VnDoc.com

Bài tập về đường thẳng và parabol Toán 9

Tài liệu về đường thẳng và parabol

47 73.892

Bài tập về Đường thẳng và parabol

I. Tóm tắt lý thuyết và đường thẳng và parabol
II. Bài tập và các dạng toán về đường thẳng và parabol

Bài tập về Đường thẳng và Parabol Toán 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Bài viết giới thiệu cho chúng ta thấy được nội dung lý thuyết và bài tập về đường thẳng và parabol. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Đây là phần bài tập về Đường thẳng và Parabol được chia làm hai phần: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Các phần bài tập được biên soạn theo chuẩn khung chương trình đào tạo của Bộ Giáo Dục ban hành. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố lại kiến thức về Đường thẳng và Parabol đồng thời nắm vững các kiến thức để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Các bài toán về đường thẳng và parabol

I. Tóm tắt lý thuyết và đường thẳng và parabol

Cho đường thẳng $\left( d \right):y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ . Khi đó số giao điểm của (d) và (P) bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: $a{x^2} = mx + n$ .

Ta có bảng sau đây:

Số giao điểm của (d) và (P)	Biệt thức $\Delta$ của phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)	Vị trí tương đối của (d) và (P)
0	$\Delta < 0$	(d) không cắt (P)
1	$\Delta = 0$	(d) tiếp xúc với (P)
2	$\Delta > 0$	(d) giao với (P) tại hai điểm phân biệt

Ví dụ: Cho Parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng (d): $y = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1$

a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B và (d) và (P)

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ sao cho |x₁ – x₂| = 2

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$\begin{matrix} \dfrac{1}{2}{x^2} = x + \dfrac{3}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có: $y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{9}{2}$ . Vậy tọa độ các giao điểm là $A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)$

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$\begin{matrix} \dfrac{1}{2}{x^2} = mx - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Để (P) và (d) tại hai điểm phân biệt x₁; x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó $\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Cách 1: Khi m > -1 ta có:

$\begin{matrix} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 8m = - 4 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Cách 2: Khi m > -1 ta có:

$\begin{matrix} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{ - b + \sqrt {\Delta '} }}{a} - \dfrac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{{a'}}} \right| = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {2m + 2} \hfill \\ \end{matrix}$

Theo yêu cầu bài toán ta có:

$2\sqrt {2m + 2} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2m + 2} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$

II. Bài tập và các dạng toán về đường thẳng và parabol

Bài 1: Cho parabol $\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + n$ .

1. Với n = 1, hãy:

a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (d) và (P).

c) Tính diện tích tam giác AOB.

2. Tìm các giá trị của n để:

a) (d) và (P) tiếp xúc nhau.

b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

c) (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía đối của trục Oy.

Bài 2: Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = - 2x + m$ .

1. Với m = 3, hãy:

a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm M và N của (d) và (P).

c) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

2. Tìm các giá trị của m để:

a) (d) và (P) tiếp xúc nhau.

b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;2) và đường thẳng $\left( d \right):y = - 3x + 1$ .

1. Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua M và song song với (d).

2. Cho parabol $\left( P \right):y = m{x^2}\,\,\left( {m \ne 0} \right)$ . Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B nằm cùng phía đối với trục tung.

Bài 4: Cho parabol $\left( P \right):y = \left( {2m - 1} \right){x^2}$ với $m \ne \frac{1}{2}$ .

1. Xác định tham số m biết đồ thị hàm số đi qua A(3;3). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.

2. Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4, cắt (P) trên tại hai điểm A, B. Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 5: Cho parabol $\left( P \right):y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 2mx - m + 2$ .

1. Xác định tham số a biết (P) đi qua A(1;-1).

2. Biện luận số giao điểm của (P) và (d) theo tham số m.

Bài 6: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol $\left( P \right):y = m{x^2}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)$ (m là tham số) và hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = x + 1$ và $\left( {{d_2}} \right):x + 2y + 4 = 0$ .

1. Tìm tọa độ giao điểm A của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ .

2. Tìm giá trị của m để (P) đi qua A. Vẽ (P) với m vừa tìm được.

3. Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) tiếp xúc với (P) tại A.

Bài 7: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol $\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx - 2m - 1$ .

1. Vẽ (P).

2. Tìm giá trị của tham số m sao cho (d) tiếp xúc với (P).

3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).

Bài 8: Cho parabol và đường thẳng .

1. Chứng minh và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .

2. Xác định để nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác với vừa tìm được.

Bài 9: Cho $\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}$ và đường thẳng $\left( d \right):mx + y = 2$ đi qua có hệ số góc .

1. Chứng minh (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .

2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. Chứng minh tam giác IHK vuông tại I.

Bài 10: Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx - m + 1$ . Tìm các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn:

1. $\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 4$ .

2. ${x_1} = 9{x_2}$ .

Bài 11: Cho parabol (P) có đồ thị đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm $A\left( {1; - \frac{1}{4}} \right)$ .

a) Viết phương trình của (P).

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng $\left( d \right):y = - \frac{1}{2}x + m$ cắt (P) tại hai điểm có hoành độ ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $3{x_1} + 5{x_2} = 5$ .

Bài 12: Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 2mx - 2m + 3$ .

a) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2.

b) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

c) Gọi ${y_1},\,\,{y_2}$ là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm các giá trị của tham số m để ${y_1} + {y_2} < 9$ .

Như vậy VnDoc đã chia sẻ tới các bạn Bài tập về Đường thẳng và Parabol. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn nắm chắc bài cũng như vận dụng tốt vào giải bài tập Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt và các bạn nhớ thường xuyên tương tác với VnDoc.com để nhận thêm nhiều tài liệu hay miễn phí nhé.

Ngoài Bài tập về Đường thẳng và Parabol, các bạn có thể tham khảo thêm tài liệu môn Toán lớp 9 khác trên VnDoc để giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt.

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.