Cách tính độ dài Vecto
Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết
Trong chương trình Toán lớp 10, vecto là một khái niệm quan trọng mở đầu cho hình học giải tích. Một trong những kỹ năng cơ bản khi học về vecto là cách tính độ dài vecto – yếu tố nền tảng để giải quyết các bài toán hình học phẳng và không gian. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính độ dài vecto, công thức áp dụng, ví dụ minh họa dễ hiểu kèm bài tập thực hành. Nếu bạn đang tìm kiếm tài liệu Cách tính độ dài vecto lớp 10, đừng bỏ qua nội dung hữu ích sau đây!
A. Công thức vectơ
Độ dài vecto
- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto 
\(\overrightarrow{\mathrm{a}}\) được ký hiệu là \(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|\).
Do đó đối với các vectơ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{PQ}}.........\) ta có:
\(|\overrightarrow{A B}|=A B=B A ;|\overrightarrow{P Q}|=P Q=Q P\)
- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
- Trong hệ tọa độ: Cho \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\mathrm{a}_{1} ; \mathrm{a}_{2}\right)\)
Độ dài vectơ \(\text { a là }|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)
Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
Áp dụng công thức sau
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) là
\(\mathrm{MN}=|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N}}-\mathrm{x}_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{N}}-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}\right)^{2}}\)
B. Bài tập tính độ dài vectơ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\overrightarrow{\mathrm{v}}\)=(4;1) và \(\overrightarrow{\mathrm{v}}\)=(1;4). Tính độ dài vectơ \(\vec{u}+\vec{v} ; \vec{u}-\vec{v}\).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\vec u + \vec v = (4 + 1;1 + 4) = (5;5)\)
\(\Rightarrow |\vec u + \vec v| = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2\)
\(\vec u - \vec v = (4 - 1;1 - 4) = (3; - 3)\)
\(\Rightarrow |\vec u - \vec v| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2\)
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có tọa độ ba đỉnh \(A(6;3),B( - 3;6),C(1; -
2)\) . Xác định tọa độ điểm \(D \in
BC\) thỏa mãn \(BD = 2CD\) ?
Hướng dẫn giải
Giả sử tọa độ điểm D là: \(D(x;y)\)
Ta có: \(D \in BC\) thỏa mãn BD = 2.CD
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BD} =
2\overrightarrow{DC}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BD} = (x + 3;y - 6) \\
\overrightarrow{DC} = (1 - x; - 2 - y) \\
\end{matrix} \right.\)
\(\overrightarrow{BD} =
2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 3 = 2 - 2x \\
y - 6 = - 4 - 2y \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - \frac{1}{3} \\
y = \frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow D\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3}
\right)\)
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết \(A(2;5),B(0;2),C(2;1)\) . Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC ?
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của BC
Khi đó tọa độ của M là: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{M} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\
y_{M} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( 1;\frac{3}{2}
\right)\)
Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:
\(AM = \sqrt{(1 - 2)^{2} + \left(
\frac{3}{2} - 5 \right)^{2}} = \frac{\sqrt{53}}{2}\)
Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là \(\frac{\sqrt{53}}{2}\) .
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; -2) và N (-3; 4).
A. MN = 4 B. MN = 6
\(C. \mathrm{MN}=3 \sqrt{6}\) \(D. \mathrm{MN}=2 \sqrt{13}\)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
Ta có
\(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}}\)
\(= \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{(4 - ( - 2))}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}\)
Đáp án D
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Chu vi P của tam giác đã cho.
A. \(P=4+2\sqrt{2}\) B. \(P=4+4\sqrt{2}\)
C. \(P = 8 + 8\sqrt{2}\) D. \(P=2+2\sqrt{2}\)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(A B=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)
\(\mathrm{AC}=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{4^{2}}=4\)
\(\mathrm{BC}=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)
Chu vi tam giác ABC là:
\(\mathrm{P}=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=2 \sqrt{2}+4+2 \sqrt{2}=4+4 \sqrt{2}\)
Đáp án B
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tọa độ \(A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)\) . Một điểm \(M \in Ox\) bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 2\left|
\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left|
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\) ?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(M \in Ox \Rightarrow
M(x;0)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\
\overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\
\overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có:
\(T = 2\left| \overrightarrow{MA} +
2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} \right|\)
\(= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} +
3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}\)
\(= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} +
\sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} \right) = 6(ME + MF)\)
(Với \(E(3;2),F(2; - 1)\) )
Lại có: \(\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3)
\Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} \right| = \sqrt{10}\)
Mà \(ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq
6\sqrt{10}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => \(M\left( \frac{7}{3};0 \right)\)
Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là \(6\sqrt{10}\) .
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành
B. Tứ giác ABCD là hình thoi
C. Tứ giác ABCD là hình thang cân
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right) \hfill \\
\overrightarrow {DC} = \left( {3;3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {AB}\)
Suy ra DC // AB
Do đó từ giác ABCD là hình thang (1)
Lại có: \(\left\{ \begin{gathered}
AC = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 4 \hfill \\
BD = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Suy ra AC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân (hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân).
Đáp án C
Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B.
A. \(C\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\) B. \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\) C. \(C\left( { - \frac{3}{5};0} \right)\) D. \(C\left( {\frac{3}{5};0} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(C \in Ox\) nên C(x; 0)
Do đó: \(\left\{ \begin{gathered}
AC = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \hfill \\
BC = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vì C cách đều hai điểm A và B nên
CA = CB ⇔ AC2 = BC2
⇔ (x - 1)2 + (-3)2 = (x - 4)2 + (-2)2
⇔x2 - 2x + 1 + 9 = x2 - 8x + 16 + 4
⇔ (x2 - x2) + (-2x + 8x) = 16 + 4 - 1 - 9
⇔ 6x = 10 ⇔ x = 10/6
Vậy \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)
Đáp án B
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= √5 ,AC=2√5.
a) Độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) bằng:
A. √5 B. 5√5 C. 25 D. 5
b) Độ dài vectơ \(\overrightarrow{AC}\) - \(\overrightarrow{AB}\) bằng:
A. √5 B. 15 C. 5 D. 2
Ví dụ 10. Cho parabol như hình vẽ:
Biết G là đỉnh parabol cách AB một khoảng bằng 6, \(CD = 4;DE = \frac{10}{3}\) . Tính khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) ?
Hướng dẫn giải
Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm AB, tia Ox là tia OB.
Khi đó tọa độ \(E\left( 2;\frac{10}{3}
\right),G(0;6)\)
Gọi biểu thức hàm số có đồ thị là hình parabol là \(y = ax^{2} + bx + c\)
Có G là đỉnh parabol suy ra \(c = 6;b =
0\)
Có \(E\left( 2;\frac{10}{3} \right) \in
(P)\) suy ra \(\frac{10}{3} = 4a + 6
\Rightarrow a = - \frac{2}{3}\)
Biểu thức hàm số là \(y = -
\frac{2}{3}x^{2} + 6\)
Hoành độ giao điểm với trục hoành: \(-
\frac{2}{3}x^{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là \(6\) .
C. Bài tập tự rèn luyện tính độ dài vectơ
Bài 1: Cho tam giác ABC. Vectơ \(\overrightarrow{AB}\)+\(\overrightarrow{AC}\) có giá chứa đường thẳng nào sau đây?
A. Tia phân giác của góc A
B. Đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC
C. Đường trung tuyến qua A của tam giác ABC
D. Đường thẳng BC
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 8. Vectơ \(\overrightarrow{CB}\)+\(\overrightarrow{AB}\) có độ dài là:
A. 4 B. 5 C. 10 D.8
Bài 3: Cho hình thang có hai đáy là AB = 3a và CD = 6a. Khi đó | \(\overrightarrow{AB}\)+\(\overrightarrow{CD}\) | bằng bao nhiêu?
A. 9a B. 3a C. – 3a D. 0
Bài 4: Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tính |\(\overrightarrow{AB'}\) + \(\overrightarrow{C'B}\)|
A. AA’ B. BB’ C. CC’ D. AA’ + BB’ + CC’
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a. |\(\overrightarrow{AB}\)+\(\overrightarrow{CA}\)+\(\overrightarrow{AD}\) | bằng
A. 2a B. a√2 C. 0 D.2a√2
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành
B. Tứ giác ABCD là hình thoi
C. Tứ giác ABCD là hình thang cân
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn.
Câu 7. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tính \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right|.\)
A. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{3}.\) B. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
C. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = 2a.\) D. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = 2a\sqrt{3}.\)
Câu 8. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a\). Tính \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right|.\)
A. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{2}.\) B. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
C. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = 2a.\) D. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = a.\)
Câu 9. Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(AB = \sqrt{2}.\) Tính độ dài của \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC}.\)
A. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{5}.\) B. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = 2\sqrt{5}.\)
C. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{3}.\) D. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = 2\sqrt{3}.\)
Câu 10. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AB = 3,\ \ AC = 4\). Tính \(\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}
\right|\).
A. \(\left| \overrightarrow{CA} +
\overrightarrow{AB} \right| = 2.\) B. \(\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}
\right| = 2\sqrt{13}.\)
C. \(\left| \overrightarrow{CA} +
\overrightarrow{AB} \right| = 5.\) D. \(\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}
\right| = \sqrt{13}.\)
Câu 11. Tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = a\) và \(\widehat{BAC} = 120{^\circ}\). Tính \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right|.\)
A. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{3}.\) B. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = a.\)
C. \(\left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} \right| = \frac{a}{2}.\) D. \(\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
\right| = 2a.\)
Câu 12. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a,\) \(H\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}
\right|.\)
A. \(\left| \overrightarrow{CA} -
\overrightarrow{HC} \right| = \frac{a}{2}.\) B. \(\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}
\right| = \frac{3a}{2}.\)
C. \(\left|
\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| =
\frac{2\sqrt{3}a}{3}.\) D. \(\left|
\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| =
\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)
Câu 13. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC = 12.\) Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC}\).
A. \(\left| \overrightarrow{v} \right| =
2.\) B. \(\left| \overrightarrow{v}
\right| = 2\sqrt{3}.\) C. \(\left|
\overrightarrow{v} \right| = 8.\) D. \(\left| \overrightarrow{v} \right| =
4.\)
Câu 14. Cho hình thoi \(ABCD\) có \(AC = 2a\) và \(BD = a.\) Tính \(\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}
\right|\).
A. \(\left| \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{BD} \right| = 3a.\) B. \(\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}
\right| = a\sqrt{3}.\)
C. \(\left| \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{5}.\) D. \(\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}
\right| = 5a.\)
Câu 15. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}
\right|.\)
A. \(\left| \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{DA} \right| = 0.\) B. \(\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA}
\right| = a.\)
C. \(\left|
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} \right| = a\sqrt{2}.\) D. \(\left| \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{DA} \right| = 2a.\)
Câu 16. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), tâm \(O.\) Tính \(\left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}
\right|\).
A. \(\left| \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OC} \right| = a.\) B. \(\left| \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}
\right| = a\sqrt{2}.\)
C. \(\left|
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right| =
\frac{a}{2}.\) D. \(\left|
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right| =
\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
----------------------------------------------------------
Việc hiểu và áp dụng đúng cách tính độ dài vecto sẽ giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức hình học và giải quyết nhanh các bài toán về vecto trong mặt phẳng và không gian. Qua bài viết này, bạn đã biết được công thức tính độ dài vecto, cách xác định tọa độ và vận dụng vào bài tập thực tế. Hãy luyện tập thêm nhiều bài toán khác để nâng cao kỹ năng và chuẩn bị thật tốt cho các bài kiểm tra, thi học kỳ. Đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo để khám phá thêm nhiều chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán lớp 10, đặc biệt là các chuyên đề vecto và hình học giải tích lớp 10.
