Cách áp dụng Bất đẳng thức Schur hiệu quả trong giải toán
Chuyên đề Toán 9: Bất đẳng thức - Có đáp án
Bất đẳng thức Schur là một công cụ mạnh mẽ và phổ biến trong việc giải các bài toán bất đẳng thức nâng cao. Việc nắm vững cách áp dụng bất đẳng thức Schur không chỉ giúp bạn xử lý những bài toán khó mà còn nâng cao khả năng tư duy logic và sáng tạo trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về nguyên lý và các phương pháp áp dụng bất đẳng thức Schur một cách hiệu quả nhất để chinh phục các bài toán bất đẳng thức đa dạng.
A. Bất đẳng thức Schur
Công thức Bất đẳng thức Schur
Chứng minh
Do vai trò a, b, c bình đẳng nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử rằng
Khi đó ta có:
Ta cần chứng minh:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Ngoài hướng trên, bạn đọc có thể đặt:
B. Ứng dụng của bất đẳng thức Schur
Ta có:
Mặt khác ta biết:
Vì:
Vậy ta có: (1)
Đây là kết quả quan trọng để xử lí các bài toán bằng phương pháp đổi biến p, q, r.
C. Bài tập ví dụ minh họa áp dụng bất đẳng thức Schur
Bài 1. Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn
Hướng dẫn giải
Theo kĩ thuật đổi biến p, q, r ta quy về bài toán sau:
Cho p, q, r
Ta đã có:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy:
Đẳng thức xảy ra khi:
Vậy:
Bài 2. Cho a, b, c là các số thực không âm và
Hướng dẫn giải
Đặt:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, theo trên ta đã có:
Mà:
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực không âm và
Hướng dẫn giải
Đặt:
Ta cần chứng minh:
Ta đã biết:
Ta chỉ cần chứng minh:
Vậy:
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
----------------------------
Áp dụng thành thạo bất đẳng thức Schur là bước đệm quan trọng giúp bạn giải quyết nhiều bài toán bất đẳng thức phức tạp trong học tập và các kỳ thi. Qua bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về các bước và chiến lược áp dụng bất đẳng thức Schur một cách hiệu quả. Hãy tiếp tục luyện tập và áp dụng linh hoạt để nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin đối mặt với các thử thách toán học khó khăn hơn.