Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tứ giác nội tiếp
Giải toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tứ giác nội tiếp sẽ hướng dẫn bạn cách giải chi tiết các bài tập trong Bài 2 trang 70, 71, 72, 73, 74, từ việc xác định các yếu tố của hình đến áp dụng định lý để chứng minh. Qua đó, giúp các bạn sẽ hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa góc, cung và đường tròn – nền tảng cho nhiều dạng bài hình học nâng cao. Cùng luyện tập để vững vàng hơn với các dạng toán hình nhé!
Mục lục bài viết
Bài 1 trang 73
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên 
\(\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ \quad ; \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ\)
Khi đó, ta có bảng sau:
Bài 2 trang 74
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A', B', C' lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp có trong hình.
Lời giải:
Ta có ∆AB'H vuông tại B' và ∆AC'H vuông tại C' cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Suy ra tứ giác AB'HC' nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Tương tự, ta có tứ giác BA'HC' nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HC' nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HB' nội tiếp đường tròn đường kính CH.
Ta lại có ∆AB'B vuông tại B' và ∆AA'B vuông tại A' cùng nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Suy ra tứ giác AB'A'B nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Tương tự, ta có tứ giác BC'B'C nội tiếp đường tròn đường kính BC và tứ giác AC'A'C nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HB' nội tiếp đường tròn đường kính AC.
Bài 3 trang 74
Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:
a) AB = 6 cm, BC = 8 cm;
b) AC = 9 cm.
Lời giải:
a) Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo và có độ dài đường chéo \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \ (\text{cm}).\).
Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm I và có bán kính R=\(\frac{AC}{2}\)=5(cm).
b) Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo và có độ dài đường chéo
AC = 9 cm.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm I và có bán kính R=\(\frac{AC}{2}\)=4,5(cm).
Bài 4 trang 74
Cho hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.
Lời giải:
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có tâm I và có bán kính R=\(\frac{MP}{2}\),
Suy ra MP = 2R.
\(\Delta MNP \text{ vuông tại } Q \text{ có } \sqrt{MQ^2 + QP^2} = MP,
\text{ suy ra } \sqrt{2MQ^2} = 2R \Rightarrow MQ = R\sqrt{2}.\)
Hình vuông MNPQ có độ dài cạnh và đường chéo lần lượt là \(R\sqrt{2}\) và 2R.
Bài 5 trang 74
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ OA hay \(\widehat{OAM} = 90^\circ\).
Vì I là trung điểm của BC của ∆OBC cân tại O nên OI ⊥ BC hay \(\widehat{OIM} = 90^\circ\)
Ta có ∆OAM vuông tại A và ∆OIM vuông tại I cùng nội tiếp đường tròn đường kính MO.
Suy ra AMIO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
Bài 6 trang 74
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp;
b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Lời giải:
a) Xét đường tròn đường kính MC có \(\widehat{MDC} = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Ta có ∆BAC vuông tại A và ∆BDC vuông tại D cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Xét đường tròn đường kính MC có ˆMNC=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét ∆MBC có NC ⊥ MN, suy ra BC ⊥ MN; MC ⊥ AB; MB ⊥ CD.
Hay MN, AB, CD là các đường cao trong ∆MBC.
Khi đó, MN, AB, CD cùng đi qua một điểm (trực tâm H).\(\widehat{MNC} = 90^\circ\)
Bài 7 trang 74
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Lời giải:
a) Xét ∆ABM và ∆ADN có:
AB = AD = a;
\(\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ \ ; \\
\widehat{MAB} = \widehat{NAD} \ (\text{cùng phụ với } \widehat{DAx}).\)
Do đó ∆ABM = ∆ADN (cạnh góc vuông – góc nhọn).
b) Vì ∆ABM = ∆ADN nên AM = AN (hai cạnh tương ứng), suy ra ∆NAM cân tại A.
Vì O là trung điểmm của MN nên AO là trung tuyến đồng thời là đường cao của ∆NAM hay AO ⊥ MN.
• ∆ABM vuông tại B và ∆AOM vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AM.
Suy ra ABMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.
• ∆ADN vuông tại D và ∆AON vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AN.
Suy ra AODN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.
c) Ta có: BA = BC suy ra điểm B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC;
DA = DC suy ra điểm D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Tứ giác AMCN có \(\widehat{NAM} = \widehat{MCN} = 90^\circ\), suy ra tứ giác AMCN nội tiếp đường tròn đường kính MN.
Điểm O là trung điểm MN nên là tâm đường tròn.
Ta có OA = OC suy ra điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm B, D, O cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.
