Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác
Giải Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 2 trang 65, 66, 67, 68 giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán lớp 9 sách mới.
Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác
Giải Toán 9 trang 65
Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi O là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC (Hình 1).
a) So sánh độ dài của đoạn thẳng OA, OB và OC.
b) Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
Hướng dẫn giải:
a) Vì O thuộc đường trung trực của AB.
Suy ra OA = OB (tính chất đường trung trực) (1).
Vì O thuộc đường trung trực của BC.
Suy ra OC = OB (tính chất đường trung trực) (2).
Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC.
b) Từ câu a, ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
Ta có đường tròn đi qua ba điểm A, B, C như hình vẽ.
Giải Toán 9 trang 67
Thực hành 1 trang 67 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:
a) Tam giác đều MNP có cạnh bằng 4cm;
b) Tam giác EFG có EF = 5 cm; EG = 3 cm; FG = 4cm.
Hướng dẫn giải:
a) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP trùng với trọng tâm của tam giác MNP và có bán kính là 
\(R = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
b) Ta có: \({5^2} = {3^2} + {4^2}\) nên \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2}\)
Suy ra tam giác EFG vuông tại G.
Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông EFG là trung điểm của cạnh EF và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFG là \(R = \frac{{EF}}{2}= \frac{{5}}{2} = 2,5 cm\).
Vận dụng 1 trang 67 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Có ba tổ dựng lều ở ba vị trí A, B, C như Hình 6. Ban tổ chức đặt ba thùng có dung tích bằng nhau tại một điểm tập kết chung. Mỗi tổ có sáu người, được phát một chiếc gàu giống nhau, các thành viên trong tổ chia thành từng cặp cõng nhau, múc nước từ tại của mình về đổ vào thùng tại điểm tập kết. Thùng của tổ nào đầy trước thì tổ đó chiến thắng. Để trò chơi công bằng, cần tìm điểm tập kết cách đều ba lều. Hãy xác định điểm đó.
Hướng dẫn giải:
Điểm tập kết cách đều 3 lều tức khoảng cách từ điểm tập kết đều mỗi lều là như nhau tam giác.
Do đó, điểm tập kết là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 đỉnh là vị trí của ba trại.
Hoạt động 2 trang 67 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID, IE, IF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC và AB (Hình 7).
a) Chứng minh rằng IE = IF = ID.
b) Vẽ đường tròn tâm I bán kính IE. Có nhận xét gì về vị trí của đường tròn này với ba cạnh của tam giác ABC?
Hướng dẫn giải:
a) Xét tam giác FBI vuông tại F và tam giác DBI vuông tại D có:
\(\widehat {FBI} = \widehat {IBD}\) (do BI là phân giác góc \(\widehat {FBD}\));
IB chung.
Suy ra \(\Delta\) FBI = \(\Delta\) DBI (cạnh huyền – góc nhọn).
Nên IF = ID (hai cạnh tương ứng) (1).
Xét \(\Delta\) IDC vuông tại D và \(\Delta\) IEC vuông tại E có:
\(\widehat {DCI} = \widehat {IEC}\) (do IC là phân giác góc \(\widehat {DEC}\));
IC chung.
Suy ra \(\Delta\) IDC = \(\Delta\) IEC (cạnh huyền – góc nhọn).
Nên ID = IE (hai cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra IE = IF = ID.
b) Đường tròn này tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các điểm F, D, E.
Giải Toán 9 trang 68
Thực hành 2 trang 68 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo
Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có độ dài cạnh bằng 8 cm.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn nội tiếp tam giác MNP đều cạnh 8cm có tâm là trọng tâm của tam giác MNP và bán kính \(r = \frac{{8\sqrt 3 }}{6} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Vận dụng 2 trang 68 Toán 9 Tập 2 : Theo gợi ý trong Hình 10, nêu cách xác định hai điểm I và O của tình huống trong Hoạt động khởi động (trang 65).
Hướng dẫn giải:
− Vị trí điểm O để xây trường học cần cách đều 3 điểm A, B, C nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
− Vị trí điểm I để lập trạm cứu hộ cần cách đều 3 con đường AB, BC, CA nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 1 trang 68 Toán 9 Tập 2 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.
a) Nêu các vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Nêu các vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a) Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
− Vẽ đường trung trực a của đoạn thẳng AB.
− Vẽ đường trung trực b của đoạn thẳng AC.
− Gọi O là giao điểm của a và b.
− Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA.
Khi đó, đường tròn (O; OA) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Cách vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
− Vẽ đường phân giác AH của góc BAC.
− Vẽ đường phân giác BE của góc ABC.
− Gọi O là giao điểm của AH và BE.
− Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH.
Khi đó, đường tròn (O; OH) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
R = OA = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3\) (cm).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
r = OH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{6\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3\) (cm).
