Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 10 Toán lớp 10 Chuyên đề Toán 10

Số trung bình cộng - Số trung vị - Mốt

Chuyên đề môn Toán 10
Lớp: Lớp 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Trong chương trình Toán 10, phần thống kê và xử lý dữ liệu giúp học sinh hiểu cách phân tích và tổng hợp thông tin từ các bảng số liệu trong thực tế. Ba đại lượng quan trọng thường được sử dụng để mô tả đặc trưng của một tập dữ liệu là số trung bình cộng, số trung vị và mốt. Những khái niệm này không chỉ xuất hiện trong các bài tập của chương trình Toán 10 mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, giáo dục và nghiên cứu dữ liệu.

Việc nắm vững cách xác định số trung bình cộng – số trung vị – mốt sẽ giúp học sinh hiểu rõ đặc điểm phân bố của dữ liệu và giải nhanh các bài toán thống kê cơ bản. Trong chuyên đề môn Toán 10, bài viết này sẽ tổng hợp lý thuyết trọng tâm, phương pháp tính toán cùng các dạng bài tập Toán 10 thường gặp để hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả và củng cố kiến thức thống kê.

Bài: Số trung bình cộng - Số trung vị - Mốt

1. Số trung bình cộng

Kí hiệu: \overline x

Bảng phân bố tần suất và tần số:

Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)

x1

x2

.

xk

n1

n2

.

nk

f1

f2

.

fk
Cộng n = n1 + … + nk 100%

Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức:

\overline x = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}} \right) = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + ... + {f_k}{x_k}{\text{ }}\left( 1 \right)

Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp

\overline x = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}} \right) = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}{\text{ }}\left( 2 \right)

Trong đó: ci, fi, ni là giá trị đại diện của lớp thứ i.

Ý nghĩa của số trung bình:

Trong thực tiễn, để tìm hiểu một đối tượng thống kê ra đưa ra tiêu chí thống kê và tiến hành thu thập nhiều lần số liệu thống kê theo tiêu chí đó, tạo thành mẫu số liệu. Căn cứ vào mẫu số liệu đó, ta rút ra những kết luận có ích về đối tượng thống kê. Để kết luận rút ra phản ánh đúng đắn bản chất của đối tượng, ta cần nhận biết được hình thái và xu thế thay đổi của mẫu số liệu. Với cách nhìn nhận như thế, số trung bình cộng của mẫu số liệu có ý nghĩa sau:

Khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng, ta có thể giải quyết được vấn đề trên bằng cách lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu số liệu.

Chẳng hạn, để dự báo lượng mưa trong tháng 8 của Hà Nội người ta tiến hành đo lượng mưa của từng ngày trong tháng 8 tại Hà Nội, ta được mẫu số liệu gồm 31 số liệu. Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó được xem như lượng mưa trung bình tháng 8 của Hà Nội. Thống kê lượng mưa trung bình tháng 8 của Hà Nội trong nhiều năm liên tiếp sẽ cho ta những dự váo (ngày càng chính xác hơn) lượng mưa trung bình tháng 8 của Hà Nội những năm sắp tới.

Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau (đơn vị mm)

Lớp Giá trị đại diện Tần số

[5,45; 5,85)

[5,85; 6,25)

[6,25; 6,65)

[6,65; 7,05)

[7,05; 7,45)

[7,45; 7,85)

[7,85; 8,25)

5,65

6,05

6,45

6,85

7,25

7,65

8,05

5

9

15

19

16

8

2
N = 74

Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá này là :

\overline x \approx \frac{{5.5,65 + 9.6,05 + ... + 8.7,65 + 2.8,05}}{{74}} \approx 6,80\left( {mm} \right)

Ví dụ 2: Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.

Điểm trung bình là:

\overline x \approx \frac{{0 + 0 + 63 + ... + 85 + 89}}{{11}} \approx 61,09

Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình. Như vậy, điểm trung bình này không phản ánh đúng trình độ trung bình của nhóm.

Ví dụ 3: Cho ba nhóm học sinh:

Nhóm 1 gồm 6 học sinh có cân nặng trung bình là 45kg.

Nhóm 2 gồm 11 học sinh có cân nặng trung bình là 50kg.

Nhóm 3 gồm 8 học sinh có cân nặng trung bình là 42kg.

Hãy tính khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh trên?

Hướng dẫn giải

Tổng khối lượng của mỗi nhóm lần lượt là: \left\{ \begin{matrix} N_{1} = 6.45kg \\ N_{2} = 11.50kg \\ N_{3} = 8.42kg \\ \end{matrix} \right.

Khối lượng trung bình của cả ba nhóm là:

\overline{x} = \frac{N_{1} + N_{2} + N_{3}}{6 + 8 + 11}

\Rightarrow \overline{x} = \frac{6.45 + 11.50 + 8.42}{25} = 46,24kg

Vậy khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là \overline{x} = 46,24kg .

2. Số trung vị

Kí hiệu: Me

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số trung vị.

Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

  • Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

{x_1} < {x_2} < ...{x_n}

  • Trung vị của mẫu, kí hiệu là M_e là giá trị chính giữa ở dãy {x_1};{x_2};...;{x_n}. Cụ thể:
    • Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị.

Có nghĩa là: n = 2k + 1;k \in \mathbb{N}, thì trung vị của mẫu là: {M_e} = {x_{k + 1}}

    • Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

Có nghĩa là: n = 2k;k \in \mathbb{N}, thì trung vị mẫu là {M_e} = \frac{1}{2}\left( {{x_k} + {x_{k + 1}}} \right)

Ý nghĩa: Trung vị được dùng để đo xu thể trung tâm của mẫu số liệu.

+ Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị.

+ Khi trong mẫu suất hiện một số liệu rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ thay đổi đang kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.

+ Nếu những số liệu trong mẫu só sự chênh lệch lớn thì ta nên chọn thêm trung vị làm đại diện cho mẫu số liệu đó nhằm điều chỉnh một số hạn chế khi sử dụng số trung bình cộng. Những kết luận về đối tượng thống kê rút ra khi đó sẽ đáng tin cậy hơn.

Nhận xét:

+ Trung vị không nhất thiết là một số trong mẫu số liệu và dễ tính toán

+ Khi các số liệu trong mẫu không có sự chênh lệch lớn thì số trung bình và trung vị xấp xỉ nhau.

Ví dụ 1: Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10

Ta có Me = 7

Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5

Ta có Me = chuyên đề toán 10 = 5,25.

Ví dụ: Cho bảng số liệu như sau:

Đại diện

35

36

37

38

39

40

Tần số

7

11

x

y

8

5

Biết rằng trung vị và cỡ mẫu của mẫu số liệu lần lượt là 37,5 và 50. Tính giá trị x;y?

Hướng dẫn giải

Vì cỡ mẫu bằng 50 nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của 2 số ở chính giữa (vị trí 25 và 26).

Mà trung vị của mẫu số liệu trên là 37,5

Hay M_{e} = \frac{37 + 38}{2}

Từ đó ta có số liệu đứng thứ 25 là 37 và thứ 26 là 38.

Suy ra x = 7

Mà cỡ mẫu bằng 50 suy ra y = 12

3. Mốt

Kí hiệu: Mo

Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là Mo.

Chú ý:

Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt.

Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này có hai Mốt, kí hiệu Mo1,Mo2 .

Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một số vị trí của mẫu số liệu đó. Dựa vào mốt, ta có thể đưa ra những kết luận (có ích) về đối tượng thông kê.

Ví dụ: Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:

Giá tiền 100 150 300 350 400 500
Số quạt bán được 256 353 534 300 534 175

Mốt Mo = 300.

Ví dụ: Cho bảng số liệu số máy tính bán được trong quý I đầu năm 2022 của một cửa hàng:

Hãng

HP

Lenovo

Asus

Apple

Dell

Razer

Số máy tính bán được

55

45

42

36

60

15

Mốt của bảng số liệu trên là hãng máy tính nào?

Hướng dẫn giải

Số máy tính bán được nhiều nhất là 60 máy thuộc hãng Dell

=> Mốt của bảng số liệu trên là hãng Dell.

4. Chọn đại diện cho các số liệu thống kê

a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n ≥ 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê (về quy mô và độ lớn).

b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê (về quy mô và độ lớn).

c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):

+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10).

+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệch quá lớn.

+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác).

-------------------------

Nhìn chung, số trung bình cộng, số trung vị và mốt là những đại lượng thống kê quan trọng giúp mô tả và phân tích dữ liệu một cách trực quan và dễ hiểu. Việc nắm chắc các khái niệm, công thức và phương pháp tính không chỉ giúp học sinh giải tốt các bài tập Toán 10 mà còn tạo nền tảng cho những nội dung thống kê nâng cao trong các lớp học tiếp theo.

Hy vọng rằng thông qua chuyên đề môn Toán 10 này, học sinh sẽ hiểu rõ hơn cách xác định các đại lượng đặc trưng của mẫu số liệu, từ đó áp dụng linh hoạt vào các dạng bài tập khác nhau trong chương trình. Hãy thường xuyên luyện tập và ôn tập lại các phương pháp để nâng cao kỹ năng giải bài toán thống kê trong Toán 10 một cách chính xác và hiệu quả.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
7
65.373 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này