Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Các dạng bài tập về tích vô hướng của 2 vectơ

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán lớp 10: Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về TVH hay tích độ dài
Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc - Thiết lập điều kiện vuông góc
Dạng 4: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về TVH hay tích độ dài.

Trong chương trình Hình học 10, chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ là nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa hai vectơ, góc giữa chúng và ứng dụng trong nhiều dạng toán hình học giải tích. Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, phần này còn bao gồm rất nhiều bài tập vận dụng, bài nâng cao và các câu hỏi trắc nghiệm thường xuất hiện trong đề thi học kỳ lẫn đề thi đánh giá năng lực.

Bài viết này tổng hợp đầy đủ các dạng bài tập về tích vô hướng của 2 vectơ, kèm theo phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có đáp án. Học sinh sẽ hiểu rõ:

Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng;
Công thức tính tích vô hướng qua tọa độ và qua độ dài vectơ;
Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ;
Mối liên hệ giữa tích vô hướng và điều kiện vuông góc;
Cách giải nhanh các bài toán hình học giải tích lớp 10.

Nếu bạn muốn làm chủ chuyên đề vectơ, cải thiện điểm số hình học và tự tin trong các bài thi, thì đây chính là tài liệu hữu ích giúp bạn học nhanh – hiểu sâu – nhớ lâu.

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ

Bàì 1: Cho $\Delta ABC$ đều, cạnh bằng a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC};\ \ (2\overrightarrow{AB})(3\overrightarrow{HC})$ b) $(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ có .

a) Tính $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}$ theo . Từ đó suy ra: $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\overrightarrow{AB}$ .

b) Gọi G là trọng tâm của $\Delta ABC$ , tính độ dài AG và cosin của góc nhon tạo bởi AG và BC.

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao , đáy lớn , đáy nhỏ .

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD};\ \ \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC};\ \ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$

b) Gọi I là trung điểm của CD, tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BD}$ . Từ đó suy ra góc của AI và BD.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}$ ; $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$

b) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC});\ \ (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AD})$

c) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC})$

d) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$ , M là điểm bất kì trên đường tròn nội tiếp hình vuông.

Bài 5: Cho $\Delta ABC$ có . Tính:

a) $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}$ . Suy ra cosA.

b) Gọi G là trọng tâm của $\Delta ABC$ , tính $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC}$

c) Tính $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$

d) Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ ; độ dài của AD.

Bài 6: Cho hình bình hành tuỳ ý. Chứng minh rằng:

a) $MA^{2} + MC^{2} - MB^{2} = MD^{2} + 2DA^{2} - DB^{2}$

b) M di động trên đường thẳng d, xác định vị trí của M để $MA^{2} + MC^{2} - MB^{2}$ đạt GTNN

Bài 7: Cho $\bigtriangleup ABC,M$ tuỳ ý.

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vào vị trí của M.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup ABC$ . CMR $MA^{2} + MB^{2} - 2MC^{2} = 2\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{m}$

c) Tìm quỹ tích các điểm M thoả mãn $MA^{2} + MB^{2} = 2MC^{2}$

d) M di động trên đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup ABC$ , tìm vị trí của M để $MA^{2} + MB^{2} - 2MC^{2}$ đạt GTNN, GTLN.

Bài 8: Cho $\bigtriangleup ABC$ , I là trung điểm của trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

$2AM^{2}MB^{2} + MC^{2} = 4MI^{2} + 2IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Bài 9: Cho $\bigtriangleup ABC$ đều cạnh thuộc đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup ABC$ .

Tìm GTLN, GTNN của $MA^{2} - MB^{2} - MC^{2}$

Bài 10: Cho $\bigtriangleup ABC$ , trung tuyễn AM, đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AM^{2} - \frac{BC^{2}}{4} = \frac{1}{2}\left( AB^{2} + AC^{2} - BC^{2} \right)$ ;
b) $AB^{2} + AC^{2} = 2AM^{2} + \frac{AB^{2}}{2}$
c) $AB^{2} - AC^{2} = 2AB \cdot MH$
d) $s_{\bigtriangleup ABC} = \sqrt{AB^{2} \cdot AC^{2} - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})}$

Bài 6: Cho $\bigtriangleup ABC$ có và $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = 24$ .

a) Tính $S_{\bigtriangleup ABC};AC$

b) Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH.

Bài 7: Cho MM' là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm , bán kính . là điểm cố định và cắt tại . Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AM}\ ';AM \cdot AN$ có giá trị không phụ thuộc vào M.

Bài 8: Cho 2 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thoả mãn: $|\overrightarrow{a}| = 1,|\overrightarrow{b}| = 2,|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{15}$ .

a) Tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

b) Xác định k để góc giữa $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ , ( $2k\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ ) bằng $60^{\circ}$ .

Bài 9: Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông có cạnh huyền $BC = a\sqrt{3}$ . Gọi AM là trung tuyến, biết $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC}\frac{1}{2}a^{2}$ . Tính độ dài AB và AC.

Bài 10: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB. Biết $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 4a^{2},\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 9a^{2},\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = 6a^{2}$ .

a) Tính các cạnh của hình thang

b) Gọi IJ là đường trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của IJ trên BD.

c) Gọi M là điểm trên AC và $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AC}$ . Tính k để $BM\bot CD$

Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay tích độ dài

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ , G là trọng tâm. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB} = 0$

b) $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ , M bất kỳ. Suy ra $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt GTNN.

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ , M là trung điểm BC và H là trực tâm. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{4}BC^{2}$ b) $MA^{2} + MH^{2} = AH^{2} + \frac{1}{2}BC^{2}$

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M tuỳ ý. Chứng minh rằng

a) $MA^{2} + MC^{2} = MB^{2} + MD^{2}$

b) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}$

c) $MA^{2} = 2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}$ , O là tâm hình chữ nhật và M thuộc đường tròn ngoại tiếp hcn.

Bài 4: Chứng minh rằng ABCD là hbh khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = 0$ .

Bài 5: Cho tứ giác có là trung điểm của 2 đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}\left( AD^{2} + BC^{2} - AC^{2} - DB^{2} \right)$

b) $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = AC^{2} + BD^{2} + 4PQ^{2}$

Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc - Thiết lập điều kiện vuông góc

Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giác ba đường cao đồng quy.

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm $\Delta ACD$ . Chứng minh rằng: $OE \bot CD$ .

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao , cạnh đáy . Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:

a) $AC\bot BD$ b) $BD\bot AM$ , với AM là trung tuyến của $\Delta ABC$

Bài 4: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có . Tìm điểm D trên AC sao cho $BD\bot AM$ , với AM là trung tuyến của

Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB= h, cạnh đáy . Tìm hệ thức giữa sao cho:

a) $\widehat{CID} = 90^{0}$ , với I là trung điểm của AB.

b) $BD\bot CI$ c) $DI\bot AC$

d) Trung tuyến BM của $\Delta ABC$ vuông góc với trung tuyến CN của $\Delta BCD$

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH và CK lần lượt là đường cao của $\Delta ABC$ . Chứng minh rằng: $OA\bot HK$ .

Dạng 4: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hay tích độ dài.

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

a) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = k,$ k là số cho trước. b) $MA^{2} + \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$

c) $MB^{2} + \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = a^{2}$ với .

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ , tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

a) $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = k,$ k là số cho trước. b) $MA^{2} - MB^{2} + CA^{2} - CB^{2} = 0$

c) $MC^{2} - MB^{2} + BC^{2} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}$ d) $3MA^{2} = 2MB^{2} + MC^{2}$

Bài 3: Cho đoạn AB. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:

a) $MA^{2} - 2MB^{2} = k$ , k cho trước

b) $3MA^{2} + MB^{2} = AB^{2}$

c) $2MA^{2} = MA.MB$ .

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

----------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo Bài tập trắc nghiệm: Tích vô hướng của vecto

Chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ không chỉ là nền tảng của hình học giải tích lớp 10 mà còn đóng vai trò quan trọng trong các chương tiếp theo như phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và các bài toán liên quan đến góc, khoảng cách. Khi nắm chắc lý thuyết và luyện tập nhuần nhuyễn các dạng bài, bạn sẽ dễ dàng nhận diện mô hình bài toán và chọn phương pháp giải phù hợp.

Hy vọng bộ bài tập tích vô hướng của hai vectơ trong bài viết đã giúp bạn hệ thống hóa kiến thức, tránh các lỗi thường gặp và tăng tốc độ xử lý bài thi. Hãy tiếp tục luyện tập với các bài tập nâng cao để củng cố kỹ năng và đạt điểm số tối đa trong các bài kiểm tra, bài thi học kỳ.

Mong rằng qua đây bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 10. Để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập được chúng tôi biên soạn và tổng hợp chi tiết của các môn tại các mục sau Ngữ văn 10 , Tiếng Anh 10 , đề thi học kì 1 lớp 10 , đề thi học kì 2 lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: