Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương
Giải bất phương trình chứa căn lớp 10
Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!
Phương pháp biến đổi tương đương
I. Cách giải bất phương trình
Dạng 1: Bất phương trình có dạng: 
\(\sqrt{f(x)} < g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
g(x)>0 \\
0\le f(x)<{{g}^{2}}(x) \\
\end{matrix} \right.\)
Dạng 2: Bất phương trình: \(\sqrt{f(x)}>g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
g(x)<0 \\
f(x)\ge 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
g(x)\ge 0 \\
f(x)>{{g}^{2}}(x) \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)
Chú ý: Khi giải bất phương trình ta sẽ làm theo các bước cơ bản sau:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
- Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x
- Bước 3: Kiểm tra nghiệm cùng điều kiện ở bước 1
- Bước 4: Kết luận
II. Bài tập ví dụ minh họa giải bất phương trình
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: \(\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\le 3\sqrt{x}\).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
5x+1\ge 0 \\
4x-1\ge 0 \\
x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \dfrac{-1}{5} \\
x\ge \dfrac{1}{4} \\
x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{4}\)
Bất phương trình tương đương: \(\sqrt{5x+1}\le 3\sqrt{x}+\sqrt{4x-1}\)
\(\Leftrightarrow 5x+1\le 9x+4x-1+6\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}\ge 1-4x\) luôn đúng với điều kiện đề bài
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(x\ge \frac{1}{4}\)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: \(\dfrac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3\).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\
x\ne 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right. \right.\)
Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:
Bất phương trình \(\Leftrightarrow\) \(\frac{(1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}})\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}{x\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}<3\)
\(\Leftrightarrow 4x<3\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{1-4{{x}^{2}}}>4x-3\)\(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
4x-3<0 \\
1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
4x-3\ge 0 \\
9(1-4{{x}^{2}})>{{\left( 4x-3 \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x <\dfrac{3}{4} \\
x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ge \dfrac{3}{4} \\
0 < x< \dfrac{6}{13} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)kết hợp điều kiện \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Cách 2: Xét các trường hợp điều kiện:
Trường hợp 1: Với \(\dfrac{-1}{2}\le x<0\)
Ta có:
Bất phương trình \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{1-4{{x}^{2}}}<1-3x\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1-3x>0 \\1-4{{x}^{2}}<{{\left( 1-3x \right)}^{2}} \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le x<0\)
Trường hợp 2: Với \(0< x\le \frac{1}{2}\)
Bất phương trình \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{1-4{{x}^{2}}} < 1-3x\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}1-3x < 0 \\1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\\end{matrix} \right. \\\left\{ \begin{matrix}1-3x\ge 0 \\1-4{{x}^{2}} > {{\left( 1-3x \right)}^{2}} \\\end{matrix} \right. \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow 0 < x\le \frac{1}{2}\)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: \(\sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}\le x+1\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \({{x}^{2}}-1\ge 0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}\backslash \left( -1,1 \right)\)
Bất phương trình \(\Leftrightarrow\) \(\left\{ \begin{matrix}
x+1\ge 0 \\
2\left( {{x}^{2}}-1 \right)<{{\left( x+1 \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\in \left( 3,-1 \right) \\
\end{matrix} \right.\) kết hợp với điều kiện đề bài \(\Rightarrow x\in [1,3)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(x\in [1,3)\).
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \(\frac{1}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x}} \leq
\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}\) (1)
Hướng dẫn giải
Với \(- 2 \leq x < \frac{1}{2}\): \(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x} < 0,\sqrt{5 -
2x} > 0\), nên (1) luôn đúng
Với \(\frac{1}{2} < x <
\frac{5}{2}\) : (1) ⇔\(\sqrt{x + 2} -
\sqrt{3 - x} \geq \sqrt{5 - 2x}\) ⇔ \(2
\leq x < \frac{5}{2}\)
Tập nghiệm của (1) là \(S = \left\lbrack -
2;\frac{1}{2} \right) \cup \left\lbrack 2;\frac{5}{2}
\right)\)
Ví dụ 5. Giải bất phương trình:
\(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} + \sqrt{x^{2} - 4x
+ 3} \geq 2.\sqrt{x^{2} - 5x + 4}\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 3x + 2 \geq 0 \\
x^{2} - 4x + 3 \geq 0 \\
x^{2} - 5x + 4 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \leq 1 \vee x \geq
4\)
Ta có
Bất phương trình \(\Leftrightarrow \sqrt{(x
- 1)(x - 2)} + \sqrt{(x - 1)(x - 3)} \geq 2\sqrt{(x - 1)(x -
4)}\) (*)
Nếu x = 1 thì hiển nhiên đúng.
Suy ra x=1 là tập nghiệm của bất phương trình
Nếu x < 1 thì bất phương trình (*) trở thành : \(\sqrt{2 - x} + \sqrt{3 - x} \geq 2\sqrt{4 -
x}\)
Nhận xét:\(\ \ \left\{ \begin{matrix}
\sqrt{2 - x} > \sqrt{4 - x} \\
\sqrt{3 - x} > \sqrt{4 - x} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \sqrt{2 - x} + \sqrt{3 - x} <
2\sqrt{4 - x}\)
Suy ra bất phương trình vô nghiệm
Nếu x ≥ 4 thì (*) trở thành: \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} \geq 2\sqrt{x -
4}\)
Nhận xét:\(\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x - 2} > \sqrt{x - 4} \\
\sqrt{x - 3} > \sqrt{x - 4} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} >
2\sqrt{x - 4}\)
Suy ra bất phương trình luôn đúng \(\forall
x \geq 4\).
Tóm lại: Bất phương trình có nghiệm là : \(x = 1 \vee x \geq 4\).
Ví dụ: Giải bất phương trình: \(\sqrt{2x +
10} \geq \sqrt{5x + 10} - \sqrt{x - 2}\)(1)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≥ 2
\((1) \Leftrightarrow \sqrt{2x + 10} +
\sqrt{x - 2} \geq \sqrt{5x + 10}\ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{2x^{2} +
6x - 20} \geq x + 1(2)\)
Khi x ≥ 2 => x+1 > 0 bình phương 2 vế phương trình (2)
(2) ⇔ 2x2 + 6x - 20 ≥ x2 + 2x + 1
⇔ x2 + 4x - 11 ≥ 0 \(\Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 7\rbrack \cup \lbrack 3; +\infty)\)
Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 3.
Ví dụ. Giải bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 2} + 3\sqrt x \leqslant \sqrt {5{x^2} - 4x - 6}\) ( x∈R).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} - x - 2 \geq 0 \\
x \geq 0 \\
5x^{2} - 4x - 6 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq 2\)
Bình phương hai vế ta được
\(6\sqrt{x(x +
1)(x - 2)} \leq 4x^{2} - 12x - 4\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{x(x + 1)(x - 2)}
\leq 2x(x - 2) - 2(x + 1)\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{\frac{x(x - 2)}{x + 1}}
\leq 2\frac{x(x - 2)}{x + 1} - 2\)
Đặt \(t = \sqrt{\frac{x(x - 2)}{x + 1}}
\geq 0\) ta được bất phương trình:
\(2t^{2} - 3t - 2
\geq 0\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t \leq \frac{- 1}{2} \\
t \geq 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t \geq 2\)( do \(t \geq 0\))
Với \(t \geq 2 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x(x - 2)}{x +1}} \geq 2\)
\(\Leftrightarrow x^{2} - 6x - 4 \geq 0\)\(\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x \leq 3 - \sqrt{13} \\x \geq 3 + \sqrt{13} \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow x \geq 3 + \sqrt{13}\) (do \(x \geq 2\))
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \geq 3 +
\sqrt{13}\)
III. Bài tập tự rèn luyện
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}>3\) b) \(\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\le x-2\)
c) \(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}<\sqrt{x-3}\) d) \(\sqrt{{{x}^{2}}-1} < x-5\)
e) \(\sqrt{2x+4}>\sqrt{x-3}+\sqrt{x+6}\)
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) \(\dfrac{2x}{\sqrt{x+1}}\ge 3x-2\) b) \(\frac{4{{x}^{2}}}{{{\left( 1-\sqrt{1+2x} \right)}^{2}}}<2x+3\)
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) \(\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\le \sqrt{{{x}^{2}}+4x-5}\)
b) \(\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+6}\ge x+5\)
c) \(\sqrt{x+\sqrt{2x+1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}>\frac{3}{2}\)
Bài 4: Giải biện luận bất phương trình sau:
a) \(\left( m+1 \right)\sqrt{2x+1}<1\) b) \(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}> m\) c) \(\sqrt{x-m} < x +3\)
---------------------------------------------------------
FAQ
1. Phép biến đổi tương đương là gì khi giải bất phương trình chứa căn?
Phép biến đổi tương đương là các phép biến đổi giữ nguyên tập nghiệm của bất phương trình. Khi giải bất phương trình chứa căn, học sinh cần thực hiện đúng các điều kiện xác định và áp dụng các phép biến đổi hợp lệ để đảm bảo kết quả chính xác.
2. Khi nào nên sử dụng phép biến đổi tương đương để giải bất phương trình chứa căn?
Phương pháp này được áp dụng khi bất phương trình có thể biến đổi về dạng đơn giản hơn thông qua khử căn, chuyển vế hoặc bình phương hai vế sau khi đã xét đầy đủ điều kiện. Đây là một trong những cách giải thường gặp trong chương trình Toán 10.
3. Các bước giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương gồm những gì?
Thông thường, học sinh cần xác định điều kiện của biểu thức chứa căn, thực hiện các phép biến đổi tương đương phù hợp, giải bất phương trình thu được và cuối cùng đối chiếu với điều kiện ban đầu để kết luận tập nghiệm.
4. Những lỗi thường gặp khi giải bất phương trình chứa căn là gì?
Các lỗi phổ biến gồm quên đặt điều kiện xác định, bình phương hai vế khi chưa đủ điều kiện, biến đổi không tương đương, bỏ sót nghiệm hoặc giữ lại nghiệm không thỏa mãn sau khi kiểm tra.
-----------------------------------------
Qua bài viết "Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương", hy vọng các bạn đã nắm rõ cách nhận diện, phân tích và áp dụng đúng các phép biến đổi tương đương để giải các bất phương trình chứa căn. Đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán THPT và đề thi tốt nghiệp THPT, vì vậy việc luyện tập thường xuyên là vô cùng cần thiết. Đừng quên ôn lại các điều kiện xác định và kiểm tra nghiệm sau khi giải. Hãy tiếp tục theo dõi các bài học tiếp theo để nâng cao kỹ năng giải bất phương trình một cách toàn diện!
