Toán 9 Kết nối tri thức Bài 29: Tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình hình học lớp 9, mở rộng kiến thức về đường tròn và các tính chất hình học cơ bản. Trong Bài 29 – Tứ giác nội tiếp, học sinh sẽ được tìm hiểu về khái niệm tứ giác nội tiếp, các dấu hiệu nhận biết và những định lý liên quan đến góc và cạnh trong tứ giác. Phần bài giải dưới đây sẽ giúp các em hiểu rõ bản chất vấn đề, vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách chính xác và logic.
Mục lục bài viết
Bài 9.18 trang 83 Toán 9
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
\(a, \widehat {A} =60^{\circ} , \widehat {B} = 80^{\circ}\)
\(b, \widehat {B} =70^{\circ} , \widehat {C} = 90^{\circ}\)
\(c, \widehat {C} =100^{\circ} , \widehat {D} = 60^{\circ}\)\(d, \widehat {D} =110^{\circ} , \widehat {A} = 80^{\circ}\)
Giải
Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°.
Do đó \(\widehat {A} + \widehat {C} = 180^{\circ},
\widehat {B} + \widehat {D} = 180^{\circ}\)
a, Ta có:
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ} hay \widehat {C} = 180^{\circ} - \widehat {C} = 180^{\circ} -60 ^{\circ} = 120^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} = 180^{\circ} hay \widehat {D} = 180 ^{\circ} - \widehat {B} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\)
b,
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ} hay \widehat {A} = 180^{\circ} - \widehat {C} = 180^{\circ} -90 ^{\circ} = 90^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} =180^{\circ} hay \widehat {D} = 180^{\circ} - \widehat {B} = 180^{\circ} -70 ^{\circ} = 110^{\circ}\)
c,
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ} hay \widehat {A} = 180^{\circ} - \widehat {C} = 180^{\circ} -100 ^{\circ} = 80^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} =180^{\circ} hay \widehat {B} = 180^{\circ} - \widehat {D} = 180^{\circ} -60 ^{\circ} = 120^{\circ}\)
d,
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ} hay \widehat {C} = 180^{\circ} - \widehat {A} = 180^{\circ} -80 ^{\circ} = 100^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} =180^{\circ} hay \widehat {B} = 180^{\circ} - \widehat {D} = 180^{\circ} -70 ^{\circ} = 110^{\circ}\)
Bài 9.19 trang 83 Toán 9
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng
\(\widehat {IBD} = \widehat {ICA}, \widehat {ICA} = \widehat {IBD}\)và IA . IB = IC . ID.
Lời giải:
– Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:
⦁ \(\widehat {DCA} = \widehat {ABD} = 180^{\circ}\)
Mà \(\widehat {DCA} + \widehat {ICA} = 180 ^{\circ}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ICA} hay \widehat {IDB} = \widehat {IAC}\)
\(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180 ^{\circ}\)
Mà \(\widehat {BAC} + \widehat {IAC} = 180^{\circ}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BDC} + \widehat {IAC} = 180^{\circ} (hai góc kề bù) nên \widehat {BDC} = \widehat {IAC} hay \widehat {IBD} = \widehat {IAC}\)
– Xét ∆IAC và ∆IDB, có:
\(\widehat {IAC} = \widehat {IBD}\) (chứng minh trên) và \(\widehat {IBD}\) là góc chung
Do đó ∆IAC ᔕ ∆IDB (g.g)
Suy ra \(\frac{IA}{ID}=\frac{IC}{IB}\) (tỉ số đồng dạng) nên IA . IB = IC . ID.
Bài 9.20 trang 83 Toán 9
Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Lời giải:
Vì hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:
\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 180 ^{\circ} (1)\)
Vì ABCD là hình bình hành nên hai góc đối bằng nhau, do đó \(\widehat {ABC} =\widehat {ADC} (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 180 ^{\circ}\).
Hay \(2\widehat {ABC} = 180 ^{\circ} do đó, \widehat {ABC} = 90^{\circ}\)
Hình bình hành ABCD có \(\widehat {ABC} = 90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật.
Vậy ABCD là hình chữ nhật.
Bài 9.21 trang 83 Toán 9
Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180 ^{\circ}\).(1)
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {BCD} = 180^{\circ}\)°.(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).
Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.
Bài 9.22 trang 83 Toán 9
Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.
Lời giải:
Giả sử ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2,5 cm (hình vẽ).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo AC, BD và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo AC, hay AC là đường kính của đường tròn (O).
Do đó AC = 2 . 2,5 = 5 (cm).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {ABC} = 90^{\circ}\).
Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:
AC2 = AB2 + BC2
Suy ra 52 = (2BC)2 + BC2
Do đó 25 = 4BC2 + BC2
Hay 5BC2 = 25, suy ra BC2 = 5, nên BC=√5(cm).
Khi đó, AB=2BC=2√5(cm).
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:
S=AB⋅BC=2√5⋅√5=10 (cm2).
Bài 9.23 trang 83 Toán 9
Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.
Lời giải:
Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).
Gọi H là trung điểm của CD.
Khi đó HB=HC=12BC=12⋅4=2(m) và H nằm trên đường trung trực của BC.
Vì B, C cùng nằm trên nửa đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên OH ⊥ BC.
Mà BC // AD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OH ⊥ AD.
Xét tứ giác ABHO có \(\widehat {OAB} = \widehat {AOH}=\widehat {OBH}=90^{\circ}\) nên ABHO là hình chữ nhật.
Do đó OH = AB = 3 (m).
Xét ∆OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:
OB2 = OH2 + HB2 = 32 + 22 = 13.
Do đó OB=√13m.
Nửa chu vi đường tròn (O) là: π√13(m).
Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: π√13(m).
