Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

VnDoc.com

Cách vận dụng bất đẳng thức trong giải toán định lý Viète

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Định lý Viète và ứng dụng

Bất đẳng thức là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán đại số, đặc biệt khi kết hợp với định lý Viète để tìm điều kiện nghiệm của phương trình. Việc hiểu rõ cách vận dụng bất đẳng thức vào giải toán không chỉ giúp học sinh nâng cao tư duy logic mà còn rút ngắn thời gian giải bài, đặc biệt trong các kỳ thi như học sinh giỏi hay THPT Quốc gia. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách vận dụng bất đẳng thức hiệu quả trong giải các dạng toán liên quan đến định lý Viète, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

A. Hệ thức Vi - et

Phương trình bậc hai tổng quát $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ $a x^{2} + b x + c = 0; (a \neq 0)$ . Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1}; x_{2}$ thì $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Đảo lại nếu hai số $x_{1};x_{2}$ $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1} . x_{2} \end{matrix}$ thì $x_{1};x_{2}$ $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S.x + P = 0$ $x^{2} - S . x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4P \geq 0$ $S^{2} - 4 P \geq 0$ ).

B. Bài tập ứng dụng bất đẳng thức giải toán Vi-et

Bài tập 1. Cho phương trình: $x^{2} - 2mx + 2m - 2 = 0$ $x^{2} - 2 m x + 2 m - 2 = 0$ . Gọi $x_{1},\ x_{2}$ $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của $M = \frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4\left( x_{1} + x_{2} \right)}$ $M = \frac{6 (x_{1} + x_{2})}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4 (x_{1} + x_{2})}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\Delta$ $Δ^{'} = m^{2} - 2 m + 2 = (m - 1^{2}) + 1 > 0 (\forall m)$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$ $x_{1}, x_{2}$ với mọi m.

Theo định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m \\ x_{1}x_{2} = 2m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 2 \end{matrix}$

Xét: $M = \frac{6\left( x_{1} + x_{2}\right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4\left( x_{1} + x_{2} \right)}$ $M = \frac{6 (x_{1} + x_{2})}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4 (x_{1} + x_{2})}$ $=\frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -2x_{1}x_{2} + 4(x_{1} + x_{2})} = \frac{3m}{m^{2} + m + 1}$ $= \frac{6 (x_{1} + x_{2})}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 4 (x_{1} + x_{2})} = \frac{3 m}{m^{2} + m + 1}$ .

Để tìm GTLN của biểu thức $M$ ta làm theo 2 cách như sau:

Cách 1: Phương pháp thêm bớt.

Ta có:

$M = \frac{3m}{m^{2} + m = 1} = \frac{m^{2} + m + 1 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + m + 1} = 1 - \frac{(m - 1)^{2}}{m^{2} + m + 1} \leq 1$ $M = \frac{3 m}{m^{2} + m = 1} = \frac{m^{2} + m + 1 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + m + 1} = 1 - \frac{(m - 1)^{2}}{m^{2} + m + 1} \leq 1$ .

$\Rightarrow MaxM = 1 \Leftrightarrow m = 1$ $\Rightarrow M a x M = 1 \Leftrightarrow m = 1$ .

Cách 2: Phương pháp miền giá trị.

Ta có: $M = \frac{3m}{m^{2} + m + 1} \Leftrightarrow Mm^{2} + (M - 3)m + M = 0$ $M = \frac{3 m}{m^{2} + m + 1} \Leftrightarrow M m^{2} + (M - 3) m + M = 0$ .

TH1: $M = 0 \Rightarrow m = 0$ $M = 0 \Rightarrow m = 0$

TH2: $M \neq 0 \Rightarrow \Delta = (M - 3)^{2} - 4M^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 3\left( M^{2} + 2M - 3 \right) \geq 0$ $M \neq 0 \Rightarrow Δ = (M - 3)^{2} - 4 M^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 (M^{2} + 2 M - 3) \geq 0$

$\Leftrightarrow M^{2} + 2M - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq M \leq 1$ $\Leftrightarrow M^{2} + 2 M - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq M \leq 1$ .

Bài tập 2. Cho phương trình: $x^{2} - mx + m - 1 = 0$ $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $B = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)}$ $B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (x_{1} x_{2} + 1)}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\Delta^{$ $Δ^{^{'}} = m^{2} - 4 (m - 1) = (m - 2)^{2} \geq 0 (\forall m)$ nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}x_{2} = m - 1 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = m - 1 \end{matrix}$

Xét: $B = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)} = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)} = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2}$ $B = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 (x_{1} x_{2} + 1)} = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} x_{2} + 1)} = \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2}$

Cách 1: Phương pháp thêm bớt.

Ta có: $B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{m^{2} + 2 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} = 1 - \frac{(m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} \leq 1$ $B = \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{m^{2} + 2 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} = 1 - \frac{(m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} \leq 1$

$\Rightarrow MaxB = 1 \Leftrightarrow m = 1$ $\Rightarrow M a x B = 1 \Leftrightarrow m = 1$

Ta có: $B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{m^{2} + 4m + 4 - \left( m^{2} + 2 \right)}{2\left( m^{2} + 2 \right)} = \frac{(m + 2)^{2}}{2\left( m^{2} + 2 \right)} - \frac{1}{2} \geq - \frac{1}{2}$ $B = \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{m^{2} + 4 m + 4 - (m^{2} + 2)}{2 (m^{2} + 2)} = \frac{(m + 2)^{2}}{2 (m^{2} + 2)} - \frac{1}{2} \geq - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow MinB = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - 2$ $\Rightarrow M i n B = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - 2$

Cách 2: Phương pháp miền giá trị.

Ta có: $B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} \Leftrightarrow Bm^{2} - 2m + 2B - 1 = 0$ $B = \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2} \Leftrightarrow B m^{2} - 2 m + 2 B - 1 = 0$

TH1: $B = 0 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}$ $B = 0 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}$

TH2: $B \neq 0 \Rightarrow \Delta^{$ $B \neq 0 \Rightarrow Δ^{^{'}} = 1 - B (2 B - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 2 B^{2} + B + 1 \geq 0$

$\Leftrightarrow 2B^{2} - B - 1 \leq 0 \Leftrightarrow (2B + 1)(B - 1) \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq B \leq 1$ $\Leftrightarrow 2 B^{2} - B - 1 \leq 0 \Leftrightarrow (2 B + 1) (B - 1) \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq B \leq 1$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MinB = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{B} = - 2 \\ MaxB = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{B} = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow {\begin{matrix} M i n B = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{B} = - 2 \\ M a x B = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{B} = 1 \end{matrix}$

C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Cho phương trình: $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0$ $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 2 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của $A = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|$ $A = | 2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 |$ .

Bài tập 2. Cho phương trình: $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 1 = 0$ $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của $B = \left| x_{1} + x_{2} + 3x_{1}x_{2} \right|$ $B = | x_{1} + x_{2} + 3 x_{1} x_{2} |$ .

Bài tập 3. Cho phương trình: $x^{2} - 2(m - 1)x + 2m^{2} - 3m + 1 = 0$ $x^{2} - 2 (m - 1) x + 2 m^{2} - 3 m + 1 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh: $\left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} \right| \leq \frac{9}{8}$ $| x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} | \leq \frac{9}{8}$ .

Bài tập 4. Cho phương trình: $x^{2} - 2(m + 1)x + 2m - 3 = 0$ $x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m - 3 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của biểu thức: $P = \left| \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} - x_{2}} \right|$ $P = | \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} - x_{2}} |$ .

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

----------------------------------------------------------

Hy vọng rằng với những kiến thức trong bài viết, bạn đã hiểu rõ cách kết hợp bất đẳng thức và định lý Viète để giải các dạng bài toán một cách chính xác và nhanh chóng. Đây là một kỹ năng không thể thiếu nếu bạn muốn đạt điểm cao trong các kỳ thi Toán học. Hãy luyện tập thường xuyên các ví dụ đã cung cấp để nắm vững phương pháp này. Đừng quên chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích, và theo dõi thêm nhiều nội dung bổ ích về Toán học THPT trên website của chúng tôi.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách vận dụng bất đẳng thức trong giải toán định lý Viète

270,6 KB

File word

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Đóng

Chỉ thành viên VnDoc PRO tải được nội dung này! VnDoc PRO - Tải nhanh, làm toàn bộ Trắc nghiệm, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO 79.000đ

Hoặc không cần đăng nhập và tải nhanh tài liệu Cách vận dụng bất đẳng thức trong giải toán định lý Viète

Tải nhanh tài liệu 25.000đ

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Trắc nghiệm

Bài tập Cuối tuần

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán

Môn Ngữ văn