Giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng tính chẵn lẻ của ẩn
Giải phương trình nghiệm nguyên
Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp xét tính chẵn lẻ của ẩn số cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài Phương trình nghiệm nguyên, giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. 
\(x^{2} = 2y^{2}\) (4)
Hướng dẫn giải
Ta thấy: x = y = 0 là nghiệm của (4).
Nếu \(x_{0}.y_{0} \neq 0\) và \(\left( x_{0};y_{0} \right)\) là nghiệm của (4).
Gọi \(d = \left( x_{0};y_{0}
\right)\), suy ra \(\left(
\frac{x_{0}}{d};\frac{y_{0}}{d} \right) = 1(*)\) (*)
Ta có: \({x_{0}}^{2} = 2{y_{0}}^{2}
\Rightarrow \left( \frac{x_{0}}{d} \right)^{2} = 2.\left(
\frac{y_{0}}{d} \right)^{2} \Rightarrow \frac{x_{0}}{d}\) chẵn và \(2.\left( \frac{y_{0}}{d} \right)^{2} \vdots
4\) (mâu thuẫn với (*))
Vậy phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0).
Ví dụ 2: Tìm \(x;y\) nguyên tố thỏa mãn \(y^2- 2x^2 = 1\) ?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y^{2} - 2x^{2} = 1 \Rightarrow y^{2} =
2x^{2} + 1\) suy ra \(y\) là số lẻ
Đặt \(y = 2k + 1;\left( k\mathbb{\in Z}
\right)\)
Ta có: \((2k + 1)^{2} = 2x^{2} + 1
\Leftrightarrow x^{2} = 2k^{2} + 2k\)
Suy ra \(x\) chẵn, mà \(x\) là số nguyên tố nên \(x = 2;y = 3\)
Vậy nghiệm của phương trình là \((x;y) =
(2;3)\)
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(2x^{2} + 4x = 19 - 3y^{2}\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(2x^{2} + 4x = 19 - 3y^{2}\)
\(\Leftrightarrow 2(x + 1)^{2}\ = 3\left(
7 - y^{2} \right)\ \ \ (2)\)
Ta thấy \(3\left( 7 - y^{2} \right) \vdots
2 \Rightarrow 7 - y^{2} \vdots 2\) suy ra \(y\) lẻ
Ta lại có \(7 - y^{2} \geq 0\) nên chỉ có thể \(y^{2} = 1\)
Khi đó (2) có dạng: \(2(x + 1)^{2} =
18\)
Ta được: \(x + 1 = \pm 3 \Rightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 2 \\
x = - 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mãn nên là các nghiệm nguyên của phương trình.
Ví dụ 5: Xác định nghiệm nguyên dương của phương trình:
\((2x + 5y + 1)\left( 2^{|x|} + y + x^{2} + x
\right) = 105\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\((2x + 5y + 1)\left( 2^{|x|} + y + x^{2}
+ x \right) = 105\)
Dễ thấy \(105\) là số lẻ
\(\Rightarrow 2x + 5y + 1\) là số lẻ
\(\Rightarrow 5y\) chẵn \(\Rightarrow y\) chẵn và \(2^{|x|} + y + x^{2} + x\) lẻ có \(x(x + 1)\) chẵn, \(y\) chẵn \(\Rightarrow 2^{|x|}\) lẻ \(\Rightarrow 2^{|x|} = 1 \Rightarrow x =
0\)
Thay \(x = 0\) vào phương trình ta được:
\((5y + 1)(y + 1) = 105\)
\(\Rightarrow 5y^{2} + 6y - 104 =
0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
y = 4(tm) \\
y = - \dfrac{26}{5}(ktm) \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow y = 4\)
Thử lại ta có: \(x = 0;y = 4\) là nghiệm của phương trình.
