Giải Toán 9 bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Giải Toán 9 bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương hướng dẫn trả lời các câu hỏi trong SGK Toán 9 tập 1 trang 13, 14, 15, 16. Tài liệu được biên soạn chi tiết dễ hiểu, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo, so sánh đánh giá kết quả, từ đó học tốt môn Toán lớp 9. Dưới đây là chi tiết bài tập, các em tham khảo nhé.

A. Trả lời câu hỏi trang 13, 14 Toán 9 tập 1

Câu hỏi 1 trang 13 SGK Toán 9 tập 1

Tính và so sánh: $\sqrt{16.25}$ và $\sqrt{16}.\sqrt{25}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\{\begin{array}{c}\sqrt{16.25}=\sqrt{400}=\sqrt{{20}^2}=20\\ \sqrt{16}.\sqrt{25}=4.5=20\end{array}\Rightarrow \sqrt{16.25}=\sqrt{16}.\sqrt{25}$

Câu hỏi 2 trang 13 SGK Toán 9 tập 1

Tính:

a. $\sqrt{0,16.0,64.225}$

b. $\sqrt{250.360}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt{0,16.0,64.225}=\sqrt{0,16}.\sqrt{0,64}.\sqrt{225}$

$=\sqrt{0,4^2}.\sqrt{0,8^2}.\sqrt{{15}^2}=0,4.0,8.15=4,8$

b. $\sqrt{250.360}=\sqrt{25.36.100}=\sqrt{25}.\sqrt{36}.\sqrt{100}=5.6.10=300$

Câu hỏi 3 trang 14 SGK Toán 9 tập 1

Tính:

a. $\sqrt{3}.\sqrt{75}$ b. $\sqrt{20}.\sqrt{72}.\sqrt{4,9}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt{3}.\sqrt{75}=\sqrt{3.75}=\sqrt{3.3.25}=\sqrt{{\left(3.5\right)}^2}=15$

b. $\sqrt{20}.\sqrt{72}.\sqrt{4,9}=\sqrt{20.72.4,9}=\sqrt{2.2.36.49}=\sqrt{{\left(2.6.7\right)}^2}=2.6.7=84$

Câu hỏi 4 trang 14 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau (với a và b không âm):

a. $\sqrt{3a^3}.\sqrt{12a}$

b. $\sqrt{2a.32a{b}^2}$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt{3a^3}.\sqrt{12a}=\sqrt{3a^3.12a}=\sqrt{36.a^4}=\sqrt{{\left(6a^2\right)}^2}=6a^2$

b. $\sqrt{2a.32a{b}^2}=\sqrt{64a^2{b}^2}=\sqrt{{\left(8ab\right)}^2}=8ab$ (Do a và b không âm)

B. Giải bài tập Toán 9 trang 14, 15, 16 tập 1

1. Bài 17 trang 14 sgk Toán 9 tập 1

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

$a)\sqrt{0,09.64};$ $b)\sqrt{2^4.(-7{)}^2};$

$c)\sqrt{12,1.360};$ $d)\sqrt{2^2{.3}^4}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{0,09.64}=\sqrt{0,09}.\sqrt{64}$

$=\sqrt{(0,3{)}^2}.\sqrt{8^2}$

$=|0,3|.|8|$

$=0,3.8$

$=2,4.$

b) Ta có:

$\sqrt{2^4.(-7{)}^2}=\sqrt{2^4}.\sqrt{(-7{)}^2}$

$=\sqrt{(2^2{)}^2}.\sqrt{(-7{)}^2}$

$=\sqrt{4^2}.|-7|$

$=|4|.|-7|$

$=4.7$

$=28.$

c) Ta có:

$\sqrt{12,1.360}=\sqrt{12,1.(10.36)}$

$=\sqrt{(12,1.10).36}$

$=\sqrt{121.36}$

$=\sqrt{121}.\sqrt{36}$

$=\sqrt{{11}^2}.\sqrt{6^2}$

$=|11|.|6|$

$=11.6$

$=66$

d) Ta có:

$\sqrt{2^2{.3}^4}=\sqrt{2^2}.\sqrt{3^4}$

$=\sqrt{2^2}.\sqrt{(3^2{)}^2}$

$=\sqrt{2^2}.\sqrt{9^2}$

$=|2|.|9|$

$=2.9$

2. Bài 18 trang 14 sgk Toán 9 tập 1

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

$a)\sqrt{7}.\sqrt{63};$ $b)\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48};$

$c)\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4};$ $d)\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}=\sqrt{7.(7.9)}=\sqrt{(7.7).9}$

$=\sqrt{7^2.3^2}=\sqrt{7^2}.\sqrt{3^2}$

$=|7|.|3|=7.3=21.$

b) Ta có:

$\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}$

$=\sqrt{2,5.(10.3).(16.3)}$

$=\sqrt{(2,5.10).(3.3).16}$

$=\sqrt{{25.3}^2{.4}^2}$

$=\sqrt{25}.\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}$

$=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}$

$=|5|.|3|.|4|=5.3.4=60.$

c) Ta có:

$\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,4.(0,1.64)}$

$=\sqrt{(0,4.0,1).64}=\sqrt{0,04.64}$

$=\sqrt{0,04}.\sqrt{64}=\sqrt{0,2^2}.\sqrt{8^2}$

$=|0,2|.|8|=0,2.8=1,6.$

d)

$\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}$

$=\sqrt{(27.0,1).5.(0,5.3)}$

$=\sqrt{(27.3).(0,1.5).0,5}$

$=\sqrt{81.0,5.0,5}=\sqrt{81.0,5^2}$

$=\sqrt{81}.\sqrt{0,5^2}=\sqrt{9^2}.\sqrt{0,5^2}$

$=|9|.|0,5|=9.0,5=4,5.$

3. Bài 19 trang 15 sgk Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{0,36a^2}$ với $a<0;$

b) $\sqrt{a^4.(3-a{)}^2}$ với $a\ge 3;$

c) $\sqrt{27.48(1-a{)}^2}$ với $a>1;$

d) ${\displaystyle \frac{1}{a-b}}.\sqrt{a^4.(a-b{)}^2}$ với $a>b.$

Hướng dẫn giải

Tham khảo: Giải SBT Toán 9 bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

a) Ta có:

$\sqrt{0,36a^2}=\sqrt{0,36}.\sqrt{a^2}$

$=\sqrt{0,6^2}.\sqrt{a^2}$

$=0,6.│a│$

$=0,6.(-a)=-0,6a$

(Vì $a<0$ nên $│a│=-a$).

b)

Vì $a^2\ge 0$ nên $\left|a^2\right|=a^2.$

Vì $a\ge 3$ hay $3\le a$ nên $3-a\le 0$).

$\Rightarrow │3-a│=-(3-a)=-3+a=a-3.$

Ta có: $\sqrt{a^4.(3-a{)}^2}=\sqrt{a^4}\sqrt{(3-a{)}^2}$

$=\sqrt{(a^2{)}^2}.\sqrt{(3-a{)}^2}$

$=\left|a^2\right|.|3-a|.$

$=a^2.(a-3)=a^3-3a^2.$

c)

Vì $a>1$ hay $1<a$ nên $1-a<0$.

$\Rightarrow |1-a|=-(1-a)=-1+a=a-1.$

Ta có: $\sqrt{27.48(1-a{)}^2}=\sqrt{27.(3.16).(1-a{)}^2}$

$=\sqrt{(27.3).16.(1-a{)}^2}$

$=\sqrt{81.16.(1-a{)}^2}$

$=\sqrt{81}.\sqrt{16}.\sqrt{{(1-a)}^2}$

$=\sqrt{9^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{(1-a{)}^2}$

$=9.4.\left|1-a\right|=36.\left|1-a\right|$

$=36.(a-1)=36a-36.$

d)

Vì $a^2\ge 0$, với mọi $a$ nên $\left|a^2\right|=a^2.$

Vì $a>b$ nên $a-b>0$. Do đó $|a-b|=a-b.$

Ta có: ${\displaystyle \frac{1}{a-b}}.\sqrt{a^4.(a-b{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.\sqrt{a^4}.\sqrt{(a-b{)}^2}$

4. Bài 20 trang 15 sgk Toán 9 tập 1

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3a}{8}}}$ với $a\ge 0;$

b) $\sqrt{13a}.\sqrt{{\displaystyle \frac{52}{a}}}$ với $a>0;$

c) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a$ với $a\ge 0;$

d) $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{3a}{8}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}.{\displaystyle \frac{3a}{8}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a.3a}{3.8}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{(2.3).(a.a)}{3.8}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{6a^2}{24}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{6a^2}{6.4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{2^2}}}$

$=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}=\left|{\displaystyle \frac{a}{2}}\right|={\displaystyle \frac{a}{2}}.$

Vì $a\ge 0$ nên ${\displaystyle \frac{a}{2}}\ge 0\Rightarrow \left|{\displaystyle \frac{a}{2}}\right|={\displaystyle \frac{a}{2}}.$

b) Ta có:

$\sqrt{13a}.\sqrt{{\displaystyle \frac{52}{a}}}=\sqrt{13a.{\displaystyle \frac{52}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{13a.52}{a}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{13a.(13.4)}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(13.13).4.a}{a}}}$

$=\sqrt{{13}^2.4}=\sqrt{{13}^2}.\sqrt{4}$

$=\sqrt{{13}^2}.\sqrt{2^2}=13.2$

$=26$ vì $(a>0)$

c)

Do $a\ge 0$ nên bài toán luôn được xác định có nghĩa.

Ta có: $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a=\sqrt{5a.45a}-3a$

$=\sqrt{(5.a).(5.9.a)}-3a$

$=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a$

$=\sqrt{5^2{.3}^2.a^2}-3a$

$=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{a^2}-3a$

$=5.3.\left|a\right|-3a=15\left|a\right|-3a.$

$=15a-3a=(15-3)a=12a.$

Vì $a\ge 0$ nên $\left|a\right|=a.$

d) Ta có:

$(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=\sqrt{0,2.180a^2}$

$=(3-a{)}^2-\sqrt{0,2.(10.18).a^2}$

5. Bài 21 trang 15 sgk Toán 9 tập 1

Khai phương tích 12.30.40 được:

$(A).1200;$ $(B).120;$ $(C).12;$ $(D).240$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\sqrt{12.30.40}=\sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}$

$=\sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}$

$=\sqrt{3^2{.4}^2{.10}^2}$

$=\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{{10}^2}$

$=3.4.10=120.$

Vậy đáp án đúng là $(B).120$

6. Bài 22 trang 15 sgk Toán 9 tập 1

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

$a)\sqrt{{13}^2-{12}^2};$ $b)\sqrt{{17}^2-8^2};$

$c)\sqrt{{117}^2-{108}^2};$ $d)\sqrt{{313}^2-{312}^2}.$

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có:

$\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{(13+12)(13-12)}$

$=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}$

$=\sqrt{5^2}=|5|=5.$

Câu b: Ta có:

$\sqrt{{17}^2-8^2}=\sqrt{(17+8)(17-8)}$

$=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}$

$=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|.$

$=5.3=15.$

Câu c: Ta có:

$\sqrt{{117}^2-{108}^2}=\sqrt{(117-108)(117+108)}$

$=\sqrt{9.225}=\sqrt{9}.\sqrt{225}$

$=\sqrt{3^2}.\sqrt{{15}^2}=|3|.|15|$

$=3.15=45.$

Câu d: Ta có:

$\sqrt{{313}^2-{312}^2}=\sqrt{(313-312)(313+312)}$

$=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}$

$=\sqrt{{25}^2}=|25|=25.$

7. Bài 23 trang 15 sgk Toán 9 tập 1

Chứng minh:

a) $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1;$

b) $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})và(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$ là hai số nghịch đảo của nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1$

Câu b: Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng 1.

Ta tìm tích của hai số $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$

Ta có:

$(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$

$=(\sqrt{2006}{)}^2-(\sqrt{2005}{)}^2$

$=2006-2005=1$

Do đó $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})=1$

$\iff \sqrt{2006}-\sqrt{2005}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}}$

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau!

8. Bài 24 trang 15 sgk Toán 9 tập 1

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau:

$a)\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ tại $x=-\sqrt{2};$

$b)\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}$ tại $a=-2;b=-\sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{{(1+6x+9x^2)}^2}$

$=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

$=\sqrt{2^2}.\sqrt{{[1^2+2.3x+(3x{)}^2]}^2}$

$=2.\sqrt{{\left[{\left(1+3x\right)}^2\right]}^2}$

$=2.|(1+3x{)}^2|$

$=2(1+3x{)}^2.$

Vì $(1+3x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x{)}^2|=(1+3x{)}^2.$

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$2{\left[1+3.(-\sqrt{2})\right]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2.$

Bấm máy tính, ta được: $2{\left(1-3\sqrt{2}\right)}^2\approx 21,029.$

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

$=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

$=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

$=\left|3a\right|.|b-2|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(-2)|.|-\sqrt{3}-2|=|-6|.|-(\sqrt{3}+2)|$

$=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12.$

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12\approx 22,392.$

9. Bài 25 trang 16 sgk Toán 9 tập 1

Tìm x biết:

$a)\sqrt{16x}=8;$ $b)\sqrt{4x}=\sqrt{5};$

$c)\sqrt{9(x-1)}=21;$ $d)\sqrt{4(1-x{)}^2}-6=0.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: $16x\ge 0\iff x\ge 0.$

Cách 1: Bình phương cả hai vế, ta được:

$\sqrt{16x}=8\iff (\sqrt{16x}{)}^2=8^2$

$\iff |16x|=64$

$\iff 16.|x|=64$

$\iff |x|={\displaystyle \frac{64}{16}}$

$\iff |x|=4$

$\iff [\begin{array}{c}x=4(tm)\hfill \\ x=-4(loại)\hfill \end{array}$

Cách 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, ta được:

$\sqrt{16x}=8\iff \sqrt{16}.\sqrt{x}=8$

$\iff \sqrt{4^2}.\sqrt{x}=8$

$\iff 4\sqrt{x}=4.2$

$\iff \sqrt{x}=2$

$\iff (\sqrt{x}{)}^2=2^2$

$\iff |x|=4$

$\iff [\begin{array}{c}x=4(tm)\hfill \\ x=-4(loại)\hfill \end{array}$

Vậy $x=4.$

b) Điều kiện: $4x\ge 0\iff x\ge 0.$

Khi đó: $\sqrt{4x}=\sqrt{5}\iff (\sqrt{4x}{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2$

$\iff |4x|=5$

$\iff 4|x|=5$

$\iff |x|={\displaystyle \frac{5}{4}}$

$\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{5}{4}}(tm)\hfill \\ x=-{\displaystyle \frac{5}{4}}(loại)\hfill \end{array}$

Vậy $x={\displaystyle \frac{5}{4}}.$

c) Điều kiện: $9(x-1)\ge 0\iff x-1\ge 0\iff x\ge 1.$

Khi đó: $\sqrt{9(x-1)}=21\iff {\left(\sqrt{9\left(x-1\right)}\right)}^2={21}^2$

Ta có $1-x\ge 0$ khi $x\le 1$. Do đó:

khi $x\le 1$ thì $│1-x│=1-x.$

khi $x>1$ thì $│1-x│=x-1.$

Để giải phương trình $│1-x│=3,$ ta phải xét hai trường hợp:

- Khi $x\le 1$, ta có: $1-x=3\iff x=-2.$

Vì $-2<1$ nên $x=-2$ là một nghiệm của phương trình.

- Khi $x>1$, ta có: $x-1=3\iff x=4.$

Vì $4>1$ nên $x=4$ là một nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=-2$ và $x=4.$

Bài 26 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

a) So sánh $\sqrt{25+9}$ và $\sqrt{25}+\sqrt{9};$

b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$+)\sqrt{25+9}=\sqrt{34}.$

$+)\sqrt{25}+\sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3$

$=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}.$

Vì 34<64 nên $\sqrt{34}<\sqrt{64}$

Vậy $\sqrt{25+9}<\sqrt{25}+\sqrt{9}$

b) Với a>0,b>0, ta có

$+)(\sqrt{a+b}{)}^2=a+b.$

$+)(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}{)}^2+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2$

$=a+2\sqrt{ab}+b$

$=(a+b)+2\sqrt{ab}.$

Vì a > 0, b > 0 nên $\sqrt{ab}>0\iff 2\sqrt{ab}>0$

$\iff (a+b)+2\sqrt{ab}>a+b$

$\iff (\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2>(\sqrt{a+b}{)}^2$

$\iff \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$ (đpcm)

Bài 27 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

So sánh

$a)4và2\sqrt{3};$

b) $-\sqrt{5}$ và -2

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$\begin{array}{l}4>3\iff \sqrt{4}>\sqrt{3}\\ \iff 2>\sqrt{3}\\ \iff 2.2>2.\sqrt{3}\\ \iff 4>2\sqrt{3}\end{array}$

Cách khác:

Ta có:

$\{\begin{array}{c}{4}^2=16\hfill \\ {\left(2\sqrt{3}\right)}^2=2^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4.3=12\hfill \end{array}$

Vì 16> 12 $\iff \sqrt{16}>\sqrt{1}2$

Hay $4>2\sqrt{3}.$

b) Vì 5>4 $\iff \sqrt{5}>\sqrt{4}$

$\iff \sqrt{5}>2$

$\iff -\sqrt{5}<-2$ (Nhân cả hai vế bất phương trình trên với -1)

C. Trắc nghiệm Toán 9 bài 3

..........................................

Bài tiếp theo: Giải Toán 9 bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Tài liệu học tập lớp 9 như Giải Toán 9, Giải SBT Toán 9, Trắc nghiệm Toán 9, Bài tập Toán 9 được cập nhật liên tục trên VnDoc.