Số chính phương là gì? Tính chất của số chính phương

Số chính phương là một phần quan trọng trong chương trình số học ở trường THCS. Nhằm giúp các bạn nắm vững và ôn tập kiến thức phần này, VnDoc.com xin giới thiệu Tài liệu về số chính phương và các bài tập về số chính phương. Mời các bạn cùng tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 6, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 6 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 6. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

A. Số chính phương là gì?

1. Định nghĩa số chính phương

+ Số chính phương hay còn gọi là số hình vuông là số tự nhiên có căn bậc 2 là một số tự nhiên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số tự nhiên khác.

+ Ví dụ: 4 = 22, 9 = 32, 100 = 102

2. Số chính phương chẵn, số chính phương lẻ

+ Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)

B. Tính chất của số chính phương

+ Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

+ Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

+ Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

+ Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

+ Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

+ Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a2 - b2 = (a+b).(a-b).

+ Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.

+ Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.

+ Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1, ví dụ: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 + 9, ….

C. Một số dạng bài tập về số chính phương

I. Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương

Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + là số chính phương.

Giải: Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t (t ∈ Z) thì

A = (t - y2)(t + y2) + y4 = t2 - y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2

Vì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z => (x2 + 5xy + 5y2) ∈ Z

Vậy A là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Giải: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2

= (n2 + 3n + 1)2

Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

II. Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3)
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589

Giải:

a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∊ N)

(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

(k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + n + 1 = 11\\ k - n - 1 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 6\\ n = 4 \end{array} \right.

b) Đặt n(n + 3) = a2 (n ∊ N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2

⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2

⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = 9

⇔ (2n + 3 + 2a).(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2n + 3 + 2a = 9\\ 2n + 3 - 2a = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 1\\ a = 2 \end{array} \right.

c) Đặt 13n + 3 = y2 (y ∊ N) ⇒ 13(n - 1) = y2 – 16

⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)

⇒ (y + 4)(y – 4) chia hết cho 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 chia hết cho 13 hoặc y – 4 chia hết cho 13

⇒ y = 13k ± 4 (với k ∊ N)

⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8) = 13k± 8k + 1

Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (với k ∊ N) thì 13n + 3 là số chính phương

d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∊ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2

⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28

III. Dạng 3: Tìm số chính phương

Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.

Giải:

Gọi A = \overline {abcd\,} \, = \,{k^2}. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

B = \overline {(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)} = {m^2} với k, m ∊ N và 32 < k < m < 100 và a, b, c, d = \overline {1;\,9}

Ta có:

A = \overline {abcd\,} \, = \,{k^2}

B = \overline {abcd\,} \, + 1111 = \,{m^2}. Đúng khi cộng không có nhớ

m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.

Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101'

Do đó 

\left\{ \begin{array}{l} m - k = 11\\ m + k = 101 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 56\\ n = 45 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2025\\ B = 3136 \end{array} \right.

Để xem trọn bộ tài liệu về Chuyên đề số chính phương, mời tải tài liệu về!

------

Ngoài Chuyên đề số chính phương Toán lớp 6 trên, các em học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu học tập lớp 6, Toán lớp 6 nâng cao, đề thi học kì 1 lớp 6, đề thi học kì 2 lớp 6 đầy đủ, chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao. Mời các em cùng tham khảo, luyện tập cập nhật thường xuyên.

Đánh giá bài viết
23 18.347
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 9 Xem thêm