tính chất đặc trưng và các dạng bài tập phổ biến. Đây là nền tảng quan trọng giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán phân tích số, chứng minh chia hết, tìm số nguyên, và nhiều dạng toán nâng cao khác. Để ghi nhớ lâu và vận dụng linh hoạt, bạn nên luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao. Hãy lưu lại bài viết và chia sẻ cho bạn bè cùng học, đồng thời theo dõi thêm các chuyên đề Toán học khác như: số nguyên tố, ước - bội, chia hết có dư, để xây dựng nền tảng Toán học thật vững chắc!