Cách vận dụng bất đẳng thức trong giải toán định lý Viète
Định lý Viète và ứng dụng
Bất đẳng thức là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán đại số, đặc biệt khi kết hợp với định lý Viète để tìm điều kiện nghiệm của phương trình. Việc hiểu rõ cách vận dụng bất đẳng thức vào giải toán không chỉ giúp học sinh nâng cao tư duy logic mà còn rút ngắn thời gian giải bài, đặc biệt trong các kỳ thi như học sinh giỏi hay THPT Quốc gia. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách vận dụng bất đẳng thức hiệu quả trong giải các dạng toán liên quan đến định lý Viète, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.
A. Hệ thức Vi - et
Phương trình bậc hai tổng quát 
\(ax^{2} +
bx + c = 0;(a \neq 0)\). Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) thì \(\left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\
P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \\
\end{matrix} \right.\)
Đảo lại nếu hai số \(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} \\
P = x_{1}.x_{2} \\
\end{matrix} \right.\) thì \(x_{1};x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} - S.x + P = 0\) (điều kiện \(S^{2} - 4P \geq 0\)).
B. Bài tập ứng dụng bất đẳng thức giải toán Vi-et
Bài tập 1. Cho phương trình: \(x^{2} - 2mx
+ 2m - 2 = 0\). Gọi \(x_{1},\
x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của \(M = \frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)}{x_{1}^{2}
+ x_{2}^{2} + 4\left( x_{1} + x_{2} \right)}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\Delta' = m^{2} - 2m + 2 =
\left( m - 1^{2} \right) + 1 > 0(\forall m)\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},\ x_{2}\) với mọi m.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 2m \\
x_{1}x_{2} = 2m - 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Xét: \(M = \frac{6\left( x_{1} + x_{2}\right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4\left( x_{1} + x_{2} \right)}\)\(=\frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -2x_{1}x_{2} + 4(x_{1} + x_{2})} = \frac{3m}{m^{2} + m + 1}\).
Để tìm GTLN của biểu thức \(M\) ta làm theo 2 cách như sau:
Cách 1: Phương pháp thêm bớt.
Ta có:
\(M = \frac{3m}{m^{2} + m = 1} =
\frac{m^{2} + m + 1 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + m + 1} = 1 - \frac{(m -
1)^{2}}{m^{2} + m + 1} \leq 1\).
\(\Rightarrow MaxM = 1 \Leftrightarrow m =
1\).
Cách 2: Phương pháp miền giá trị.
Ta có: \(M = \frac{3m}{m^{2} + m + 1}
\Leftrightarrow Mm^{2} + (M - 3)m + M = 0\).
TH1:\(M = 0 \Rightarrow m = 0\)
TH2:\(M \neq 0 \Rightarrow \Delta = (M -
3)^{2} - 4M^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 3\left( M^{2} + 2M - 3 \right)
\geq 0\)
\(\Leftrightarrow M^{2} + 2M - 3 \leq 0
\Leftrightarrow - 3 \leq M \leq 1\).
Bài tập 2. Cho phương trình: \(x^{2} - mx + m
- 1 = 0\). Tìm GTNN và GTLN của biểu thức \(B = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} +
2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(\Delta^{'} = m^{2} - 4(m - 1) =
(m - 2)^{2} \geq 0(\ \forall m\ )\) nên phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\)
Theo định lí Vi-et ta có:\(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = m \\
x_{1}x_{2} = m - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Xét:\(B = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{x_{1}^{2}
+ x_{2}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)} = \frac{2x_{1}x_{2} +
3}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1}x_{2} +
1 \right)} = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2}\)
Cách 1: Phương pháp thêm bớt.
Ta có:\(B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} =
\frac{m^{2} + 2 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} = 1 - \frac{(m - 1)^{2}}{m^{2}
+ 2} \leq 1\)
\(\Rightarrow MaxB = 1 \Leftrightarrow m =
1\)
Ta có:\(B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} =
\frac{m^{2} + 4m + 4 - \left( m^{2} + 2 \right)}{2\left( m^{2} + 2
\right)} = \frac{(m + 2)^{2}}{2\left( m^{2} + 2 \right)} - \frac{1}{2}
\geq - \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow MinB = - \frac{1}{2}
\Leftrightarrow m = - 2\)
Cách 2: Phương pháp miền giá trị.
Ta có: \(B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2}
\Leftrightarrow Bm^{2} - 2m + 2B - 1 = 0\)
TH1:\(B = 0 \Rightarrow m = -
\frac{1}{2}\)
TH2:\(B \neq 0 \Rightarrow \Delta^{'} =
1 - B(2B - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 2B^{2} + B + 1 \geq
0\)
\(\Leftrightarrow 2B^{2} - B - 1 \leq 0
\Leftrightarrow (2B + 1)(B - 1) \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}
\leq B \leq 1\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
MinB = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{B} = - 2 \\
MaxB = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{B} = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho phương trình: \(2x^{2} + 2mx
+ m^{2} - 2 = 0\). Gọi \(x_{1},x_{2}\)là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của \(A = \left| 2x_{1}x_{2} +
x_{1} + x_{2} - 4 \right|\).
Bài tập 2. Cho phương trình: \(2x^{2} + 2mx
+ m^{2} - 1 = 0\). Gọi \(x_{1},x_{2}\)là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của \(B = \left| x_{1} + x_{2}
+ 3x_{1}x_{2} \right|\).
Bài tập 3. Cho phương trình: \(x^{2} - 2(m
- 1)x + 2m^{2} - 3m + 1 = 0\). Gọi \(x_{1},x_{2}\)là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh: \(\left| x_{1} + x_{2} +
x_{1}x_{2} \right| \leq \frac{9}{8}\).
Bài tập 4. Cho phương trình: \(x^{2} - 2(m
+ 1)x + 2m - 3 = 0\). Gọi \(x_{1},x_{2}\)là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của biểu thức: \(P = \left|
\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} - x_{2}} \right|\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
----------------------------------------------------------
Hy vọng rằng với những kiến thức trong bài viết, bạn đã hiểu rõ cách kết hợp bất đẳng thức và định lý Viète để giải các dạng bài toán một cách chính xác và nhanh chóng. Đây là một kỹ năng không thể thiếu nếu bạn muốn đạt điểm cao trong các kỳ thi Toán học. Hãy luyện tập thường xuyên các ví dụ đã cung cấp để nắm vững phương pháp này. Đừng quên chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích, và theo dõi thêm nhiều nội dung bổ ích về Toán học THPT trên website của chúng tôi.
