Giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng tính chẵn lẻ của ẩn

Giải phương trình nghiệm nguyên 

Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp xét tính chẵn lẻ của ẩn số cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài Phương trình nghiệm nguyên, giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết. 

Hướng dẫn giải

Ta thấy: x = y = 0 là nghiệm của (4).

Nếu $x_0.y_0\ne 0$ và $(x_0;y_0)$ là nghiệm của (4).

Gọi $d=(x_0;y_0)$, suy ra $(\frac{x_0}{d};\frac{y_0}{d})=1(\ast )$ (*)

Ta có: ${x_0}^2=2{y_0}^2\Rightarrow {\left(\frac{x_0}{d}\right)}^2=2.{\left(\frac{y_0}{d}\right)}^2\Rightarrow \frac{x_0}{d}$ chẵn và $2.{\left(\frac{y_0}{d}\right)}^2⋮4$ (mâu thuẫn với (*))

Vậy phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y^2-2x^2=1\Rightarrow y^2=2x^2+1$ suy ra $y$ là số lẻ

Đặt $y=2k+1;\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: $(2k+1{)}^2=2x^2+1\iff x^2=2k^2+2k$

Suy ra $x$ chẵn, mà $x$ là số nguyên tố nên $x=2;y=3$

Vậy nghiệm của phương trình là $(x;y)=(2;3)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$2x^2+4x=19-3y^2$

$\iff 2(x+1{)}^2=3(7-y^2)(2)$

Ta thấy $3(7-y^2)⋮2\Rightarrow 7-y^2⋮2$ suy ra $y$ lẻ

Ta lại có $7-y^2\ge 0$ nên chỉ có thể $y^2=1$

Khi đó (2) có dạng: $2(x+1{)}^2=18$

Ta được: $x+1=\pm 3\Rightarrow [\begin{array}{c}x=2\\ x=-4\end{array}$

Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mãn nên là các nghiệm nguyên của phương trình.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$(2x+5y+1)(2^{|x|}+y+x^2+x)=105$

Dễ thấy $105$ là số lẻ

$\Rightarrow 2x+5y+1$ là số lẻ

$\Rightarrow 5y$ chẵn $\Rightarrow y$ chẵn và $2^{|x|}+y+x^2+x$ lẻ có $x(x+1)$ chẵn, $y$ chẵn $\Rightarrow 2^{|x|}$ lẻ $\Rightarrow 2^{|x|}=1\Rightarrow x=0$

Thay $x=0$ vào phương trình ta được:

$(5y+1)(y+1)=105$

$\Rightarrow 5y^2+6y-104=0$

$\iff [\begin{array}{c}y=4(tm)\\ y=-{\displaystyle \frac{26}{5}}(ktm)\end{array}\Rightarrow y=4$

Thử lại ta có: $x=0;y=4$ là nghiệm của phương trình.