Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Bài tập Toán lớp 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác
Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Trong chương trình Toán 10, chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác là nền tảng quan trọng của hình học, giúp học sinh nắm vững định lý cosin, định lý sin, công thức diện tích và mối quan hệ giữa các cạnh – góc trong tam giác. Đây cũng là phần kiến thức xuất hiện nhiều trong đề kiểm tra và đề thi học kỳ lớp 10.

Bài viết này tổng hợp 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn giải chi tiết, được phân loại từ cơ bản đến nâng cao, bám sát chương trình lớp 10 hiện hành. Mỗi bài đều có đáp án rõ ràng, giúp học sinh dễ tự học, tự kiểm tra và củng cố kiến thức hiệu quả.

Nếu bạn đang tìm bài tập Toán lớp 10 có đáp án, đặc biệt là chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác, thì đây chính là tài liệu không thể bỏ qua.

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác

a. Định lí cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có hệ thức sau:

$a^2=b^2+c^2-2.b.c.cos\hat{A}$

$b^2=a^2+c^2-2.a.c.cos\hat{B}$

$c^2=a^2+b^2-2a.b.cos\hat{C}$

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

$m^2_b=\dfrac{a^2+c^2}{2}-\dfrac{b^2}{4}$

$m^2_c=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}$

c. Định lí sin

Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

d. Công thức diện tích tam giác

Giả sử là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

$\begin{align} & S=\frac{1}{2}.{{h}_{a}}.BC=\frac{1}{2}{{h}_{b}}.AC=\frac{1}{2}{{h}_{c}}.AB \\ & S=\frac{1}{2}a.b.\sin \widehat{C}=\frac{1}{2}a.c.\sin \widehat{B}=\frac{1}{2}c.b.\sin \widehat{A} \\ & S=\frac{a.b.c}{4.R} \\ & S=p.r \\ & S=\sqrt{p.\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)} \\ \end{align}$

Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13.

a. Tính số đo các góc của ΔABC.

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC.

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$\begin{align} & A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.\cos \widehat{ACB} \\ & \Leftrightarrow {{12}^{2}}={{13}^{2}}+{{15}^{2}}-2.13.15.\cos \widehat{ACB} \\ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ACB}=\frac{25}{39}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx {{50}^{0}}7' \\ \end{align}$

$\begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC} \\ & \Leftrightarrow {{13}^{2}}={{12}^{2}}+{{15}^{2}}-2.12.15.\cos \widehat{ABC} \\ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx {{56}^{0}}15' \\ \end{align}$

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là

$\Rightarrow \widehat{BAC}=180-{{50}^{0}}7'-{{56}^{0}}15'={{73}^{0}}38'$

b. Ta có:

$\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{401}}{2}$

Tương tự ta tính được:

$\left\{ \begin{matrix} {{m}_{b}}=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{569}}{2} \\ {{m}_{c}}=\sqrt{\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{161} \\ \end{matrix} \right.$

c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

- Nửa chu vi tam giác ABC:

- Diện tích tam giác ABC: $S=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=20\sqrt{14}$

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

${{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4.R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\frac{12.13.15}{4.20\sqrt{14}}=\frac{117\sqrt{14}}{28}$

- Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

${{S}_{ABC}}=p.r\Rightarrow r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{20\sqrt{14}}{20}=\sqrt{14}$

d. Ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{h}_{a}}.BC=\frac{1}{2}.{{h}_{b}}.AC=\frac{1}{2}.{{h}_{c}}.AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}{{h}_{a}}=\dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{2.20\sqrt{14}}{15}=\dfrac{8\sqrt{14}}{3} \\{{h}_{b}}=\dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AC}=\dfrac{2.20\sqrt{14}}{13}=\dfrac{40\sqrt{14}}{13} \\{{h}_{c}}=\dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AB}=\dfrac{2.20\sqrt{14}}{12}=\dfrac{10\sqrt{14}}{3} \\\end{matrix} \right.$

Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 120⁰

a. Tính diện tích ΔABC.

b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a. Diện tích tam giác ABC: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}=\frac{1}{2}.6.8.\sin {{120}^{0}}=12\sqrt{3}$

b. Ta có:

$\begin{align} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{A} \\ & \Rightarrow B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}-2.6.8.\cos {{120}^{0}}=148 \\ & \Rightarrow BC=2\sqrt{37} \\ \end{align}$

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

${{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4.R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\frac{6.8.2\sqrt{37}}{4.12\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{111}}{3}$

Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13

a. ΔABC có góc tù hay không?

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

c. Tính diện tích ΔABC.

HS: Tự giải

Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 60⁰, góc B = 45⁰, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.

HS: Tự giải

Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, h_a, R.

HS: Tự giải

Bài 6. Cho ΔABC có m_b = 4, m_c = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.

HS: Tự giải

Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.

HS: Tự giải

Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b² - a²) = c(a² - c²)

HS: Tự giải

Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:

a. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

b. ${{c}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+4S.\frac{1-\cos C}{\sin C}$

c. $S=2{{R}^{2}}\sin A.\sin B.\sin C$

d. $S=\frac{1}{2}\sqrt{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}$

e. $a=b.\cos C+c.\cos B$

f. $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$

HS: tự giải

Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

a. MA² + MB² + MC² = GA² + GB² + GC² + 3GM²

b. $4\left( {{m}_{a}}^{2}+{{m}_{b}}^{2}+{{m}_{c}}^{2} \right)=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ 4(ma2 + mb2 + mc2) = 3(a2 + b2 + c2)

HS: tự giải

Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng

a. $\sin B+\sin C=2\sin A$

b. $\frac{2}{{{h}_{a}}}=\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}}$

HS: tự giải

Bài 13. Cho tam giác ABC biết $A\left( 4\sqrt{3},-1 \right);B\left( 0,3 \right);C\left( 8\sqrt{3},3 \right)$

a. Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

HS: tự giải

Bài 14. Cho tam giác ABC biết $a=40,6;\widehat{B}={{36}^{0}}20',\widehat{C}={{73}^{0}}$ . Tính $\widehat{A}$ , cạnh b, c của tam giác đó.

HS: tự giải

Bài 15. Cho tam giác ABC biết $a=42,4m;b=36,6m;\widehat{C}={{33}^{0}}10'$ . Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c.

Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là ${{75}^{0}}$ . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

HS: tự giải

Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết $\widehat{CAB}={{87}^{0}},\widehat{CBA}={{62}^{0}}$ . Hãy tính khoảng cách AC và BC.

HS: tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, $\widehat{A}=\alpha$ và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì ${{\left( \frac{2}{3}{{m}_{b}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}{{m}_{c}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}$

$\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4} \right)+\frac{4}{9}\left( \frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \right)={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 5{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\ \end{align}$

Mặt khác ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A$

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{a}^{2}}=5{{a}^{2}}-2bc\cos A \\ & \Rightarrow bc=\frac{2{{a}^{2}}}{\cos A}=\frac{2{{a}^{2}}}{\cos \alpha } \\ & \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}b.c.\sin A={{a}^{2}}\tan \alpha \\ \end{align}$

Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi ${{l}_{a}},{{l}_{b}},{{l}_{c}}$ lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng:

a. ${{l}_{a}}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}$

b. $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

c. $\frac{1}{{{l}_{A}}}+\frac{1}{{{l}_{B}}}+\frac{1}{{{l}_{C}}}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Trước hết chứng minh công thức $\sin a=2\sin \frac{a}{2}.\cos \frac{a}{2}$ bằng cách sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có $\widehat{A}=2a$ thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}b.c.\sin A,{{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}c.{{l}_{A}}.\sin \frac{A}{2},{{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}b.{{l}_{A}}.\sin \frac{A}{2}$

Mà ${{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{ACD}}\Rightarrow {{l}_{A}}=\frac{2bc}{b+c}.\cos \frac{A}{2}$

b. $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{b+c}{bc} \right)=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

$\begin{align} & \frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c} \\ & \frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b} \\ \end{align}$

c. Ta có $\frac{\cos\frac{A}{2}}{l_{A}} + \frac{\cos\frac{B}{2}}{l_{B}} + \frac{\cos\frac{C}{2}}{l_{C}} < \frac{1}{l_{A}} + \frac{1}{l_{B}} + \frac{1}{l_{C}}$

$\Rightarrow \frac{1}{l_{A}} + \frac{1}{l_{B}} + \frac{1}{l_{C}} > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi $m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, $m = \frac{m_{a} + m_{b} + m_{c}}{2}$ . Chứng minh rằng

$S_{\Delta ABC} = \frac{3}{4}\sqrt{m\left( m - m_{a} \right)\left( m - m_{b} \right)\left( m - m_{c} \right)}$

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Gọi D là điểm đối xứng của A qua

trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

Dễ thấy $S_{\Delta GBD} = S_{\Delta GBC} = S_{\Delta AGB} = S_{\Delta AGC} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}$

Mà $\Delta GBD$ có ba cạnh $\frac{2}{3}m_{a},\frac{2}{3}m_{b},\frac{2}{3}m_{c}$

$\Rightarrow S_{\Delta GBD} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}\sqrt{m\left( m - m_{a} \right)\left( m - m_{b} \right)\left( m - m_{c} \right)}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC} = 3S_{\Delta GBD} = \frac{3}{4}\sqrt{m\left( m - m_{a} \right)\left( m - m_{b} \right)\left( m - m_{c} \right)}$

Bài 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng $S_{\square ABCD} = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$

Với $P = \frac{a + b + c + d}{2}$

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Do ABCD nội tiếp nên

$\sin\widehat{ABC} = \sin\widehat{ADC}$

$\cos\widehat{ABC} = - \cos\widehat{ADC}$

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2}(ab + cd)\sin B$

$= \frac{1}{2}(ab + cd)\sqrt{1 - cos^{2}B}$

Trong tam giác có $AC^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos B$

Trong tam giác có $AC^{2} = c^{2} + d^{2} - 2cd\cos D$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} - 2ab\cos B = c^{2} + d^{2} - 2cdcocD \Leftrightarrow \cos B = \frac{\left( a^{2} + b^{2} \right) - \left( c^{2} + d^{2} \right)}{2(ab + cd)}$

Do đó $S_{ABCD} = \frac{1}{2}(ab + cd)\sqrt{1 - cos^{2}B}$

$= \frac{1}{2}(ab + cd)\sqrt{1 - \left( \frac{\left( a^{2} + b^{2} \right) - \left( c^{2} + d^{2} \right)}{2(ab + cd)} \right)^{2}}$

$= \frac{1}{4}\sqrt{4(ab + cd)^{2} - \left\lbrack \left( a^{2} + b^{2} \right) - \left( c^{2} + d^{2} \right) \right\rbrack^{2}}$

$= \frac{1}{4}\sqrt{\left\lbrack (a + b)^{2} - (c - d)^{2} \right\rbrack\left\lbrack (c + d)^{2} - (a - b)^{2} \right\rbrack}$

$= \sqrt{\left( \frac{a + b + c - d}{2} \right)\left( \frac{a + b - c + d}{2} \right)\left( \frac{a - b + c + d}{2} \right)\left( \frac{- a + b + c + d}{2} \right)}$

$\Rightarrow S_{\square ABCD} = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$ Với $p = \frac{a + b + c + d}{2}$

Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng

$\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2abc} = \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} \right)^{2} = 0 \Leftrightarrow AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} + 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2ac\cos B + 2bc\cos A + 2ab\cos C$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2abc} = \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c}$

Bài 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là $a = x^{2} + x + 1,b = 2x + 1,c = x^{2} - 1$ chứng minh rằng tam giác có một góc bằng $120^{0}$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ x^{2} - 1 + 2x + 1 > x^{2} + x + 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x > 1$

Với thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất

Tính $\cos A = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A} = 120^{0}$ .

Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có

a. $\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{abc}R$

b. $\sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(p - b)(p - c)}{bc}}$

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

a. Sử dụng định lí sin và cosin.

b. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp

Ta có $S_{\Delta ABC} = pr = \frac{1}{2}bc\sin A\ = bc\sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}\ \ \ (1)$

Từ hình vẽ:

$r = (p - a)tan\frac{A}{2} \Rightarrow \frac{S_{\Delta ABC}}{p} = (p - a)tan\frac{A}{2}\ \ \ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) $\frac{\left( S_{\Delta ABC} \right)^{2}}{p} = (p - a)tan\frac{A}{2}bc\sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{p(p - a)(p - b)(p - c)}{p} = bc(p - a)sin\frac{A}{2}$

$\Rightarrow \sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(p - b)(p - c)}{bc}}$

Bài 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{4}(a + b - c)(a + c - b)$

Hướng dẫn giải:

Theo Hê rong $S_{\Delta ABC} = \sqrt{\left( \frac{a + b + c}{2} \right)\left( \frac{a + b - c}{2} \right)\left( \frac{a - b + c}{2} \right)\left( \frac{- a + b + c}{2} \right)}$

$\Rightarrow (a + b - c)^{2}(a + c - b)^{2}$

$\Rightarrow (a + b - c)(a + c - b) = (a + b + c)( - a + b + c) \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Bài 26 Cho tam giác ABC. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{r}{R} \leq \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

$r = \frac{S}{p},R = \frac{abc}{4S} \Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{S^{2}}{pabc}$

$= \frac{4p(p - a)(p - b)(p - c)}{pabc}$ $= \frac{4(p - a)(p - b)(p - c)}{abc}$

Mà $\sqrt{(p - a)(p - b)} \leq \frac{2p - a - b}{2} = \frac{c}{2}$

$\sqrt{(p - a)(p - c)} \leq \frac{2p - a - c}{2} = \frac{b}{2}$

Bài 33. Cho tam giác ABC có sin²B + sin²C = 2sin²A. Chứng minh rằng: A ≤60⁰.

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin²B + sin²C = 2sin²A ⇔ b²+ c² = 2a²

Khi đó:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}}}{{2bc}}$ $= \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}} \geqslant \frac{1}{2} = \cos {60^0}$ .

Bài 34. Cho tam giác ABC có ${a^{\frac{4}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}} = {c^{\frac{4}{3}}}$ . Chứng minh rằng có một góc tù.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${a^{\frac{4}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}} = {c^{\frac{4}{3}}}$

$\Leftrightarrow {c^4} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}}} \right)^3}$ $= {a^4} + {b^4} + 3{a^{\frac{4}{3}}}.{b^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{4}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}}} \right)$

$\geqslant {a^4} + {b^4} + {a^{\frac{4}{3}}}.{b^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{4}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}}} \right)$ $\geqslant {a^4} + {b^4} + 2{a^{\frac{4}{3}}}.{b^{\frac{4}{3}}}.{a^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}$

$= {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}$

$\Rightarrow {c^2} > {a^2} + {b^2}$

Mà $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} < 0 \Rightarrow C \geqslant {90^0}$ .

Bài 35. Tam giác ABC có a² + b² + c² = 36r² thì có tính chất gì?

Hướng dẫn giải

Ta có:

${a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{{36.{S^2}}}{{{p^2}}} = 36.\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{p}$

$= 36\frac{{\sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} .\sqrt {\left( {p - a} \right)\left( {p - c} \right)} .\sqrt {\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)} }}{p}$

Ta có:

$2\sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \leqslant \left( {2p - b + 2p - c} \right) = a$

Suy ra $\frac{{\sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} .\sqrt {\left( {p - a} \right)\left( {p - c} \right)} .\sqrt {\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)} }}{p} \leqslant \frac{{abc}}{{8p}}$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \leqslant \frac{{9abc}}{{a + b + c}}$ $\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \leqslant 9abc$

Mà ${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ca$

$\Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \leqslant 9abc$

$\Leftrightarrow a{\left( {b - c} \right)^2} + b{\left( {c - a} \right)^2} + c{\left( {a - b} \right)^2} \leqslant 0$

$\Leftrightarrow a = b = c$

Vậy tam giác ABC có a² + b² + c² = 36r² thì tam giác đó là tam giác đều.

----------------------------------------------------

Gợi ý tài liệu tham khảo:

Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 sẽ giúp học sinh hiểu sâu bản chất công thức, tránh học thuộc máy móc và nâng cao kỹ năng giải nhanh. 35 bài tập trong bài viết không chỉ hỗ trợ ôn tập mà còn là nguồn tài liệu hữu ích để chuẩn bị cho kiểm tra 1 tiết, thi học kỳ và thi học sinh giỏi.

Để học tốt chương trình lớp 10, bạn nên kết hợp luyện thêm các chuyên đề liên quan như: phương trình lượng giác cơ bản, tích vô hướng của hai vectơ, và các bài toán ứng dụng thực tế. Hãy lưu lại bài viết này để sử dụng như một tài liệu bài tập Toán 10 có đáp án đầy đủ, giúp bạn tự tin chinh phục hình học lớp 10 một cách dễ dàng và hiệu quả.

Tải về

Chọn file muốn tải về:

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

554,2 KB

Tải file định dạng .DOC
699,5 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Bờm

168.140

Bài trước

Bài sau

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác

a. Định lí cosin

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

c. Định lí sin

d. Công thức diện tích tam giác

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Tải file định dạng .DOC

Có thể bạn quan tâm

A. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM