Bài tập về đường thẳng và parabol Toán 9
Bài tập về Đường thẳng và parabol
Bài tập về Đường thẳng và Parabol Toán 9 bao gồm lý thuyết và các dạng toán khác nhau về đường thẳng Parabol giúp các em nắm vững kiến thức được học, vận dụng làm bài tập hiệu quả và chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán sắp tới.
Các bài toán về đường thẳng và parabol
I. Tương giao giữa parabol và đường thẳng
Cho đường thẳng 
\(\left( d \right):y = mx + n\) và parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó số giao điểm của (d) và (P) bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: \(a{x^2} = mx + n\).
Ta có bảng sau đây:
| Số giao điểm của (d) và (P) | Biệt thức \(\Delta\) của phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) |
Vị trí tương đối của (d) và (P) |
| 0 | \(\Delta < 0\) |
(d) không cắt (P) |
| 1 | \(\Delta = 0\) |
(d) tiếp xúc với (P) |
| 2 | \(\Delta > 0\) |
(d) giao với (P) tại hai điểm phân biệt |
II. Cách giải bài toán tương giao giữa (d) và (P)
Cho parabol \((P):y = ax^{2};(a \neq
0)\) và đường thẳng \((d):y = bx +
c\). Để tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) ta làm như sau:
Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) ta được: \(ax^{2} = bx + c(*)\)
Giải phương trình (*) để tìm nghiệm (nếu có).
Bước 2: Thay giá trị \(x\) tìm được vào một trong hai phương trình \((P)\) hoặc \((d)\) để tìm giá trị của \(y\). Từ đó tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\).
Chú ý: Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của \((P)\) và \((d)\):
+) Nếu (*) vô nghiệm thì \((d)\) không cắt \((P)\).
+) Nếu (*) có nghiệm kép thì \((d)\) tiếp xúc\((P)\).
+) Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ: Cho parabol \((P):y = -
x^{2}\) và đường thẳng \((d):y = m -
2\) (với m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để:
a) \((P)\) và \((d)\) có một điểm chung duy nhất.
b) \((P)\) và \((d)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c) \((P)\) và \((d)\) không có điểm chung.
Hướng dẫn giải
Ta có bảng giá trị:
\(x\)\(- 2\)\(- 1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(y = - x^{2}\)\(- 4\)\(- 1\)\(0\)\(- 1\)\(- 4\)
Đồ thi \((P):y = - x^{2}\) đi qua các điểm \(O(0;0),A(1; - 1),B( - 1; - 1),C(2;
- 4),D( - 2; - 4)\)
Đồ thị \((d):y = m - 2\) là một đường thẳng song song với trục hoành.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
a) Để \((P)\) và \((d)\) có một điểm chung duy nhất
\(\Leftrightarrow m - 2 = 0
\Leftrightarrow m = 2\)
Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.
b) Để \((P)\) và \((d)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow m - 2 < 0
\Leftrightarrow m < 2\)
Vậy \(m < 2\) là giá trị cần tìm.
c) Để \((P)\) và \((d)\) không có điểm chung
\(\Leftrightarrow m - 2 > 0
\Leftrightarrow m > 2\)
Vậy \(m > 2\) thì \((P)\) và \((d)\) không có điểm chung.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \((P):y = 2x^{2}\) và đường thẳng \((d):y = - 2mx + m + 1\). Tì\(m\) \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt \(x_{1};x_{2}\)sao cho \(\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}} +
\frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}} = 2\).
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) là:
\(2x^{2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow
2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0(*)\)
Ta có:
\(\Delta' = m^{2} - 2( - m - 1) = m^{2}
+ 2m + 2 = (m + 1)^{2} + 1 \geq 0\forall m\) nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra \((d)\) và \((P)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A;B\).
Ta thấy: \(2\left( \frac{1}{2} \right)^{2}
+ 2m.\left( \frac{1}{2} \right) - m - 1 \neq 0\forall m\) nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác \(\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}}
+ \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}}\)
\(= \left( \frac{1}{2x_{1} - 1} +
\frac{1}{2x_{2} - 1} \right)^{2} - \frac{2}{\left( 2x_{1} - 1
\right)\left( 2x_{1} + 1 \right)}\)
\(= 4\left\lbrack \frac{x_{1} + x_{2} -
1}{4x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 1} \right\rbrack -
\frac{2}{4x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} \right) +
1}(**)\)
Theo hệ thức Vi – ét ta có:\(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - m \\
x_{1}x_{2} = - \frac{m + 1}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Thay vào (**) ta được:
\(\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}}
+ \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}} = 4\left\lbrack \frac{- m -
1}{- 2(m + 1) + 2m + 1} \right\rbrack = 4(m + 1)^{2} + 2\)
Yêu cầu bài toán tương đương với
\(4(m + 1)^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m =
- 1\)
Vậy \(m = - 1\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) sao cho \(\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}} +
\frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}} = 2\) .
Ví dụ: Cho Parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng (d): \(y = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1\)
a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B và (d) và (P).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho |x1 – x2| = 2.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
\(\begin{matrix}
\dfrac{1}{2}{x^2} = x + \dfrac{3}{2} \hfill \\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 1} \\
{x = 3}
\end{array}} \right. \hfill \\
\end{matrix}\)
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{9}{2}\).
Vậy tọa độ các giao điểm là \(A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);B\left( {3;\frac{9}{2}} \right)\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\begin{matrix}
\dfrac{1}{2}{x^2} = mx - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1 \hfill \\
\Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0\left( * \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
Để (P) và (d) tại hai điểm phân biệt x1; x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó \(\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)
Cách 1: Khi m > -1 ta có:
\(\begin{matrix}
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\
\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4 \hfill \\
\Leftrightarrow 8m = - 4 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2} \hfill \\
\end{matrix}\)
Cách 2: Khi m > -1 ta có:
\(\begin{matrix}
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\
\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{ - b + \sqrt {\Delta '} }}{a} - \dfrac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{{a'}}} \right| = 2\sqrt {\Delta '} = 2\sqrt {2m + 2} \hfill \\
\end{matrix}\)
Theo yêu cầu bài toán ta có:
\(2\sqrt {2m + 2} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2m + 2} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\)
Vậy để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho |x1 – x2| = 2 thì \(m=-1/2\).
II. Bài tập và các dạng toán về đường thẳng và parabol
Bài 1: Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + n\).
1. Với n = 1, hãy:
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (d) và (P).
c) Tính diện tích tam giác AOB.
2. Tìm các giá trị của n để:
a) (d) và (P) tiếp xúc nhau.
b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía đối của trục Oy.
Bài 2: Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - 2x + m\).
1. Với m = 3, hãy:
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm M và N của (d) và (P).
c) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
2. Tìm các giá trị của m để:
a) (d) và (P) tiếp xúc nhau.
b) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;2) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - 3x + 1\).
1. Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua M và song song với (d).
2. Cho parabol \(\left( P \right):y = m{x^2}\,\,\left( {m \ne 0} \right)\). Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B nằm cùng phía đối với trục tung.
Bài 4: Cho parabol \(\left( P \right):y = \left( {2m - 1} \right){x^2}\)với \(m \ne \frac{1}{2}\).
1. Xác định tham số m biết đồ thị hàm số đi qua A(3;3). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
2. Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4, cắt (P) trên tại hai điểm A, B. Tính diện tích tam giác AOB.
Bài 5: Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - m + 2\).
1. Xác định tham số a biết (P) đi qua A(1;-1).
2. Biện luận số giao điểm của (P) và (d) theo tham số m.
Bài 6: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol \(\left( P \right):y = m{x^2}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\)(m là tham số) và hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + 2y + 4 = 0\).
1. Tìm tọa độ giao điểm A của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\).
2. Tìm giá trị của m để (P) đi qua A. Vẽ (P) với m vừa tìm được.
3. Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 7: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2}\)và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - 2m - 1\).
1. Vẽ (P).
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho (d) tiếp xúc với (P).
3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 8: Cho parabol và đường thẳng .
1. Chứng minh và luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
2. Xác định để nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác với vừa tìm được.
Bài 9: Cho \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\)và đường thẳng \(\left( d \right):mx + y = 2\)đi qua có hệ số góc .
1. Chứng minh (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. Chứng minh tam giác IHK vuông tại I.
Bài 10: Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m + 1\). Tìm các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\)thỏa mãn:
1. \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 4\).
2. \({x_1} = 9{x_2}\).
Bài 11: Cho parabol (P) có đồ thị đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm \(A\left( {1; - \frac{1}{4}} \right)\).
a) Viết phương trình của (P).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng \(\left( d \right):y = - \frac{1}{2}x + m\)cắt (P) tại hai điểm có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(3{x_1} + 5{x_2} = 5\).
Bài 12: Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - 2m + 3\).
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2.
b) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Gọi \({y_1},\,\,{y_2}\) là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm các giá trị của tham số m để \({y_1} + {y_2} < 9\).
Bài 13: Cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 14. Cho các điểm A(-2; 0) ; B(0; 4) ; C(1; 1) ; D(-3; 2)
a. Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 15: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 16: Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A(0; 1); B(1; 3).
a) Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c) Viết phương trình đường thẳng d1vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d) Chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho CD = 2.
Bài 17: Cho (P): y = x2 và hai đường thẳng (a), (b) có phương trình lần lượt là:
y = 2x – 5 (a)
y = 2x + m (b)
a) Chứng tỏ rằng đường thẳng (a) không cắt (P).
b) Tìm m để đường thẳng (b) tiếp xúc với (P), với m tìm được hãy:
+ Chứng minh các đường thẳng (a), (b) song song với nhau.
+ Tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với (b).
+ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng \(\frac{-1}{2}\) . Tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d).
Bài 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y = 2mx + 4 (m là tham số) và parabol (P): y = x2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn (x1 + x2) 2 = mx1 .x2?
Bài 19: Số giá trị nguyên của m để đường thẳng (d): y = mx + m + 1 và parabol (P): y = x 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) thỏa mãn y 1 + y 2 < 5 là bao nhiêu?
-------------------------------------------------------------------------
Thông qua bài viết "Bài tập về đường thẳng và parabol Toán 9", các em đã được tiếp cận hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa đường thẳng và parabol – một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 9. Đây không chỉ là kiến thức nền tảng phục vụ kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 mà còn là bước đệm quan trọng cho các lớp học cao hơn.
Để học tốt phần này, các em nên thường xuyên luyện tập, kết hợp các dạng bài tìm tọa độ giao điểm, viết phương trình đường thẳng cắt parabol, hay giải bài toán thực tế có liên quan đến đồ thị. Đừng quên tải về và tham khảo thêm tài liệu về đường thẳng và parabol được cập nhật thường xuyên tại website của chúng tôi, giúp việc ôn tập trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn. Hãy lưu lại bài viết và chia sẻ cho bạn bè cùng học để cùng nhau chinh phục điểm cao môn Toán 9 nhé. Đón đọc thêm nhiều bài viết bổ ích khác trong chuyên mục Tài liệu ôn thi Toán lớp 9 để không bỏ lỡ kiến thức nào quan trọng!
