VnDoc.com

Giải Toán 9 Bài 3: Góc nội tiếp

Giải SGK Toán 9 Tập 2 trang 75, 76

Bài trước

Bài sau

Giải Toán 9 bài 3: Góc nội tiếp hướng dẫn các bạn học sinh trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa Toán lớp 9 trang 75, 76. Thông qua tài liệu này, các bạn học sinh có thể so sánh, đối chiếu với kết quả bài làm của mình, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 9. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Bài 15 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Hướng dẫn giải

a) Đúng (theo hệ quả b).

b) Sai. Vì trong cùng một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chưa chắc cùng chắn một cung.

Bài 16 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

a) Biết $\widehat{MAN} = 30^{\circ}$ $\widehat{MAN} = 30^{\circ}$, tính $\widehat{PCQ}.$ $\widehat{PCQ}.$

b) Nếu $\widehat{PCQ} =136^{\circ}$ $\widehat{PCQ} =136^{\circ}$thì $\widehat{MAN}$ $\widehat{MAN}$ có số đo là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Vẽ hình

a) Xét đường tròn tâm B có $\widehat {MAN}$ $\widehat {MAN}$ là góc nội tiếp chắn cung MN mà $\widehat {MAN} = 30^\circ$ $\widehat {MAN} = 30^\circ$nên $\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}\widehat {MBN} \\$ $\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}\widehat {MBN} \\$

$\Rightarrow \widehat {MBN} = 2.\widehat {MAN} = 2.30^\circ = 60^\circ .$ $\Rightarrow \widehat {MBN} = 2.\widehat {MAN} = 2.30^\circ = 60^\circ .$

Suy ra $\widehat {PBQ} = 60^\circ .$ $\widehat {PBQ} = 60^\circ .$

Lại xét đường tròn tâm C có $\widehat {PBQ} = 60^\circ$ $\widehat {PBQ} = 60^\circ$ là góc nội tiếp chắn cung $PQ \Rightarrow \widehat {PBQ} = \dfrac{1}{2}\widehat {PCQ} \\$ $PQ \Rightarrow \widehat {PBQ} = \dfrac{1}{2}\widehat {PCQ} \\$

$\Rightarrow \widehat {PCQ} = 2.\widehat {PBQ} = 2.60^\circ = 120^\circ .$ $\Rightarrow \widehat {PCQ} = 2.\widehat {PBQ} = 2.60^\circ = 120^\circ .$

b) Theo chứng minh câu a) ta có $\widehat {PCQ} = 2\widehat {PBQ} = 2.2\widehat {MAN} \\$ $\widehat {PCQ} = 2\widehat {PBQ} = 2.2\widehat {MAN} \\$

$\Leftrightarrow \widehat {PCQ} = 4.\widehat {MAN}$ $\Leftrightarrow \widehat {PCQ} = 4.\widehat {MAN}$

Nếu $\widehat {PCQ} = 136^\circ \\$ $\widehat {PCQ} = 136^\circ \\$

$\Rightarrow \widehat {MAN} = \dfrac{1}{4}\widehat {PCQ}= \dfrac{{136^\circ }}{4} = 34^\circ .$ $\Rightarrow \widehat {MAN} = \dfrac{1}{4}\widehat {PCQ}= \dfrac{{136^\circ }}{4} = 34^\circ .$

Bài 17 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Cách xác định:

+ Đặt đỉnh vuông của eke trùng với một điểm N bất kỳ trên đường tròn, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại A và B ta được đường kính AB.

+ Vẫn đặt đỉnh vuông của eke tại N, xoay eke theo hướng khác, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại C và D ta được đường kính CD.

+ CD cắt AB tại tâm O của đường tròn.

Bài 18 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20.

Hãy so sánh các góc $\widehat{PAQ}, \widehat{PBQ}, \widehat{PCQ}.$ $\widehat{PAQ}, \widehat{PBQ}, \widehat{PCQ}.$

Hướng dẫn giải

Vẽ hình minh họa

Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp $\widehat{PAQ},\widehat{PBQ}, \widehat{PCQ}$ $\widehat{PAQ},\widehat{PBQ}, \widehat{PCQ}$ cùng chắn một cung $\overparen{PQ}$ $\overparen{PQ}$, nên suy ra $\widehat{PAQ} = \widehat{PBQ} = \widehat{PCQ}.$ $\widehat{PAQ} = \widehat{PBQ} = \widehat{PCQ}.$

Vậy với các vị trí trên thì các góc sút đều bằng nhau, không có góc sút nào rộng hơn.

Bài 19 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn tâm O có AB là đường kính nên $\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ$ $\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra BM $\bot SA;\,AN \bot SB$ $\bot SA;\,AN \bot SB$ mà $BM \cap AN$ $BM \cap AN$ tại H nên H là trực tâm tam giác SAB.

Do đó $SH \bot AB$ $SH \bot AB$. (vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy)

Bài 20 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Nối B với 3 điểm A, C, D.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ $\left( O \right)$ có $\widehat {ABC}$ $\widehat {ABC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABC} = 90^\circ .$ $\widehat {ABC} = 90^\circ .$

Xét đường tròn $\left( {O$ $\left( {O'} \right)$ có $\widehat {ABD}$ $\widehat {ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABD} = 90^\circ .$ $\widehat {ABD} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ $\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên $\widehat {CBD} = 180^\circ \Rightarrow$ $\widehat {CBD} = 180^\circ \Rightarrow$ C,B,D thẳng hàng.

Bài 21 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Vì hai đường tròn $\left( O \right)$ $\left( O \right)$ và $\left( {O$ $\left( {O'} \right)$ bằng nhau nên cung AB của $\left( O \right)$ $\left( O \right)$ và $\left( {O$ $\left( {O'} \right)$ bằng nhau

Suy ra $\widehat {AMB} = \widehat {ANB}$ $\widehat {AMB} = \widehat {ANB}$ (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)

Do đó tam giác BMN là tam giác cân tại B.

Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:

MA² = MB . MC

Hướng dẫn giải

Xét (O) có $\widehat {AMB} = 90^\circ$ $\widehat {AMB} = 90^\circ$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $AM \bot BC$ $AM \bot BC$

Lại có AC là tiếp tuyến tại A nên $\widehat {BAC} = 90^\circ$ $\widehat {BAC} = 90^\circ$

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$M{A^2} = MB.MC$ $M{A^2} = MB.MC$(đpcm)

Bài 23 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng . Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD.

Hướng dẫn giải

Xét hai trường hợp:

a) M ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác MAD và MCB có:

$\widehat{AMD} = \widehat{CMB}$ $\widehat{AMD} = \widehat{CMB}$ ( đối đỉnh)

$\widehat{ADM} = \widehat{CBM}$ $\widehat{ADM} = \widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Do đó ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g-g), suy ra:

$\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$ $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$, do đó MA. MB = MC. MD

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

Tương tự, xét hai tam giác MAD và MCB có:

$\widehat{M}$ $\widehat{M}$ chung

$\widehat{MDA} = \widehat{MBC}$ $\widehat{MDA} = \widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Nên ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g-g)

Suy ra: $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$ $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$

hay MA. MB = MC. MD

Bài 24 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Hướng dẫn giải

Vẽ hình minh họa:

Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung tròn là AMB

Theo bài tập 23, ta có: KA. KB = KM. KN

hay KA. KB = KM. (2R - KM)

Ta có: KA = KB = 20 m

Thay số, ta có: 20. 20 = 3(2R - 3)

do đó 6R = 400 + 9 = 409.

Vậy R = $\dfrac{409}{6} ≈68,2$ $\dfrac{409}{6} ≈68,2$ (mét)

Bài 25 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.

Hướng dẫn giải

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.

- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC.

- Vẽ đường tròn tâm B bán kính 2,5cm cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.

Bài 26 trang 76 SGK Toán 9 Tập 2

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC.Gọi giao điểm của MN và AC là S.Chứng minh SM = SC và SN = SA

Hướng dẫn giải

Vẽ hình minh họa:

+) Chứng minh SM = SC

$\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_2}}$ $\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_2}}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

$\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$ $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau

Nên suy ra $\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$ $\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$

Suy ra tam giác SMC là tam giác cân tại S. Vậy SM = SC.

+) Chứng minh SA = SN

Ta có: $\widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}$ $\widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}$( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{N_1}}$ $\widehat {{C_1}} = \widehat {{N_1}}$(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Mà $\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$ $\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$ (chứng minh trên)

$\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$ $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$ (vì cùng bằng 2 góc bằng nhau)

Vậy tam giác SAN cân tại S. Nên SA = SN (đpcm)

..................................................

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải Toán 9 bài 3: Góc nội tiếp. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9 từ đó học tốt Toán 9 hơn. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt.

Bài tiếp theo: Giải Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.