Bất đẳng thức Cosi

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Bất đẳng thức Cosi để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết tổng hợp nội dung tài liệu chắc chắn sẽ là nguồn thông tin hữu ích để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

• Bài tập bất đẳng thức lớp 10 có đáp án
• Bài tập trắc nghiệm: Bất đẳng thức
• Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
• Bài tập công thức lượng giác lớp 10
• 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Bất đẳng thức Cosi là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học cơ sở, trung học phổ thông. hãy cùng tìm hiểu về khái niệm này nhé!

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?

- Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM - GM. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).

Mở rộng: 

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

\(a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b. Với n số \({a_i},i = \overline {1,n}\) không âm, ta luôn có:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant n\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\)

c. Với n số \({a_i},i = \overline {1,n}\) dương, ta luôn có

\(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\)

2. Các dạng bất đẳng thức Cosi

- Bất đẳng thức được chia làm 2 loại: Bất đẳng thức dạng cụ thể và Bất đẳng thức dạng tổng quát

a. Bất đẳng thức dạng cụ thể

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,... n ở đây là những con số nhất định.

Ví dụ: Với n = 3, _{\(\forall x,y,z\geq 0\)}

Khi đó: _{\(\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}\)}       

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

b. Bất đẳng thức tổng quát 

- Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện à n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

Với \(x_1,x_2,....,x_n\) không âm, ta có:

Dạng 1: _{\(\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}\)}

Dạng 2: _{\(x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}\)}

Dạng 3: \(\frac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^n}{n}\ge x_1.x_2....x_n\)

Dấu bằng xảy ra khi _{\(x_1=x_2=...=x_n\)}

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bất đẳng thức Cauchy thường được sử dụng trong các dạng bài toán:

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

ab(a + b - 2c) + bc( b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) ≥ 0

Hướng dẫn giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

\(\begin{matrix} \dfrac{{a + b - 2c}}{c} + \dfrac{{b + c - 2a}}{a} + \dfrac{{c + a - 2b}}{b} \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} - 2 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} - 2 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} - 2 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} \geqslant 6 \hfill \\ \end{matrix}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy của VT ta được:

\(\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}6\sqrt[6]{{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}} = 6\left( {dpcm} \right)\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c\)

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

\(y = {x^3} + \frac{3}{{{x^2}}},x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số ta có:

\(y =\frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

\(y\geqslant 5\sqrt[5]{{\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}\)

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \({y_{Min}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

\(\frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}\)

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(1 - x)³ với x ∈ [0;1]

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số: \(y = x{\left( {1{\text{ }} - {\text{ }}x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.{\left( {1 - x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm là 3x, 3 và 1 - x ta có:

\(\begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right) \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{1}{3}{\left[ {\dfrac{{3x + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{4}} \right]^4} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} = \dfrac{{{3^3}}}{{{4^4}}} \hfill \\ \end{matrix}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{4}\)

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng (a² + b²)(b² + c²)(c² +a²) ≥ 8a²b²c² ∀a, b, c

Bài 2: Chứng minh rằng \({\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^6} \geqslant 64ab{\left( {a + b} \right)^2};\forall a,b \geqslant 0\)

Bài 3: Chứng minh rằng \(\left( {1 + a + b} \right)\left( {a + b + ab} \right) \geqslant 9ab;a,b \geqslant 0\)

Bài 4: Chứng minh rằng \(3{a^3} + 6{b^3} \geqslant 9a{b^2},\forall a,b \geqslant 0\)

Bài 5: Chứng minh rằng \(\left( {a + b} \right)\left( {a + ab} \right) \geqslant 4ab,\forall a,b \geqslant 0\)

----------------------------------------------------------------