Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương
Giải bất phương trình chứa căn lớp 10
Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Phương pháp biến đổi tương đương
I. Cách giải bất phương trình
Dạng 1: Bất phương trình có dạng: 
\(\sqrt{f(x)} < g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
g(x)>0 \\
0\le f(x)<{{g}^{2}}(x) \\
\end{matrix} \right.\)
Dạng 2: Bất phương trình: \(\sqrt{f(x)}>g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
g(x)<0 \\
f(x)\ge 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
g(x)\ge 0 \\
f(x)>{{g}^{2}}(x) \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)
Chú ý: Khi giải bất phương trình ta sẽ làm theo các bước cơ bản sau:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
- Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x
- Bước 3: Kiểm tra nghiệm cùng điều kiện ở bước 1
- Kết luận
II. Bài tập ví dụ minh họa giải bất phương trình
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: \(\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\le 3\sqrt{x}\)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
5x+1\ge 0 \\
4x-1\ge 0 \\
x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \dfrac{-1}{5} \\
x\ge \dfrac{1}{4} \\
x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{4}\)
BPT tương đương: \(\sqrt{5x+1}\le 3\sqrt{x}+\sqrt{4x-1}\)
\(\Leftrightarrow 5x+1\le 9x+4x-1+6\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{x\left( 4x-1 \right)}\ge 1-4x\) luôn đúng với điều kiện đề bài
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(x\ge \frac{1}{4}\)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: \(\dfrac{1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3\)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\
x\ne 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right. \right.\)
Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:
BPT \(\Leftrightarrow\) \(\frac{(1-\sqrt{1-4{{x}^{2}}})\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}{x\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)}<3\Leftrightarrow 4x<3\left( 1+\sqrt{1-4{{x}^{2}}} \right)\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{1-4{{x}^{2}}}>4x-3\)\(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
4x-3<0 \\
1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
4x-3\ge 0 \\
9(1-4{{x}^{2}})>{{\left( 4x-3 \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x <\dfrac{3}{4} \\
x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ge \dfrac{3}{4} \\
0 < x< \dfrac{6}{13} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\)kết hợp điều kiện \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\in \left[ \dfrac{-1}{2},\dfrac{1}{2} \right] \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Cách 2: Xét các trường hợp điều kiện:
- TH1: Với \(\dfrac{-1}{2}\le x<0\)
Ta có: BPT \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{1-4{{x}^{2}}}<1-3x\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1-3x>0 \\
1-4{{x}^{2}}<{{\left( 1-3x \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le x<0\)
- TH2: Với \(0< x\le \frac{1}{2}\)
BPT \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{1-4{{x}^{2}}} < 1-3x
\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
1-3x < 0 \\
1-4{{x}^{2}}\ge 0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
1-3x\ge 0 \\
1-4{{x}^{2}} > {{\left( 1-3x \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow 0 < x\le \frac{1}{2}\)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: \(\sqrt{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)}\le x+1\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \({{x}^{2}}-1\ge 0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}\backslash \left( -1,1 \right)\)
BPT \(\Leftrightarrow\) \(\left\{ \begin{matrix}
x+1\ge 0 \\
2\left( {{x}^{2}}-1 \right)<{{\left( x+1 \right)}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\in \left( 3,-1 \right) \\
\end{matrix} \right.\)kết hợp với điều kiện đề bài \(\Rightarrow x\in [1,3)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(x\in [1,3)\).
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \(\frac{1}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x}} \leq
\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}\) (1)
Hướng dẫn giải
Với \(- 2 \leq x < \frac{1}{2}\): \(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x} < 0,\sqrt{5 -
2x} > 0\), nên (1) luôn đúng
Với \(\frac{1}{2} < x <
\frac{5}{2}\) : (1) ⇔\(\sqrt{x + 2} -
\sqrt{3 - x} \geq \sqrt{5 - 2x}\) ⇔ \(2
\leq x < \frac{5}{2}\)
Tập nghiệm của (1) là \(S = \left\lbrack -
2;\frac{1}{2} \right) \cup \left\lbrack 2;\frac{5}{2}
\right)\)
Ví dụ 5. Giải bất phương trình
\(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} + \sqrt{x^{2} - 4x
+ 3} \geq 2.\sqrt{x^{2} - 5x + 4}\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 3x + 2 \geq 0 \\
x^{2} - 4x + 3 \geq 0 \\
x^{2} - 5x + 4 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \leq 1 \vee x \geq
4\)
Ta có
Bất phương trình \(\Leftrightarrow \sqrt{(x
- 1)(x - 2)} + \sqrt{(x - 1)(x - 3)} \geq 2\sqrt{(x - 1)(x -
4)}\) (*)
Nếu x = 1 thì hiển nhiên đúng.
Suy ra x=1 là tập nghiệm của bất phương trình
Nếu x < 1 thì bất phương trình (*) trở thành : \(\sqrt{2 - x} + \sqrt{3 - x} \geq 2\sqrt{4 -
x}\)
Nhận xét:\(\ \ \left\{ \begin{matrix}
\sqrt{2 - x} > \sqrt{4 - x} \\
\sqrt{3 - x} > \sqrt{4 - x} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \sqrt{2 - x} + \sqrt{3 - x} <
2\sqrt{4 - x}\)
Suy ra bất phương trình vô nghiệm
Nếu \(x \geq 4\) thì (*) trở thành: \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} \geq 2\sqrt{x -
4}\)
Nhận xét:\(\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x - 2} > \sqrt{x - 4} \\
\sqrt{x - 3} > \sqrt{x - 4} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} >
2\sqrt{x - 4}\)
Suy ra bất phương trình luôn đúng \(\forall
x \geq 4\).
Tóm lại: Bất phương trình có nghiệm là : \(x = 1 \vee x \geq 4\).
Ví dụ: Giải bất phương trình: \(\sqrt{2x +
10} \geq \sqrt{5x + 10} - \sqrt{x - 2}\)(1)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x \geq 2\)
\((1) \Leftrightarrow \sqrt{2x + 10} +
\sqrt{x - 2} \geq \sqrt{5x + 10}\ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{2x^{2} +
6x - 20} \geq x + 1(2)\)
Khi \(x \geq 2\) => x+1>0 bình phương 2 vế phương trình (2)
\((2) \Leftrightarrow 2x^{2} + 6x - 20
\geq x^{2} + 2x + 1\ \ \\)
\(\Leftrightarrow x^{2} + 4x - 11 \geq
0\ \Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 7\rbrack \cup \lbrack 3; +
\infty)\)
Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \geq 3\)
Ví dụ. Giải bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 2} + 3\sqrt x \leqslant \sqrt {5{x^2} - 4x - 6}\) ( x∈R).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} - x - 2 \geq 0 \\
x \geq 0 \\
5x^{2} - 4x - 6 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq 2\)
Bình phương hai vế ta được \(6\sqrt{x(x +
1)(x - 2)} \leq 4x^{2} - 12x - 4\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{x(x + 1)(x - 2)}
\leq 2x(x - 2) - 2(x + 1)\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{\frac{x(x - 2)}{x + 1}}
\leq 2\frac{x(x - 2)}{x + 1} - 2\)
Đặt \(t = \sqrt{\frac{x(x - 2)}{x + 1}}
\geq 0\) ta được bất phương trình:
\(2t^{2} - 3t - 2
\geq 0\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t \leq \frac{- 1}{2} \\
t \geq 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t \geq 2\)( do \(t \geq 0\))
Với \(t \geq 2 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x(x - 2)}{x +1}} \geq 2\)
\(\Leftrightarrow x^{2} - 6x - 4 \geq 0\)\(\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x \leq 3 - \sqrt{13} \\x \geq 3 + \sqrt{13} \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow x \geq 3 + \sqrt{13}\) (do \(x \geq 2\))
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \geq 3 +
\sqrt{13}\)
III. Bài tập tự rèn luyện
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
\(a. \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}>3\)
\(b. \sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\le x-2\)
\(c. \sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}<\sqrt{x-3}\)
\(d. \sqrt{{{x}^{2}}-1} < x-5\)
\(e. \sqrt{2x+4}>\sqrt{x-3}+\sqrt{x+6}\)
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
\(a. \dfrac{2x}{\sqrt{x+1}}\ge 3x-2\)
\(b. \frac{4{{x}^{2}}}{{{\left( 1-\sqrt{1+2x} \right)}^{2}}}<2x+3\)
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
\(a. \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}\le \sqrt{{{x}^{2}}+4x-5}\)
\(b. \sqrt{2{{x}^{2}}-3x+6}\ge x+5\)
\(c. \sqrt{x+\sqrt{2x+1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}>\frac{3}{2}\)
Bài 4: Giải biện luận bất phương trình sau:
\(a. \left( m+1 \right)\sqrt{2x+1}<1\)
\(b. \sqrt{x}-\sqrt{x-1}> m\)
\(c. \sqrt{x-m} < x +3\)
---------------------------------------------------------
Qua bài viết "Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương", hy vọng các bạn đã nắm rõ cách nhận diện, phân tích và áp dụng đúng các phép biến đổi tương đương để giải các bất phương trình chứa căn. Đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán THPT và đề thi tốt nghiệp THPT, vì vậy việc luyện tập thường xuyên là vô cùng cần thiết. Đừng quên ôn lại các điều kiện xác định và kiểm tra nghiệm sau khi giải. Hãy tiếp tục theo dõi các bài học tiếp theo để nâng cao kỹ năng giải bất phương trình một cách toàn diện!
