VnDoc.com

Chuyên đề: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chuyên đề môn Toán lớp 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề Toán 9: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

I. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
II. Bài tập giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chuyên đề Toán học lớp 9: Phương trình chứa ẩn ở mẫu được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện như sau:

Tìm điều kiện xác định của phương trình
Quy đồng mẫu số
Đặt ẩn phụ (nếu có)
Giải phương trình tìm nghiệm phương trình
Đối chiếu với điều kiện rồi đưa ra kết luận.

II. Bài tập giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 1: Giải phương trình $\frac{{2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ $\frac{2 x + 1}{3 x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x ≠ -2/3 và x ≠ 2

Phương trình tương đương với (2x+1)(x-2) = (x+1)(3x+2)

⇔ 2x² - 4x + x - 2 = 3x² + 2x + 3x + 2

⇔ x² + 8x + 4 = 0 ⇔ x = -4 ± 2√3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 ± 2√3

Bài 2: Giải phương trình $1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}$ $1 + \frac{2}{x - 2} = \frac{10}{x + 3} - \frac{50}{(2 - x) (x + 3)}$

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x ≠ -3 và x ≠ 2

Phương trình tương đương với (2 - x)(x + 3) - 2(x + 3) = 10(2 - x) - 50

⇔ x² - 7x - 30 = 0 ⇔ $\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $[\begin{matrix} x = 10 \\ x = - 3 \end{matrix}$

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10

Bài 3: Giải phương trình $\frac{{x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4x - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$ $\frac{x + 3}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 1/2

Phương trình tương đương với

$\frac{{x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{2x - 1}}$ $\frac{x + 3}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{2 x - 1}$

$\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 2{\left( {x + 1} \right)^2}$ $\Leftrightarrow (x + 3) (2 x - 1) = 2 {(x + 1)}^{2}$

⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5

Bài 4: Giải phương trình $\frac{{x + 1}}{{x + 2}} + \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x≠±2 và x≠-1

Phương trình tương đương với

(x+1)²(x-2) + (x-1)(x+1)(x+2) = (2x+1)(x-2)(x+2)

⇔ (x² + 2x + 1)(x - 2) + (x² - 1)(x + 2) = (2x + 1)(x² - 4)

⇔ x³ - 2x² + 2x² - 4x + x - 2 + x³ + 2x² - x - 2 = 2x³ - 8x + x² - 4

⇔ x² + 4x = 0 ⇔ $\left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $[\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 4 \end{matrix}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 và x = 0

Bài 5: Giải phương trình: $\frac{4}{{2x + 1}} + \frac{3}{{2x + 2}} = \frac{2}{{2x + 3}} + \frac{1}{{2x + 4}}$ $\frac{4}{2 x + 1} + \frac{3}{2 x + 2} = \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 4}$ .

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: x ∉ {-2; -3/2; -1; -1/2}

Phương trình tương đương với:

$\frac{4}{{2x + 1}} + \frac{3}{{2x + 2}} = \frac{2}{{2x + 3}} + \frac{1}{{2x + 4}}$ $\frac{4}{2 x + 1} + \frac{3}{2 x + 2} = \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 4}$

$\Leftrightarrow \frac{{4x + 10}}{{4{x^2} + 8x + 3}} = \frac{{ - 4x - 10}}{{4{x^2} + 12x + 8}}$ $\Leftrightarrow \frac{4 x + 10}{4 x^{2} + 8 x + 3} = \frac{- 4 x - 10}{4 x^{2} + 12 x + 8}$

$\Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {\frac{1}{{4{x^2} + 8x + 3}} + \frac{1}{{4{x^2} + 12x + 8}}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow (4 x + 10) (\frac{1}{4 x^{2} + 8 x + 3} + \frac{1}{4 x^{2} + 12 x + 8}) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {4{x^2} + 8x + 3 + 4{x^2} + 12x + 8} \right) = 0$ $\Leftrightarrow (4 x + 10) (4 x^{2} + 8 x + 3 + 4 x^{2} + 12 x + 8) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {8{x^2} + 20x + 11} \right) = 0$ $\Leftrightarrow (4 x + 10) (8 x^{2} + 20 x + 11) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4x + 10 = 0 \hfill \\ 8{x^2} + 20x + 11 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{5}{2} \hfill \\ x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {tm} \right)$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} 4 x + 10 = 0 \\ 8 x^{2} + 20 x + 11 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{5}{2} \\ x = \frac{- 5 \pm \sqrt{3}}{4} \end{matrix} (t m)$

Vậy phương trình có nghiệm là x = (-5 ± √3)/4 và x = -5/2.

Bài tập 7: Tìm điều kiện xác định của các phương trình:

a. $7 (x + y) + 25 = 3 x - 1$

b. $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{x - 4} = \frac{1}{2}$ $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{x - 4} = \frac{1}{2}$

c. $\frac{3x - 2}{4 - x^{2}} + 12 = \frac{x}{x - 2}$ $\frac{3 x - 2}{4 - x^{2}} + 12 = \frac{x}{x - 2}$

Hướng dẫn giải:

a. Điều kiện xác định: $x\mathbb{\in R}$ $x \in R$

b. Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x + 2 \neq 0 \\ x - 4 \neq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \neq - 2 \\ x \neq 4 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ ${\begin{matrix} x + 2 \neq 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq - 2 \\ x \neq 4 \end{matrix}$

c. Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ 4 - x^{2} \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ 4 - x^{2} \neq 0 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \neq 2 \\ (2 - x)(2 + x) \neq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq \pm 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x \neq \pm 2 \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq 2 \\ (2 - x) (2 + x) \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq \pm 2 \end{matrix} \Rightarrow x \neq \pm 2$

Bài tập 8: Giải phương trình: $\frac{13}{2x^{2} + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} - \frac{6}{x^{2} - 9} = 0$ $\frac{13}{2 x^{2} + x - 21} + \frac{1}{2 x + 7} - \frac{6}{x^{2} - 9} = 0$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} + x - 21 \ne 0} \\ {2x + 7 \ne 0} \\ {{x^2} - 9 \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right) \ne 0} \\ {x \ne - \frac{7}{2}} \\ {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0} \end{array}} \right.$ ${\begin{matrix} 2 x^{2} + x - 21 \neq 0 \\ 2 x + 7 \neq 0 \\ x^{2} - 9 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} (x - 3) (2 x + 7) \neq 0 \\ x \neq - \frac{7}{2} \\ (x - 3) (x + 3) \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne - \dfrac{7}{2},x \ne 3} \\ {x \ne - \dfrac{7}{2}} \\ {x \ne \pm 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne \pm 3} \\ {x \ne - \dfrac{7}{2}} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq - \frac{7}{2}, x \neq 3 \\ x \neq - \frac{7}{2} \\ x \neq \pm 3 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} x \neq \pm 3 \\ x \neq - \frac{7}{2} \end{matrix}$

Thực hiện giải phương trình như sau:

$PT \Leftrightarrow \frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} - \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0$ $P T \Leftrightarrow \frac{13}{(x - 3) (2 x + 7)} + \frac{1}{2 x + 7} - \frac{6}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{13\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}$ $\Leftrightarrow \frac{13 (x + 3)}{(x - 3) (2 x + 7) (x + 3)} + \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (2 x + 7) (x + 3)}$ $- \frac{{6\left( {2x + 7} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0$ $- \frac{6 (2 x + 7)}{(x - 3) (2 x + 7) (x + 3)} = 0$

$\Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 9 - 6\left( {2x + 7} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 13 (x + 3) + x^{2} - 9 - 6 (2 x + 7) = 0$

$\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 - 12x - 42 = 0$ $\Leftrightarrow 13 x + 39 + x^{2} - 9 - 12 x - 42 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} + x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3) (x + 4) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3 = 0} \\ {x + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3\left( L \right)} \\ {x = - 4\left( {tm} \right)} \end{array}} \right.} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 3 = 0 \\ x + 4 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 3 (L) \\ x = - 4 (t m) \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm x = -4 là nghiệm của phương trình.

Bài tập 9: Cho biểu thức: $A = \left( \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2x}{4 - x^{2}} \right).\left( \frac{2}{x} - 1 \right)$ $A = (\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2 x}{4 - x^{2}}) . (\frac{2}{x} - 1)$

a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.

b. Rút gọn A.

c. Tìm x để A có giá trị bằng 0,5

d. Tính giá trị của biểu thức A tại x thỏa mãn: $2x^{2} - x = 0$ $2 x^{2} - x = 0$

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 \ne 0} \\ \begin{gathered} x - 2 \ne 0 \hfill \\ 4 - {x^2} \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne - 2} \\ \begin{gathered} x \ne 2 \hfill \\ \left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.} \right.$ ${\begin{matrix} x + 2 \neq 0 \\ \begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ 4 - x^{2} \neq 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq - 2 \\ \begin{matrix} x \neq 2 \\ (2 - x) (2 + x) \neq 0 \end{matrix} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne - 2} \\ \begin{gathered} x \ne 2 \hfill \\ x \ne \pm 2 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Rightarrow x \ne \pm 2$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq - 2 \\ \begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq \pm 2 \end{matrix} \end{matrix} \Rightarrow x \neq \pm 2$

b. Ta có:

$A = \left( \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2x}{4 - x^{2}} \right).\left( \frac{2}{x} - 1 \right)$ $A = (\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2 x}{4 - x^{2}}) . (\frac{2}{x} - 1)$

$A = \left[ {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)$ $A = [\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} + \frac{2 x}{(x - 2) (x + 2)}] . (\frac{2}{x} - 1)$

$A = \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)$ $A = [\frac{x + 2}{(x - 2) (x + 2)} + \frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)} + \frac{2 x}{(x - 2) (x + 2)}] . (\frac{2 - x}{x})$

$A = \left[ {\frac{{x + 2 + x - 2 + 2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)$ $A = [\frac{x + 2 + x - 2 + 2 x}{(x - 2) (x + 2)}] . (\frac{2 - x}{x})$

$A = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}$ $A = \frac{4 x}{(x - 2) (x + 2)} . \frac{- (x - 2)}{x}$

$A = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}$ $A = \frac{- 4}{x + 2}$

c. $A = 0, 5$

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{- 4}{x + 2} = 0,5 \\ \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 2} = \frac{0,5(x + 2)}{x + 2} \\ \Leftrightarrow - 4 = 0,5(x + 2) \\ \Leftrightarrow - 4 = 0,5x + 1 \\ \Leftrightarrow 0,5x = - 5 \\ \Leftrightarrow x = - 10 \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \Rightarrow \frac{- 4}{x + 2} = 0, 5 \\ \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 2} = \frac{0, 5 (x + 2)}{x + 2} \\ \Leftrightarrow - 4 = 0, 5 (x + 2) \\ \Leftrightarrow - 4 = 0, 5 x + 1 \\ \Leftrightarrow 0, 5 x = - 5 \\ \Leftrightarrow x = - 10 \end{matrix}$

Vậy A = 0,5 thì x = -10

d. $2x^{2} - x = 0$ $2 x^{2} - x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {2 - x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x (2 - x) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {2 - x = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0\left( {tm} \right)} \\ {x = 2\left( L \right)} \end{array}} \right.} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 2 - x = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 (t m) \\ x = 2 (L) \end{matrix}$

Với x = 1 thay vào A ta được: $A = \frac{- 4}{0 + 2} = - 2$ $A = \frac{- 4}{0 + 2} = - 2$ .

Với nội dung bài Phương trình chứa ẩn ở mẫu trên đây chúng tôi xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô nội dung cần nắm vững khái niệm, phương pháp giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu...

-----------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán học 10: Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 10, Giải bài tập Toán lớp 10, Giải VBT Toán lớp 10 mà VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

4

4.233

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Đen2017

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!