Số chính phương là gì? Tính chất của số chính phương

Số chính phương là một phần quan trọng trong chương trình số học ở trường THCS. Nhằm giúp các bạn nắm vững và ôn tập kiến thức phần này, VnDoc.com xin giới thiệu tài liệu về Số chính phương và các bài tập về số chính phương. Mời các bạn cùng tham khảo.

A. Lí thuyết số chính phương

1. Định nghĩa

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

2. Tính chất

2.1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2.2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

2.3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

2.4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

2.5. Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

2.6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

2.7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

2.8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.

2.9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.

2.10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.

2.11. Nếu n² < k < (n + 1)² (n ∈ N) thì k không là số chính phương.

2.12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là các số chính phương.

2.13. Số chính phương a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p².

2.14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng a - mp²; b - mp².

2.15. Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a² - b² = (a + b) . (a - b).

2.16. Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1.

Ví dụ: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 +7, 1 + 3 + 5 +7 + 9, ….

B. Một số dạng bài tập

1. Dạng 1. Chứng minh một số là số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh một số n là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa, tức là chứng minh n = k² (k ∊ N).

Lời giải:

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴

A = [(x + y)(x + 4y)] . [(x + 2y)(x + 3y)] + y4

A = (x² + 5xy + 4y²)(x² + 5xy + 6y²) + y⁴

Đặt x² + 5xy + 5y² = t (t ∈ Z), ta có:

A = (t - y²)(t + y²) + y⁴

A = t² - y⁴ + y⁴

A = t² = (x² + 5xy + 5y²)²

Vì x, y, z ∈ Z nên (x² + 5xy + 5y²) ∈ Z.

Vậy A là số chính phương.

Lời giải:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:

B = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

B = [n(n + 3)].[(n + 1)(n + 2)] + 1

B = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) ta có:

B = t(t + 2) + 1

B = t² + 2t + 1

B = (t + 1)²

B = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

2. Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh n không là số chính phương, ta có thể sử dụng các cách sau:

• Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên.
• Chứng minh n² < k < (k + 1)² với k là số nguyên.
• Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8
• Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3
• Chứng minh n có dạng 3k + 2
• Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p².

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n.

Ta có: 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó n có dạng 3k + 2 với k là số tự nhiên.

Mặt khác, số chính phương không có dạng 3k + 2

Suy ra số tự nhiên n không là số chính phương.

Lời giải:

Ta có: A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2³³

A = 3 + 2² . (1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2³⁰ . (1 + 2 + 2² + 2³)

A = 3 + 2 . 30 + ... + 2²⁹ . 30

A = 3 + (2 + ... + 2²⁹) . 30

Ta thấy A có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số chính phương.

3. Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phương

Phương pháp: Vận dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng định nghĩa.
• Sử dụng tính chẵn, lẻ.
• Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.
• Sử dụng các tính chất.

Lời giải:

a) Với n = 1 thì A = 1² - 1 + 2 = 2 không là số chính phương

Với n = 2 thì A = 2² - 2 + 2 = 4 là số chính phương

Với n > 2 thì A = n² - n + 2 không là số chính phương vì:

(n - 1)² = n² - 2n + 1 < n² - n - 2 < n²

Vậy n = 2 thì A là số chính phương.

b) Ta có: B = n⁵ - n + 2 = (n² - 1) . n . (n² + 1)

Với n = 5k thì n chia hết cho 5

Với n = 5k ± 1 thì n² - 1 chia hết cho 5

Với n = 5k ± 2 thì n² + 1 chia hết cho 5

Do đó n⁵ - n luôn chia hết cho 5

Nên n⁵ - n + 2 chia cho 5 dư 2

Suy ra n⁵ - n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên B = n⁵ - n + 2 không là số chính phương.

Vậy không có giá trị nào của n thỏa mãn để B là số chính phương.

4. Dạng 4: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Lời giải:

a) Vì n² + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n² + 2n + 12 = k² (k ∊ N)

(n² + 2n + 1) + 11 = k²

⇔ k² – (n + 1)² = 11

⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

(k + n + 1) (k - n - 1) = 11 . 1

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + n + 1 = 11\\ k - n - 1 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 6\\ n = 4 \end{array} \right.\)

b) Đặt n(n + 3) = a² (n ∊ N)

⇒ n² + 3n = a²

⇔ 4n² + 12n = 4a²

⇔ (4n² + 12n + 9) – 9 = 4a²

⇔ (2n + 3)² – 4a² = 9

⇔ (2n + 3 + 2a).(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 . 1

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2n + 3 + 2a = 9\\ 2n + 3 - 2a = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 1\\ a = 2 \end{array} \right.\)

c) Đặt 13n + 3 = y² (y ∊ N)

⇒ 13(n - 1) = y² – 16

⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)

⇒ (y + 4)(y – 4) chia hết cho 13

Mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 chia hết cho 13 hoặc y – 4 chia hết cho 13

⇒ y = 13k ± 4 (với k ∊ N)

⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)² – 16 = 13k . (13k ± 8) = 13k² ± 8k + 1

Vậy n = 13k² ± 8k + 1 (với k ∊ N) thì 13n + 3 là số chính phương

d) Đặt n² + n + 1589 = m² (m ∊ N)

⇒ (4n² + 1)² + 6355 = 4m²

⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ

Nên ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 . 1 = 1271 . 5 = 205 . 31 = 155 . 41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

5. Dạng 5: Tìm số chính phương

Lời giải:

Gọi A = \(\overline {abcd\,} \, = \,{k^2}\). Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

B = \(\overline {(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)} = {m^2}\) với k, m ∊ N và 32 < k < m < 100 và a, b, c, d = \(\overline {1;\,9}\)

Ta có:

A = \(\overline {abcd\,} \, = \,{k^2}\)

B = \(\overline {abcd\,} \, + 1111 = \,{m^2}\). Đúng khi cộng không có nhớ

m² – k² = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.

Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11 . 101

Do đó:

\(\left\{ \begin{array}{l} m - k = 11\\ m + k = 101 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 56\\ n = 45 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2025\\ B = 3136 \end{array} \right.\)

Để xem trọn bộ tài liệu về Chuyên đề số chính phương, mời tải tài liệu về!

------------------------------------------------