VnDoc.com

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Bài tập Toán lớp 10 có đáp án

48 128.691

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết là tài liệu học tập hay dành cho các bạn tham khảo, luyện tập nhằm củng cố kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới nhé.

Mời bạn đọc tham khảo tài liệu học tập Toán 10 theo bộ SGK chương trình mới của Bộ GD&ĐT:

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác

a. Định lí cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có hệ thức sau:

$a^2=b^2+c^2-2.b.c.cos\hat{A}$

$b^2=a^2+c^2-2.a.c.cos\hat{B}$

$c^2=a^2+b^2-2a.b.cos\hat{C}$

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

$m^2_b=\dfrac{a^2+c^2}{2}-\dfrac{b^2}{4}$

$m^2_c=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}$

3. Định lí sin

Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Công thức diện tích tam giác

Giả sử $h_a,h_b,h_c$ là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

$\begin{align} & S=\frac{1}{2}.{{h}_{a}}.BC=\frac{1}{2}{{h}_{b}}.AC=\frac{1}{2}{{h}_{c}}.AB \\ & S=\frac{1}{2}a.b.\sin \widehat{C}=\frac{1}{2}a.c.\sin \widehat{B}=\frac{1}{2}c.b.\sin \widehat{A} \\ & S=\frac{a.b.c}{4.R} \\ & S=p.r \\ & S=\sqrt{p.\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)} \\ \end{align}$

Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

a. Tính số đo các góc của ΔABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$\begin{align} & A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.\cos \widehat{ACB} \\ & \Leftrightarrow {{12}^{2}}={{13}^{2}}+{{15}^{2}}-2.13.15.\cos \widehat{ACB} \\ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ACB}=\frac{25}{39}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx {{50}^{0}}7' \\ \end{align}$

$\begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC} \\ & \Leftrightarrow {{13}^{2}}={{12}^{2}}+{{15}^{2}}-2.12.15.\cos \widehat{ABC} \\ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx {{56}^{0}}15' \\ \end{align}$

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là

$\Rightarrow \widehat{BAC}=180-{{50}^{0}}7'-{{56}^{0}}15'={{73}^{0}}38'$

b. Ta có:

$\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{401}}{2}$

Tương tự ta tính được:

$\left\{ \begin{matrix} {{m}_{b}}=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{569}}{2} \\ {{m}_{c}}=\sqrt{\dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{161} \\ \end{matrix} \right.$

c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

- Nửa chu vi tam giác ABC:

- Diện tích tam giác ABC: $S=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=20\sqrt{14}$

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

${{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4.R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\frac{12.13.15}{4.20\sqrt{14}}=\frac{117\sqrt{14}}{28}$

- Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

${{S}_{ABC}}=p.r\Rightarrow r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{20\sqrt{14}}{20}=\sqrt{14}$

d. Ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{h}_{a}}.BC=\frac{1}{2}.{{h}_{b}}.AC=\frac{1}{2}.{{h}_{c}}.AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}{{h}_{a}}=\dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{2.20\sqrt{14}}{15}=\dfrac{8\sqrt{14}}{3} \\{{h}_{b}}=\dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AC}=\dfrac{2.20\sqrt{14}}{13}=\dfrac{40\sqrt{14}}{13} \\{{h}_{c}}=\dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AB}=\dfrac{2.20\sqrt{14}}{12}=\dfrac{10\sqrt{14}}{3} \\\end{matrix} \right.$

Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 120⁰

a. Tính diện tích ΔABC

b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a. Diện tích tam giác ABC: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}=\frac{1}{2}.6.8.\sin {{120}^{0}}=12\sqrt{3}$

b. Ta có:

$\begin{align} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{A} \\ & \Rightarrow B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}-2.6.8.\cos {{120}^{0}}=148 \\ & \Rightarrow BC=2\sqrt{37} \\ \end{align}$

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

${{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4.R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\frac{6.8.2\sqrt{37}}{4.12\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{111}}{3}$

Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13

a. ΔABC có góc tù hay không?

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

c. Tính diện tích ΔABC

HS: Tự giải

Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 60⁰, góc B = 45⁰, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.

HS: Tự giải

Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, h_a, R.

HS: Tự giải

Bài 6. Cho ΔABC có m_b = 4, m_c = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.

HS: Tự giải

Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.

HS: Tự giải

Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b² - a²) = c(a² - c²)

HS: Tự giải

Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:

a. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

b. ${{c}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+4S.\frac{1-\cos C}{\sin C}$

c. $S=2{{R}^{2}}\sin A.\sin B.\sin C$

d. $S=\frac{1}{2}\sqrt{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}$

e. $a=b.\cos C+c.\cos B$

f. $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$

HS: tự giải

Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

a. $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3G{{M}^{2}}$

b. $4\left( {{m}_{a}}^{2}+{{m}_{b}}^{2}+{{m}_{c}}^{2} \right)=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

HS: tự giải

Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng

a. $\sin B+\sin C=2\sin A$

b. $\frac{2}{{{h}_{a}}}=\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}}$

HS: tự giải

Bài 13. Cho tam giác ABC biết $A\left( 4\sqrt{3},-1 \right);B\left( 0,3 \right);C\left( 8\sqrt{3},3 \right)$

a. Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

HS: tự giải

Bài 14. Cho tam giác ABC biết $a=40,6;\widehat{B}={{36}^{0}}20',\widehat{C}={{73}^{0}}$ . Tính $\widehat{A}$ , cạnh b, c của tam giác đó.

HS: tự giải

Bài 15. Cho tam giác ABC biết $a=42,4m;b=36,6m;\widehat{C}={{33}^{0}}10'$ . Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c.

Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là ${{75}^{0}}$ . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

HS: tự giải

Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết $\widehat{CAB}={{87}^{0}},\widehat{CBA}={{62}^{0}}$ . Hãy tính khoảng cách AC và BC.

HS: tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, $\widehat{A}=\alpha$ và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì ${{\left( \frac{2}{3}{{m}_{b}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}{{m}_{c}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}$

$\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4} \right)+\frac{4}{9}\left( \frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \right)={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 5{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\ \end{align}$

Mặt khác ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A$

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{a}^{2}}=5{{a}^{2}}-2bc\cos A \\ & \Rightarrow bc=\frac{2{{a}^{2}}}{\cos A}=\frac{2{{a}^{2}}}{\cos \alpha } \\ & \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}b.c.\sin A={{a}^{2}}\tan \alpha \\ \end{align}$

Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi ${{l}_{a}},{{l}_{b}},{{l}_{c}}$ lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng:

a. ${{l}_{a}}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}$

b. $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

c. $\frac{1}{{{l}_{A}}}+\frac{1}{{{l}_{B}}}+\frac{1}{{{l}_{C}}}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Trước hết chứng minh công thức $\sin a=2\sin \frac{a}{2}.\cos \frac{a}{2}$ bằng cách sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có $\widehat{A}=2a$ thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}b.c.\sin A,{{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}c.{{l}_{A}}.\sin \frac{A}{2},{{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}b.{{l}_{A}}.\sin \frac{A}{2}$

Mà ${{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{ACD}}\Rightarrow {{l}_{A}}=\frac{2bc}{b+c}.\cos \frac{A}{2}$

b. $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{b+c}{bc} \right)=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

$\begin{align} & \frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c} \\ & \frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b} \\ \end{align}$

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn bao gồm 35 bài tập Toán lớp 10 nhằm giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, rèn luyện chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới. Ngoài ra, trong quá trình nghỉ ở nhà do dịch bệnh các bạn học sinh có thể tham khảo các tài liệu ôn tập lớp 10 sau đây:

.........................................

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cùng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được các công thức hệ thức lượng trong tam giác, kèm theo đó là những bài tập về hệ thức lượng trong tam giá. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 10 nhé. Để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu lớp 10 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.

Đánh giá bài viết

48 128.691