Giải bài tập Toán lớp 9 bài 9: Ôn tập chương II. Đường tròn

Giải bài tập Toán lớp 9 bài 9: Ôn tập chương II. Đường tròn được VnDoc.com sưu tầm và tổng hợp. Lời giải Toán 9 này sẽ giúp các bạn học sinh hệ thống lại những kiến thức đã học trong bài, định hướng phương pháp giải các bài tập cụ thể. Ngoài ra việc tham khảo tài liệu còn giúp các bạn học sinh rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải bài tập.

Bài tiếp theo

• Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức $AE.AB=AF.AC$

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) $OI=OB–IB$ nên (I) tiếp xúc trong với (O)

$OK=OC–KC$ nên (K) tiếp xúc trong với (O)

$IK=IH+KH$ nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b) $\widehat{BEH}=90°$(E thuộc đường tròn đường kính BH)

$\Rightarrow \widehat{A\mathrm{E}H}={90}^0$

Tương tự có $\widehat{AFH}={90}^0;\widehat{BAC}={90}^0$

Tứ giác AEHF có $\widehat{EAF}=\widehat{AEH}=\widehat{AFH}={90}^0$ nên là hình chữ nhật.

c) ∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên $A{H}^2=AE.AB$

∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên $A{H}^2=AF.AC$

Do đó $AE.AB=AF.AC$ (vì cùng bằng $A{H}^2$)

d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: $ME=MF=MH=MA$ (do tứ giác AEHF là hình chữ nhật)

Xét ∆MEI và ∆MHI có:

$ME=MH,IE=IH(=R)$, MI (cạnh chung)

Do đó $∆MEI=∆MHI(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{MEI}=\widehat{MHI}$

mà $\widehat{MHI}={90}^0$ (do AD vuông góc với BC) nên $\widehat{MEI}={90}^0$

⇒ ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e) Ta có $EF=AH$ mà $AH\le AO=R$

Do đó $EF\le R$, không đổi. Dấu “=” xảy ra $\iff H\equiv O$

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Lời giải chi tiết

a) $MA,MB$ là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $MA=MB$, MO là tia phân giác $\widehat{AMB}$

$∆MAB$ cân tại $M(MA=MB)$

Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

$\Rightarrow MO\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \widehat{ME\mathrm{A}}={90}^0$

Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc $\widehat{AMC}$ và $\widehat{MFA}={90}^0$

$MO,M{O}^{\prime }$ là tia phân giác của hai góc kẻ bù $\widehat{AMB},\widehat{AMC}\Rightarrow \widehat{EMF}={90}^0$

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì $\widehat{EMF}=\widehat{MEA}=\widehat{MFA}={90}^0$)

b) $∆MAO$ vuông tại A có AE là đường cao nên $ME.MO=M{A}^2$

Tương tự, ta có: $MF.M{O}^{\prime }=M{A}^2$

Do đó: $ME.MO=MF.M{O}^{\prime }(=M{A}^2)$

c) Ta có $MA=MB=MC$ nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà $O{O}^{\prime }\perp MA$ tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM ($∆MO{O}^{\prime }$ vuông tại M)

Ta có $OB\perp BC,O^{\prime }C\perp BC\Rightarrow OB//O^{\prime }C.$

Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang $OBC{O}^{\prime }\Rightarrow KM//OB$

Mà $OB\perp BC$ nên $KM\perp BC$

Ta có $BC\perp KM$tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’

Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và $B(R>r)$. Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

a) Vẽ OM ⊥ CD tại M, O’N ⊥CD tại N, ta có:

$MA=MC=\frac{AC}{2};$

$NA=N\mathrm{D}=\frac{A\mathrm{D}}{2}$

Mặt khác, ta có $OM\perp CD,IA\perp CD,O^{\prime }N\perp CD$

$\Rightarrow OM//IA//O^{\prime }N.$

Hình thang OMNO’ (OM //O’N) có $IA//OM;IO=I{O}^{\prime }$ nên $MA=NA.$ Do vậy $AC=AD$

b) (O) và (O’) cắt nhau tại A, B

⇒ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

$\Rightarrow IA=IB$

Mặt khác $IA=IK$ (vì K đối xứng với A qua I)

Do đó: $IA=IB=IK$

Ta có ∆KBA có BI là đường trung tuyến và $BI=\frac{AK}{2}$ nên ∆KBA vuông tại B

$\Rightarrow KB\perp AB$

Trên đây VnDoc đã hướng dẫn cho các bạn học sinh bài 9 Toán 9: Ôn tập chương II. Đường tròn. Với lời giải chi tiết các bạn có thể so kết quả của mình từ đó nắm chắc kiến thức Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác với VnDoc để có thêm nhiều tài liệu chất lượng miễn phí nhé

• Đề thi học kì 1 lớp 9 môn Toán Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa năm học 2018 - 2019
• 60 Đề thi học kì 1 lớp 9 môn Toán
• Đề cương ôn tập học kì 1 lớp 9 môn Toán năm 2018 - 2019

....................................

Ngoài Giải bài tập Toán lớp 9 bài 9: Ôn tập chương II. Đường tròn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt