Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +10
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Cách áp dụng Bất đẳng thức Schur hiệu quả trong giải toán

Chuyên đề Toán 9: Bất đẳng thức - Có đáp án

Bất đẳng thức Schur là một công cụ mạnh mẽ và phổ biến trong việc giải các bài toán bất đẳng thức nâng cao. Việc nắm vững cách áp dụng bất đẳng thức Schur không chỉ giúp bạn xử lý những bài toán khó mà còn nâng cao khả năng tư duy logic và sáng tạo trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về nguyên lý và các phương pháp áp dụng bất đẳng thức Schur một cách hiệu quả nhất để chinh phục các bài toán bất đẳng thức đa dạng.

A. Bất đẳng thức Schur

Công thức Bất đẳng thức Schur

a(a - b)(a - c) + b(b - c)(b - a) + c(c -
a)(c - b) \geq 0a(ab)(ac)+b(bc)(ba)+c(ca)(cb)0

Chứng minh

Do vai trò a, b, c bình đẳng nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử rằng a \geq b \geq c \geq 0abc0

Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix}
c - a \leq 0 \\
c - b \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Rightarrow c(c - a)(c - b) \geq 0{ca0cb0 c(ca)(cb)0

Ta cần chứng minh: a(a - b)(a - c) + b(b
- c)(b - a) \geq 0a(ab)(ac)+b(bc)(ba)0

\Leftrightarrow a(a - b)(a - c) - b(b -
c)(a - b) \geq 0a(ab)(ac)b(bc)(ab)0

\Leftrightarrow (a - b)\left\lbrack a(a -
c) - b(b - c) \right\rbrack \geq 0(ab)[a(ac)b(bc)]0

\Leftrightarrow (a - b)\left( a^{2} - ac
- b^{2} + bc \right) = (a - b)^{2}(a + b - c) \geq 0(ab)(a2acb2+bc)=(ab)2(a+bc)0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ngoài hướng trên, bạn đọc có thể đặt: x =
a - b \geq 0;y = b - c \geq 0 \Rightarrow a - c = x + yx=ab0;y=bc0ac=x+y

B. Ứng dụng của bất đẳng thức Schur

Ta có:

a(a - b)(a - c) + b(b - c)(b - a) + c(c -
a)(c - b) \geq 0a(ab)(ac)+b(bc)(ba)+c(ca)(cb)0

\Leftrightarrow a\left\lbrack a^{2} - a(b
+ c) + bc \right\rbrack + b\left\lbrack b^{2} - b(c + a) + ca
\right\rbrack + c\left\lbrack c^{2} - c(a + b) + ab \right\rbrack \geq
0a[a2a(b+c)+bc]+b[b2b(c+a)+ca]+c[c2c(a+b)+ab]0

a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3abc \geq a^{2}(b
+ c) + b^{2}(c + a) + c^{2}(a + b)a3+b3+c3+3abca2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) (1)

Mặt khác ta biết: \left\{ \begin{matrix}
a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3abc = p^{3} - 3pq + 6r \\
a^{2}(b + c) + b^{2}(c + a) + c^{2}(a + b) = pq - 3r \\
\end{matrix} \right.{a3+b3+c3+3abc=p33pq+6ra2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)=pq3r

Vì: (a + b + c)(ab + bc + ca) = a^{2}(b +
c) + b^{2}(c + a) + c^{2}(a + b) + 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca)=a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)+3abc

Vậy ta có: (1) \Leftrightarrow p^{3} -
3pq + 6r \geq pq - 3rp33pq+6rpq3r

\Leftrightarrow 9r \geq p\left( 4q -
p^{2} \right) \Leftrightarrow r \geq \frac{p\left( 4q - p^{2}
\right)}{9}9rp(4qp2)rp(4qp2)9

Đây là kết quả quan trọng để xử lí các bài toán bằng phương pháp đổi biến p, q, r.

C. Bài tập ví dụ minh họa áp dụng bất đẳng thức Schur

Bài 1. Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn a + b + c = 1a+b+c=1. Chứng minh rằng:

\frac{4}{81(ab + bc + ca)} + abc \geq
\frac{5}{27}481(ab+bc+ca)+abc527.

Hướng dẫn giải

Theo kĩ thuật đổi biến p, q, r ta quy về bài toán sau:

Cho p, q, r > 0>0 và thỏa mãn p = 1p=1. Chứng minh rằng: \frac{4}{81q} + r \geq \frac{5}{27}481q+r527

Ta đã có: r \geq \frac{p\left( 4q - p^{2}
\right)}{9} \Leftrightarrow r \geq \frac{4q - 1}{9} \Rightarrow
\frac{4}{81q} + r \geq \frac{4}{81q} + \frac{4q - 1}{9}rp(4qp2)9r4q19481q+r481q+4q19

Ta cần chứng minh: \frac{4}{81q} +
\frac{4q - 1}{9} \geq \frac{5}{27}481q+4q19527

Thật vậy: \frac{4}{81q} + \frac{4q -
1}{9} = \left( \frac{4}{81q} + \frac{4q}{9} \right) - \frac{1}{9} \geq
2\sqrt{\frac{16}{729}} - \frac{1}{9} = \frac{5}{27}481q+4q19=(481q+4q9)1921672919=527

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c =
\frac{1}{3}a=b=c=13

Vậy: \frac{4}{81(ab + bc + ca)} + abc
\geq \frac{5}{27}481(ab+bc+ca)+abc527

Bài 2. Cho a, b, c là các số thực không âm và a + b + c = 1a+b+c=1. Chứng minh rằng:

9abc \geq 4(ab + bc + ca) -
19abc4(ab+bc+ca)1

Hướng dẫn giải

Đặt: p = a + b + c,\ q = ab + bc + ca,\ r
= abc\ (p,q,r > 0;\ p = 1)p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc (p,q,r>0; p=1)

Ta cần chứng minh: 9r \geq 4q -
19r4q1

Thật vậy, theo trên ta đã có: 9r \geq
p\left( 4q - p^{2} \right)9rp(4qp2)

Mà: p = 1 \Rightarrow 9r \geq 1(4q - 1) =
4q - 1p=19r1(4q1)=4q1

Bài 3. Cho a, b, c là các số thực không âm và a + b + c = 1a+b+c=1. Chứng minh rằng:

0 \leq ab + bc + ca - 2abc \leq
\frac{7}{27}0ab+bc+ca2abc727

Hướng dẫn giải

Đặt: p = a + b + c,\ q = ab + bc + ca,\ r
= abc\ (p,q,r > 0;\ p = 1)p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc (p,q,r>0; p=1)

Ta cần chứng minh: 0 \leq q - 2r \leq
\frac{7}{27} \Leftrightarrow 2r \leq q \leq \frac{7}{27} +
2r0q2r7272rq727+2r

Ta đã biết: \left\{ \begin{matrix}
pq \geq 9r \\
9r \geq p\left( 4q - p^{2} \right) = 4q - 1 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow 9r \leq q \leq \frac{9r +
1}{4}{pq9r9rp(4qp2)=4q1 9rq9r+14

Ta chỉ cần chứng minh: \frac{9r + 1}{4}
\leq 2r + \frac{7}{27} \Leftrightarrow r \leq \frac{1}{27}9r+142r+727r127 (do p^{3} \geq 27rp327r)

Vậy: 0 \leq ab + bc + ca - 2abc \leq
\frac{7}{27}0ab+bc+ca2abc727

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

----------------------------

Áp dụng thành thạo bất đẳng thức Schur là bước đệm quan trọng giúp bạn giải quyết nhiều bài toán bất đẳng thức phức tạp trong học tập và các kỳ thi. Qua bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về các bước và chiến lược áp dụng bất đẳng thức Schur một cách hiệu quả. Hãy tiếp tục luyện tập và áp dụng linh hoạt để nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin đối mặt với các thử thách toán học khó khăn hơn.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng