Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ

Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

• Bất đẳng thức Cosi
• Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 cơ bản và nâng cao
• 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương pháp đặt ẩn phụ

I. Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của phương pháp là đơn giản biểu thức đưa bất phương trình về dạng bất phương trình quen thuộc.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: \(\left( x-1 \right)\sqrt{2x-1}\le 3\left( x-1 \right)\)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: _{\(2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}\)}

Đặt _{\(t=\sqrt{2x-1},t\ge 0\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}+1}{2}\)}

BPT trở thành: _{\(\frac{{{t}^{2}}-1}{2}.t\le 3\left( \frac{{{t}^{2}}+1}{2}-1 \right) \Leftrightarrow {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-t+3\le 0\)}

_{\(\Leftrightarrow \left( t-3 \right)\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)\le 0 \Rightarrow t\in \left[ 1,3 \right]\Rightarrow 1\le \sqrt{2x-1}\le 3 \Leftrightarrow 1\le x\le 5\)}

Kết hợp với điều kiện ta có: _{\(1\le x\le 5\)}

Vậy bất phương trình có nghiệm _{\(1\le x\le 5\)}

Vậy bất phương trình có tập nghiệm _{\(x\ge \frac{1}{4}\)}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: _{\({{x}^{2}}-1\le 2x\sqrt{{{x}^{2}}+2x}\)}

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: _{\({{x}^{2}}+2x\ge 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,2]\cup [0,+\infty )\)}

Đặt _{\(t=\sqrt{{{x}^{2}}+2x},t\ge 0\)}

Xét \(y={{x}^{2}}-2xt-1\) ta coi y như một tam thức bậc 2 đối với x

\(\Delta '={{t}^{2}}+1={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\forall x\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=t+x+1 \\ x=t-x-1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t+1=0 \\ 2x-t+1=0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\sqrt{{{x}^{2}}+2x}+1\ge 1\forall x \Rightarrow 2x+1-\sqrt{{{x}^{2}}+2x}\le 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-1\ge 0 \\ {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}\ge {{x}^{2}}+2x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 0\)

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất _{\(x\ge 0\text{ }\)}

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt{1-x}+\sqrt{x}\le m\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: _{\(x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1\)}

Đặt _{\(\left\{ \begin{matrix} a=\sqrt{1-x} \\ b=\sqrt{x} \\ \end{matrix} \right.,a\ge 0,b\le 1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\)}

Bất phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{matrix} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\ a+b\le m \\ \end{matrix} \right. {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=1 \Rightarrow a+b=\sqrt{1+2ab}\ge 1\)

Ta có vế trái có GTNN là 1 khi ab = 0. Vậy để BPT có nghiệm thì \(m\ge 1\)

Vậy BPT có nghiệm khi \(m\ge 1\)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: _{\(\sqrt{2{{x}^{2}}+12x+6}-\sqrt{2x-1}>x+2\)}

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}+12x+6\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in \mathbb{R}\backslash \left( -3-\sqrt{6},-3+\sqrt{6} \right) \\ x\ge \frac{1}{2} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge \frac{1}{2}\)

Bất phương trình tương đương: \(\sqrt{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}+2\left( 2x-1 \right)}-\sqrt{2x-1}>x+2(*) \left\{ \begin{matrix} a=\sqrt{2x-1} \\ b=x+2 \\ \end{matrix},a\ge 0 \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a+b\ge 0 \\ {{\left( a-b \right)}^{2}}>0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow a\ne b \right. \Leftrightarrow a=b\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=5 \\ x=1 \\ \end{matrix} \right.\)

Với _{\(a\ne b\Rightarrow x\in \left[ 1,5 \right]\cup [\frac{1}{2},+\infty )\)}

Vậy bất phương trình có nghiệm _{\(x\in \left[ 1,5 \right]\cup [\frac{1}{2},+\infty )\)}

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

\(a. x+\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}>3\sqrt{5}\)

\(b. \sqrt{2{{x}^{2}}-10x+16}-x+3\le \sqrt{x+1}\)

\(c. \frac{1}{1-{{x}^{2}}}+1>\frac{3x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)

\(d. 2{{x}^{2}}-2x+1>\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\)

\(e. x+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}>\frac{35}{12}\)

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

\(a. {{x}^{2}}-1\ge 2x\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\)

\(b. \left( 4x-1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}+1}\le 2{{x}^{3}}+2x+1\)

Bài 4: Tìm m để bất phương trình _{\(mx-\sqrt{x-3}\le m+1\)} có nghiệm

Bài 5: Tìm m để bất phương trình _{\(\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x+4 \right)}\le {{x}^{2}}-2x+m\)} có nghiệm đúng với mọi _{\(x\in \left[ -4,6 \right]\)}.

Trên đây là Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10,...

Một số tài liệu tham khảo: