Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương

Giải bất phương trình chứa căn lớp 10

Giải bất phương trình chứa căn lớp 10

I. Phương pháp biến đổi tương đương
II. Ví dụ minh họa
III. Bài tập vận dụng

Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương pháp biến đổi tương đương

I. Phương pháp biến đổi tương đương

Dạng 1: Bất phương trình có dạng: _{$\sqrt{f(x)} < g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} g(x)>0 \\ 0\le f(x)<{{g}^{2}}(x) \\ \end{matrix} \right.$}

Dạng 2: Bất phương trình: _{$\sqrt{f(x)}>g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} g(x)<0 \\ f(x)\ge 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} g(x)\ge 0 \\ f(x)>{{g}^{2}}(x) \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$}

Chú ý: Khi giải bất phương trình ta sẽ làm theo các bước cơ bản sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x
Bước 3: Kiểm tra nghiệm cùng điều kiện ở bước 1
Kết luận

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: _{$\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\le 3\sqrt{x}$}

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: _{$\left\{ \begin{matrix} 5x+1\ge 0 \\ 4x-1\ge 0 \\ x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge \dfrac{-1}{5} \\ x\ge \dfrac{1}{4} \\ x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{4}$}

BPT tương đương: $\sqrt{5x+1}\le 3\sqrt{x}+\sqrt{4x-1}$ $\sqrt{5x+1}\le 3\sqrt{x}+\sqrt{4x-1}$

$\Leftrightarrow 5x+1\le 9x+4x-1+6\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}$ $\Leftrightarrow 5x+1\le 9x+4x-1+6\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}$

_{$\Leftrightarrow 3\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}\ge 1-4x$} luôn đúng với điều kiện đề bài

Vậy bất phương trình có tập nghiệm _{$x\ge \frac{1}{4}$}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: _{$\dfrac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3$}

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: _{$\left\{ \begin{matrix} 1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\ x\ne 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\ x\ne 0 \\ \end{matrix} \right. \right.$}

Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:

BPT $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\frac{(1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}})\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}{x\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}<3\Leftrightarrow 4x<3\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)$ $\frac{(1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}})\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}{x\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}<3\Leftrightarrow 4x<3\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{1-4{{x}^{2}}}>4x-3$ $\Leftrightarrow 3\sqrt{1-4{{x}^{2}}}>4x-3$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 4x-3<0 \\ 1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} 4x-3\ge 0 \\ 9(1-4{{x}^{2}})>{{\left( 4x-3 \right)}^{2}} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 4x-3<0 \\ 1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} 4x-3\ge 0 \\ 9(1-4{{x}^{2}})>{{\left( 4x-3 \right)}^{2}} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x <\dfrac{3}{4} \\ x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} x\ge \dfrac{3}{4} \\ 0 < x< \dfrac{6}{13} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x <\dfrac{3}{4} \\ x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} x\ge \dfrac{3}{4} \\ 0 < x< \dfrac{6}{13} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$kết hợp điều kiện $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\ x\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\ x\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$

Cách 2: Xét các trường hợp điều kiện:

TH1: Với _{$\dfrac{-1}{2}\le x<0$}

Ta có: BPT $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ _{$\sqrt{1-4{{x}^{2}}}<1-3x\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-3x>0 \\ 1-4{{x}^{2}}<{{\left( 1-3x \right)}^{2}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le x<0$}

TH2: Với $0< x\le \frac{1}{2}$ $0< x\le \frac{1}{2}$

BPT $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$_{$\sqrt{1-4{{x}^{2}}} < 1-3x \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 1-3x < 0 \\ 1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} 1-3x\ge 0 \\ 1-4{{x}^{2}} > {{\left( 1-3x \right)}^{2}} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow 0 < x\le \frac{1}{2}$}

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: _{$\sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}\le x+1$}

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-1\ge 0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}\backslash \left( -1,1 \right)$ ${{x}^{2}}-1\ge 0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}\backslash \left( -1,1 \right)$

BPT $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ _{$\left\{ \begin{matrix} x+1\ge 0 \\ 2\left( {{x}^{2}}-1 \right)<{{\left( x+1 \right)}^{2}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge -1 \\ x\in \left( 3,-1 \right) \\ \end{matrix} \right.$}kết hợp với điều kiện đề bài $\Rightarrow x\in [1,3)$ $\Rightarrow x\in [1,3)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: _{$x\in [1,3)$}