Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức lớp 10

70 50.785

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: h[email protected]om | Hotline: 024

2242 6188

Đề số: 020

BẤT ĐẲNG THỨC COSI

Bài 1: Chứng minh rằng

222222222

8))()(( cbaaccbba +++

cba ,,

----------------------------------------------------------------------

Bài 2: Chứng minh rằng

)(64)( baabba ++

0,  ba

----------------------------------------------------------------------

Bài 3: Chứng minh rằng

ababbaba 9))(1( ++++

0,  ba

----------------------------------------------------------------------

Bài 4: Chứng minh rằng

233

963 abba +

0,  ba

----------------------------------------------------------------------

Bài 5: Chứng minh rằng

ababba 4)1)(( ++

0,  ba

----------------------------------------------------------------------

Bài 6: Chứng minh rằng

baba +

+

411

----------------------------------------------------------------------

Bài 7: Chứng minh rằng

cabcabcba ++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 8: Chứng minh rằng

)(

222222

cbaabcaccbba ++++

cba ,,

----------------------------------------------------------------------

Bài 9: Chứng minh rằng

abccbcaba 16))()(1)(1( ++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 10: Chứng minh rằng













+++++++

cba

accbbacba

111

222

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 11: Chứng minh rằng

abc

444

++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 12: Chứng minh rằng







































0,,  cba

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: h[email protected]om | Hotline: 024

2242 6188

----------------------------------------------------------------------

Bài 13: Chứng minh rằng

accbbacba

222333

++++

0,,  cba

Hướng dẫn:

babaa

2333

3++

. Tương tự rồi cộng từng vế

----------------------------------------------------------------------

Bài 14: Chứng minh rằng

( )

222333333

cabcababcaccbba ++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 15: Chứng minh rằng

222

++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 16: Chứng minh rằng

333

cba

++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 17: Chứng minh rằng

cba

++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 18: Chứng minh rằng

222

cba

++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 19: Chứng minh rằng

222444

cabcab

a ++



0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 20: Chứng minh rằng

accbba

222

++++

0,,  cba

----------------------------------------------------------------------

Bài 21: Cho hai số a, b thòa mãn :

1; 4ab

. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

A a b

= + + +

----------------------------------------------------------------------

Bài 22: Chứng minh bất đẳng thức:

1a b ab a b+ +  + +

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: h[email protected]om | Hotline: 024

2242 6188

----------------------------------------------------------------------

Bài 23: Cho ba sổ thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

1 1 1

1 8 1 8 1 8abc

+ + 

+ + +

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Bất đẳng thức Cosi để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết tổng hợp nội dung tài liệu chắc chắn sẽ là nguồn thông tin hữu ích để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bất đẳng thức Cosi là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học cơ sở, trung học phổ thông. hãy cùng tìm hiểu về khái niệm này nhé!

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?

- Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM - GM. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).

Bất đẳng thức Cosi: Cho hai số không âm a và b, ta luôn có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Mở rộng:

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

$a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}$

Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b. Với n số ${a_i},i = \overline {1,n}$ không âm, ta luôn có:

$\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant n\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$

c. Với n số ${a_i},i = \overline {1,n}$ dương, ta luôn có

$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$

2. Các dạng bất đẳng thức Cosi

- Bất đẳng thức được chia làm 2 loại: Bất đẳng thức dạng cụ thể và Bất đẳng thức dạng tổng quát

a. Bất đẳng thức dạng cụ thể

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,... n ở đây là những con số nhất định.

Ví dụ: Với n = 3,

Khi đó:

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

b. Bất đẳng thức tổng quát

- Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện à n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

Với $x_1,x_2,....,x_n$ không âm, ta có:

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3: $\frac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^n}{n}\ge x_1.x_2....x_n$

Dấu bằng xảy ra khi

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bất đẳng thức Cauchy thường được sử dụng trong các dạng bài toán:

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

ab(a + b - 2c) + bc( b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) ≥ 0

Hướng dẫn giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\begin{matrix} \dfrac{{a + b - 2c}}{c} + \dfrac{{b + c - 2a}}{a} + \dfrac{{c + a - 2b}}{b} \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} - 2 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} - 2 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} - 2 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} \geqslant 6 \hfill \\ \end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy của VT ta được:

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}6\sqrt[6]{{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}} = 6\left( {dpcm} \right)$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$y = {x^3} + \frac{3}{{{x^2}}},x \in \left( {0; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số ta có:

$y =\frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

$y\geqslant 5\sqrt[5]{{\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}$

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là: ${y_{Min}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}$

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(1 - x)³ với x ∈ [0;1]

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số: $y = x{\left( {1{\text{ }} - {\text{ }}x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.{\left( {1 - x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm là 3x, 3 và 1 - x ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right) \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{1}{3}{\left[ {\dfrac{{3x + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{4}} \right]^4} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} = \dfrac{{{3^3}}}{{{4^4}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{1}{4}$

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng (a² + b²)(b² + c²)(c² +a²) ≥ 8a²b²c² ∀a, b, c

Bài 2: Chứng minh rằng ${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^6} \geqslant 64ab{\left( {a + b} \right)^2};\forall a,b \geqslant 0$

Bài 3: Chứng minh rằng $\left( {1 + a + b} \right)\left( {a + b + ab} \right) \geqslant 9ab;a,b \geqslant 0$

Bài 4: Chứng minh rằng $3{a^3} + 6{b^3} \geqslant 9a{b^2},\forall a,b \geqslant 0$

Bài 5: Chứng minh rằng $\left( {a + b} \right)\left( {a + ab} \right) \geqslant 4ab,\forall a,b \geqslant 0$

----------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Bất đẳng thức Cosi. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho ta thấy được khái niệm bất đẳng thức Cosi, công thức về bất đẳng thức Cosi... Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 10 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập các môn tại các mục sau giải bài tập Toán lớp 10, giải bài tập Toán lớp 12, Thi thpt quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Văn, đề thi học kì 2 lớp 12, Thi thpt Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Một số tài liệu tham khảo: