Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Bất đẳng thức Cosi

Thư viện Đề thi - Trc nghim - Tài liu hc tp min phí
Trang ch: https://vndoc.com/ | Email h tr: hotro@vndoc.com | Hotline: 024
2242 6188
Đề số: 020
BẤT ĐẲNG THỨC COSI
Bài 1: Chng minh rng
222222222
8))()(( cbaaccbba +++
----------------------------------------------------------------------
Bài 2: Chng minh rng
28
)(64)( baabba ++
0, ba
----------------------------------------------------------------------
Bài 3: Chng minh rng
ababbaba 9))(1( ++++
0, ba
----------------------------------------------------------------------
Bài 4: Chng minh rng
233
963 abba +
0, ba
----------------------------------------------------------------------
Bài 5: Chng minh rng
ababba 4)1)(( ++
0, ba
----------------------------------------------------------------------
Bài 6: Chng minh rng
baba +
+
411
----------------------------------------------------------------------
Bài 7: Chng minh rng
cabcabcba ++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 8: Chng minh rng
)(
222222
cbaabcaccbba ++++
----------------------------------------------------------------------
Bài 9: Chng minh rng
abccbcaba 16))()(1)(1( ++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 10: Chng minh rng
+++++++
cba
accbbacba
111
2
1
222
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 11: Chng minh rng
abc
a
c
c
b
b
a
3
444
++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 12: Chng minh rng
2
91
2
1
2
1
2
++
++
+
ab
c
c
ca
b
b
bc
a
a
0,, cba
Thư viện Đề thi - Trc nghim - Tài liu hc tp min phí
Trang ch: https://vndoc.com/ | Email h tr: hotro@vndoc.com | Hotline: 024
2242 6188
----------------------------------------------------------------------
Bài 13: Chng minh rng
accbbacba
222333
++++
0,, cba
ng dn:
babaa
2333
3++
. Tương tự ri cng tng vế
----------------------------------------------------------------------
Bài 14: Chng minh rng
( )
222333333
cabcababcaccbba ++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 15: Chng minh rng
ab
c
ac
b
bc
a
a
c
c
b
b
a
222
3
3
3
3
3
3
++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 16: Chng minh rng
333
2
5
2
5
2
5
cba
a
c
c
b
b
a
++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 17: Chng minh rng
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++++
2
4
2
4
2
4
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 18: Chng minh rng
222
2
5
2
5
2
5
cba
ab
c
ca
b
bc
a
++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 19: Chng minh rng
2
222444
cabcab
ac
c
cb
b
ba
a ++
+
+
+
+
+
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 20: Chng minh rng
accbba
ba
c
ac
b
cb
a
222
2
6
2
6
2
6
++++
0,, cba
----------------------------------------------------------------------
Bài 21: Cho hai s a, b thòa mãn :
1; 4ab
. Tìm giá tr nh nht ca tng
11
A a b
ab
= + + +
----------------------------------------------------------------------
Bài 22: Chng minh bất đẳng thc:
22
1a b ab a b+ + + +
Thư viện Đề thi - Trc nghim - Tài liu hc tp min phí
Trang ch: https://vndoc.com/ | Email h tr: hotro@vndoc.com | Hotline: 024
2242 6188
----------------------------------------------------------------------
Bài 23: Cho ba s thc a,b,c thỏa mãn điều kin:
3 3 3
1 1 1
1
1 8 1 8 1 8abc
+ +
+ + +
3/8 Xem thêm

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Bất đẳng thức Cosi để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết tổng hợp nội dung tài liệu chắc chắn sẽ là nguồn thông tin hữu ích để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Bất đẳng thức Cosi là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học cơ sở, trung học phổ thông. hãy cùng tìm hiểu về khái niệm này nhé!

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?

- Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM - GM. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).

Bất đẳng thức Cosi: Cho hai số không âm a và b, ta luôn có

\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab} ,(a,b\geq 0)a+b2ab,(a,b0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Mở rộng: 

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}a+b+c3abc3

Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b. Với n số {a_i},i = \overline {1,n}ai,i=1,n không âm, ta luôn có:

\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant n\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}i=1naini=1nain

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {a_1} = {a_2} = ... = {a_n}a1=a2=...=an

c. Với n số {a_i},i = \overline {1,n}ai,i=1,n dương, ta luôn có

\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}1ni=1naii=1nain

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {a_1} = {a_2} = ... = {a_n}a1=a2=...=an

2. Các dạng bất đẳng thức Cosi

- Bất đẳng thức được chia làm 2 loại: Bất đẳng thức dạng cụ thể và Bất đẳng thức dạng tổng quát

a. Bất đẳng thức dạng cụ thể

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,... n ở đây là những con số nhất định.

Ví dụ: Với n = 3, \forall x,y,z\geq 0x,y,z0

Khi đó: \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}x+y+z3xyz3       

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

b. Bất đẳng thức tổng quát 

- Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện à n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

Với x_1,x_2,....,x_nx1,x2,....,xn không âm, ta có:

Dạng 1: \frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}x1+x2+....+xnnx1.x2....xnn

Dạng 2: x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}x1+x2+...+xnnx1.x2....xnn

Dạng 3: \frac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^n}{n}\ge x_1.x_2....x_n(x1+x2+...+xn)nnx1.x2....xn

Dấu bằng xảy ra khi x_1=x_2=...=x_nx1=x2=...=xn

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bất đẳng thức Cauchy thường được sử dụng trong các dạng bài toán:

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

ab(a + b - 2c) + bc( b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) ≥ 0

Hướng dẫn giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

\begin{matrix}
  \dfrac{{a + b - 2c}}{c} + \dfrac{{b + c - 2a}}{a} + \dfrac{{c + a - 2b}}{b} \geqslant 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} - 2 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} - 2 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} - 2 \geqslant 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} \geqslant 6 \hfill \\ 
\end{matrix}a+b2cc+b+c2aa+c+a2bb0ac+bc2+ba+ca2+cb+ab20ac+bc+ba+ca+cb+ab6

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy của VT ta được:

\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}6\sqrt[6]{{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}} = 6\left( {dpcm} \right)ac+bc+ba+ca+cb+ab6ac.bc.ba.ca.cb.ab6=6(dpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = cac=bc=ba=ca=cb=aba=b=c

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = {x^3} + \frac{3}{{{x^2}}},x \in \left( {0; + \infty } \right)y=x3+3x2,x(0;+)

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số ta có:

y =\frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}y=12x3+12x3+1x2+1x2+1x2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

y\geqslant 5\sqrt[5]{{\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}y512x3.12x3.1x2.1x2.1x25=545

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là: {y_{Min}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}yMin=545

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

\frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}12x3=12x3=1x2=1x2=1x2x5=2x=25

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(1 - x)3 với x ∈ [0;1]

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số: y = x{\left( {1{\text{ }} - {\text{ }}x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.{\left( {1 - x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)y=x(1  x)3=13.3x.(1x)3=13.3x.(1x)(1x)(1x)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm là 3x, 3 và 1 - x ta có:

\begin{matrix}  y = \dfrac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right) \hfill \\   \Rightarrow y \leqslant \dfrac{1}{3}{\left[ {\dfrac{{3x + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{4}} \right]^4} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} = \dfrac{{{3^3}}}{{{4^4}}} \hfill \\ \end{matrix}y=13.3x.(1x)(1x)(1x)y13[3x+(1x)+(1x)+(1x)4]4=13(34)4=3344

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = \frac{1}{4}x=14

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 +a2) ≥ 8a2b2c2 ∀a, b, c

Bài 2: Chứng minh rằng {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^6} \geqslant 64ab{\left( {a + b} \right)^2};\forall a,b \geqslant 0(a+b)664ab(a+b)2;a,b0

Bài 3: Chứng minh rằng \left( {1 + a + b} \right)\left( {a + b + ab} \right) \geqslant 9ab;a,b \geqslant 0(1+a+b)(a+b+ab)9ab;a,b0

Bài 4: Chứng minh rằng 3{a^3} + 6{b^3} \geqslant 9a{b^2},\forall a,b \geqslant 03a3+6b39ab2,a,b0

Bài 5: Chứng minh rằng \left( {a + b} \right)\left( {a + ab} \right) \geqslant 4ab,\forall a,b \geqslant 0(a+b)(a+ab)4ab,a,b0

----------------------------------------------------------------

Chia sẻ, đánh giá bài viết
70
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Toán lớp 10

    Xem thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
    Mã QR Code
    Đóng