Chuyên đề: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Chuyên đề Toán 9: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Chuyên đề: Phương trình chứa ẩn ở mẫu là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình và tư duy logic. Trong chuyên đề này, các em sẽ được tìm hiểu khái niệm phương trình chứa ẩn ở mẫu, cách xác định điều kiện xác định, các bước giải phương trình đúng chuẩn và những lỗi thường gặp khi làm bài. Việc nắm vững chuyên đề này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi mà còn là nền tảng vững chắc cho chương trình Toán THPT. Hãy cùng khám phá chi tiết chuyên đề phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 qua bài viết dưới đây!
I. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện như sau:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình
- Quy đồng mẫu số
- Đặt ẩn phụ (nếu có)
- Giải phương trình tìm nghiệm phương trình
- Đối chiếu với điều kiện rồi đưa ra kết luận.
II. Bài tập giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 1: Giải phương trình 
\(\frac{{2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ: x ≠ -2/3 và x ≠ 2
Phương trình tương đương với (2x+1)(x-2) = (x+1)(3x+2)
⇔ 2x2 - 4x + x - 2 = 3x2 + 2x + 3x + 2
⇔ x2 + 8x + 4 = 0 ⇔ x = -4 ± 2√3 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 ± 2√3
Bài 2: Giải phương trình \(1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ: x ≠ -3 và x ≠ 2
Phương trình tương đương với (2 - x)(x + 3) - 2(x + 3) = 10(2 - x) - 50
⇔ x2 - 7x - 30 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{gathered}
x = 10 \hfill \\
x = - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10
Bài 3: Giải phương trình \(\frac{{x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4x - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 1/2
Phương trình tương đương với
\(\frac{{x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{2x - 1}}\)
\(\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 2{\left( {x + 1} \right)^2}\)
⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5
Bài 4: Giải phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}} + \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x≠±2 và x≠-1
Phương trình tương đương với
(x+1)2(x-2) + (x-1)(x+1)(x+2) = (2x+1)(x-2)(x+2)
⇔ (x2 + 2x + 1)(x - 2) + (x2 - 1)(x + 2) = (2x + 1)(x2 - 4)
⇔ x3 - 2x2 + 2x2 - 4x + x - 2 + x3 + 2x2 - x - 2 = 2x3 - 8x + x2 - 4
⇔ x2 + 4x = 0 ⇔\(\left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = - 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 và x = 0
Bài 5: Giải phương trình: \(\frac{4}{{2x + 1}} + \frac{3}{{2x + 2}} = \frac{2}{{2x + 3}} + \frac{1}{{2x + 4}}\).
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ: x ∉ {-2; -3/2; -1; -1/2}
Phương trình tương đương với:
\(\frac{4}{{2x + 1}} + \frac{3}{{2x + 2}} = \frac{2}{{2x + 3}} + \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{{4x + 10}}{{4{x^2} + 8x + 3}} = \frac{{ - 4x - 10}}{{4{x^2} + 12x + 8}}\)
\(\Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {\frac{1}{{4{x^2} + 8x + 3}} + \frac{1}{{4{x^2} + 12x + 8}}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {4{x^2} + 8x + 3 + 4{x^2} + 12x + 8} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {8{x^2} + 20x + 11} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
4x + 10 = 0 \hfill \\
8{x^2} + 20x + 11 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = - \frac{5}{2} \hfill \\
x = \frac{{ - 5 \pm \sqrt 3 }}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là x = (-5 ± √3)/4 và x = -5/2.
Bài tập 7: Tìm điều kiện xác định của các phương trình:
a. \(7(x + y) + 25 = 3x - 1\)
b. \(\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{x
- 4} = \frac{1}{2}\)
c. \(\frac{3x - 2}{4 - x^{2}} + 12 =
\frac{x}{x - 2}\)
Hướng dẫn giải:
a. Điều kiện xác định: \(x\mathbb{\in
R}\)
b. Điều kiện xác định: \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2 \neq 0 \\
x - 4 \neq 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \neq - 2 \\
x \neq 4 \\
\end{matrix} \right.\ \right.\)
c. Điều kiện xác định:
\(\left\{
\begin{matrix}
x - 2 \neq 0 \\
4 - x^{2} \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \neq 2 \\
(2 - x)(2 + x) \neq 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \neq 2 \\
x \neq \pm 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x \neq \pm 2 \right.\)
Bài tập 8: Giải phương trình: \(\frac{13}{2x^{2} + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} -
\frac{6}{x^{2} - 9} = 0\)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2} + x - 21 \ne 0} \\
{2x + 7 \ne 0} \\
{{x^2} - 9 \ne 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right) \ne 0} \\
{x \ne - \frac{7}{2}} \\
{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0}
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ne - \dfrac{7}{2},x \ne 3} \\
{x \ne - \dfrac{7}{2}} \\
{x \ne \pm 3}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ne \pm 3} \\
{x \ne - \dfrac{7}{2}}
\end{array}} \right.\)
Thực hiện giải phương trình như sau:
\(PT \Leftrightarrow \frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} - \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{{13\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\(- \frac{{6\left( {2x + 7} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0\)
\(\Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 9 - 6\left( {2x + 7} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 - 12x - 42 = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 3 = 0} \\
{x + 4 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3\left( L \right)} \\
{x = - 4\left( {tm} \right)}
\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm x = -4 là nghiệm của phương trình.
Bài tập 9: Cho biểu thức: \(A = \left(
\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2x}{4 - x^{2}} \right).\left(
\frac{2}{x} - 1 \right)\)
a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để A có giá trị bằng 0,5.
d. Tính giá trị của biểu thức A tại x thỏa mãn: \(2x^{2} - x = 0\).
Hướng dẫn giải
a. Điều kiện xác định:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 \ne 0} \\
\begin{gathered}
x - 2 \ne 0 \hfill \\
4 - {x^2} \ne 0 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ne - 2} \\
\begin{gathered}
x \ne 2 \hfill \\
\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right) \ne 0 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right.} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ne - 2} \\
\begin{gathered}
x \ne 2 \hfill \\
x \ne \pm 2 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right. \Rightarrow x \ne \pm 2\)
b. Ta có:
\(A = \left( \frac{1}{x - 2} +
\frac{1}{x + 2} - \frac{2x}{4 - x^{2}} \right).\left( \frac{2}{x} - 1
\right)\)
\(A = \left[ {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\)
\(A = \left[ {\frac{{x + 2 + x - 2 + 2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\)
\(A = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}\)
\(A = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\)
c. \(A = 0,5\)
\(\begin{matrix}
\Rightarrow \frac{- 4}{x + 2} = 0,5 \\
\Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 2} = \frac{0,5(x + 2)}{x + 2} \\
\Leftrightarrow - 4 = 0,5(x + 2) \\
\Leftrightarrow - 4 = 0,5x + 1 \\
\Leftrightarrow 0,5x = - 5 \\
\Leftrightarrow x = - 10 \\
\end{matrix}\)
Vậy A = 0,5 thì x = -10
d. \(2x^{2} - x = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {2 - x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0} \\
{2 - x = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0\left( {tm} \right)} \\
{x = 2\left( L \right)}
\end{array}} \right.} \right.\)
Với x = 1 thay vào A ta được: \(A = \frac{-
4}{0 + 2} = - 2\).
Bài tập 10: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) \(\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2}
= \frac{2x - 22}{x^{2} - 4}\) b) \(\frac{x - 5}{x + 5} - \frac{2x}{x - 5}
- \frac{x(x + 10)}{25 - x^{2}}\)
c) \(\frac{3}{1 - 3x} = \frac{2}{1 + 3x} -
\frac{7 + 5x}{9x^{2} - 1}\) d) \(\frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16} +
\frac{x + 1}{x + 4} = \frac{x - 5}{x - 4}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(x^{2} - 4 = (x +
2)(x - 2)\)
Điều kiện xác định: \(x + 2
\neq 0\) và \(x - 2 \neq 0\) hay \(x \neq - 2\) và \(x \neq 2\)
b) Ta có: \(25 - x^{2} = -
\left( x^{2} - 25 \right) = - (x + 5)(x - 5)\)
Điều kiện xác định: \(x + 5
\neq 0\) và \(x - 5 \neq 0\) hay \(x \neq - 5\) và \(x \neq 5\)
c) Ta có: \(9x^{2} - 1 = -
\left\lbrack 1^{2} - (3x)^{2} \right\rbrack = - (1 + 3x)(1 -
3x)\)
Điều kiện xác định: \(1 - 3x
\neq 0\) và \(1 + 3x \neq 0\) hay \(x \neq \frac{1}{3}\) và \(x \neq \frac{- 1}{3}\)
d) Ta có: \(x^{2} - 16 = (x
+ 4)(x - 4)\)
Điều kiện xác định: \(x + 4
\neq 0\) và \(x - 4 \neq 0\) hay \(x \neq - 4\) và \(x \neq 4\).
Bài tập 11. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) \(\frac{x}{2x - 6} - \frac{1}{2x + 2} =
\frac{3x + 1}{x^{2} - 2x - 3}\) b) \(\frac{3}{4x - 2} + \frac{1}{x + 4} =
\frac{5x + 11}{2x^{2} + 7x - 4}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\frac{x}{2x - 6} - \frac{1}{2x
+ 2} = \frac{3x + 1}{x^{2} - 2x - 3}\)
\(\frac{x}{2(x - 3)} - \frac{1}{2(x + 1)}
= \frac{3x + 1}{x^{2} - 2x - 3}\)
Ta có: \(x^{2} - 2x - 3 = (x
- 3)(x + 1)\)
Điều kiện xác định: \(x - 3
\neq 0\) và \(x + 1 \neq 0\) hay \(x \neq 3\) và \(x \neq - 1\)
b) Ta có: \(\frac{3}{4x - 2} + \frac{1}{x +
4} = \frac{5x + 11}{2x^{2} + 7x - 4}\)
\(\frac{3}{2(2x - 1)} + \frac{1}{x + 4} =
\frac{5x + 11}{2x^{2} + 7x - 4}\)
Ta có: \(2x^{2} + 7x - 4 =
(2x - 1)(x + 4)\)
Điều kiện xác định: \(2x - 1
\neq 0\) và \(x + 4 \neq 0\) hay \(x \neq \frac{1}{2}\) và \(x \neq - 4\).
Bài tập 12: Cho hai biểu thức: \(A = 1 + \frac{1}{2 + x}\) và \(B = \frac{12}{x^{3} + 8}\). Tìm \(x\) sao cho \(A =
B\).
A. \(x = 0\); \(x = 1\) và \(x =
- 2\). B. \(x = 1\).
C. \(x = 0\) và \(x =
1\). D. \(x = 0\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Để \(A = B\) thì \(1 + \frac{1}{2 + x} = \frac{12}{x^{3} +
8}\) (Điều kiện xác định: \(x \neq -
2\))
Biến đổi phương trình theo các bước như sau:
\(1 + \frac{1}{x + 2} = \frac{12}{(x +
2)\left( x^{2} - 2x + 4 \right)}\)
\(\frac{x^{3} + 8}{x^{3} + 8} +
\frac{1\left( x^{2} - 2x + 4 \right)}{(x + 2)\left( x^{2} - 2x + 4
\right)} = \frac{12}{(x + 2)\left( x^{2} - 2x + 4 \right)}\)
\(x^{3} + 8 + x^{2} - 2x + 4 =
12\)
\(x^{3} + x^{2} - 2x = 0\)
\(x\left( x^{2} + x - 2 \right) =
0\)
\(x\left( x^{2} - x + 2x - 2 \right) =
0\)
\(x(x - 1)(x + 2) = 0\)
Suy \(x = 0\) hoặc \(x = 1\) hoặc \(x
= - 2\)
Ta thấy:
\(x = 0\) thỏa mãn điều kiện; \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện; \(x = - 2\) không thỏa mãn điều kiện
Khi đó: Để \(A = B\) thì \(x = 0\); \(x =
1\).
Bài tập 13: Phương trình \(\frac{1}{x + 1}
+ \frac{2x^{2} - 5}{x^{3} + 1} = \frac{4}{x^{2} - x + 1}\) có nghiệm là:
A. \(x = - 1\). B. \(x = \frac{8}{3}\). C. \(x = - 1\). D. \(x
= \frac{3}{8}\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
\(x^{3} + 1 = (x + 1)\left( x^{2} - x + 1
\right)\)
Điều kiện xác định: \(\left\{
\begin{matrix}
x + 1 \neq 0 \\
x^{2} - x + 1 \neq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 \neq 0 \\
x^{2} - x + 1 > 0;\forall x
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \neq - 1\)
Biến đổi phương trình như sau:
\(\frac{1}{x + 1} + \frac{2x^{2} -
5}{x^{3} + 1} = \frac{4}{x^{2} - x + 1}\)
\(\frac{1}{x + 1} + \frac{2x^{2} - 5}{(x +
1)\left( x^{2} - x + 1 \right)} = \frac{4}{x^{2} - x + 1}\)
\(\frac{1\left( x^{2} - x + 1 \right)}{(x
+ 1)\left( x^{2} - x + 1 \right)} + \frac{2x^{2} - 5}{(x + 1)\left(
x^{2} - x + 1 \right)} = \frac{4(x + 1)}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1
\right)}\)
\(x^{2} - x + 1 + 2x^{2} - 5 = 4(x +
1)\)
\(3x^{2} - x - 4 = 4x + 4\)
\(3x^{2} - 5x - 8 = 0\)
\(3x^{2} + 3x - 8x - 8 = 0\)
\(3x(x + 1) - 8(x + 1) = 0\)
\(3x(x + 1) - 8(x + 1) = 0\)
\((3x - 8)(x + 1) = 0\)
\(3x - 8 = 0\) (vì \(x + 1 \neq 0\))
\(x = \frac{8}{3}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x =
\frac{8}{3}\).
Bài tập 14: Tập nghiệm của phương trình \(\frac{8}{x - 8} + \frac{11}{x - 11} = \frac{9}{x -
9} + \frac{10}{x - 10}\) là
A. Phương trình vô số nghiệm. B. Phương trình vô nghiệm.
C. \(x = 0\). D. Phương trình có một nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét phương trình \(\frac{8}{x - 8} +
\frac{11}{x - 11} = \frac{9}{x - 9} + \frac{10}{x - 10}\)
Điều kiện xác định: \(x \neq
8;x \neq 10;x \neq 9;x \neq 11.\)
\(\frac{8}{x - 8} + 1 + \frac{11}{x - 11}
+ 1 = \frac{9}{x - 9} + 1 + \frac{10}{x - 10} + 1\)
\(\frac{x}{x - 8} + \frac{x}{x - 11} =
\frac{x}{x - 9} + \frac{x}{x - 10}\)
\(\frac{x}{x - 8} + \frac{x}{x - 11} -
\frac{x}{x - 9} - \frac{x}{x - 10} = 0\)
\(x\left( \frac{1}{x - 8} + \frac{1}{x -
11} - \frac{1}{x - 9} - \frac{1}{x - 10} \right) = 0\)
\(x = 0(tm)\) vì \(\frac{1}{x - 8} + \frac{1}{x - 11} - \frac{1}{x -
9} - \frac{1}{x - 10} \neq 0\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x =
0\).
-----------------------------------------------------------
Trên đây là toàn bộ nội dung chuyên đề phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán lớp 9, bao gồm lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải và các ví dụ minh họa giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và áp dụng hiệu quả. Việc luyện tập chuyên đề này một cách thường xuyên sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng sắp tới. Đừng quên ôn tập thêm các chuyên đề Toán lớp 9 khác để củng cố kiến thức toàn diện và đạt kết quả cao nhất. Chúc các em học tốt và chinh phục môn Toán lớp 9 một cách dễ dàng!
