Cách tính Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Toán 10
Trong chương trình Toán 10, việc tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng là dạng bài quan trọng thuộc chuyên đề Phương trình đường thẳng. Đây là kiến thức nền tảng trong hình học giải tích giúp học sinh hiểu sâu bản chất của khoảng cách và áp dụng vào nhiều bài tập thực tế. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn các cách tính khoảng cách nhanh – chính xác, công thức đầy đủ, kèm ví dụ minh họa rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và làm bài hiệu quả hơn.
A. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
Cho đường thẳng 
\(\Delta:ax + by + c =
0\) và điểm \(M\left( x_{0};y_{0}
\right)\). Khi đó khoảng cách từ M đến \((\Delta)\) được tính bởi công thức:
\(d(M,(\Delta)) = \frac{\left| ax_{0} +
by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
B. Bài tập minh họa tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\)
a) \(M(1; - 1)\), \(\Delta:3x - 4y - 17 = 0\)
b) \(M(1;1)\), \(\Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = - 5 + 4t \\
y = 3 - 3t
\end{matrix} \right.\)
c) \(M(1;\ - 4)\), \(\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-
1}\)
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:
\(d(M,\Delta) = \frac{\left| 3.1 - 4( - 1)
- 17 \right|}{\sqrt{3^{3} + ( - 4)^{2}}} = \frac{10}{5} =
2\).
b) \(\Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = - 5 + 4t \\
y = 3 - 3t
\end{matrix} \right.\) qua \(A( -
5;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (4; - 3)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} =
(3;4)\).
Phương trình tổng quát của \(\Delta\) là \(3(x + 5) + 4(y - 3) = 0 \Leftrightarrow
3x + 4y + 3 = 0\).
Khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng là:
\(d(M,\Delta) = \frac{|3.1 + 4.1 +
3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 2\).
c) Ta có
\(\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-
1}\) \(\Leftrightarrow\) \(- x + 1 = 2y + 6\) \(\Leftrightarrow\) \(x + 2y + 5 = 0\).
Do đó: \(d(M,\ \Delta) = \frac{\left| 1.1 +
2.( - 4) + 5 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} =
\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), Cho điểm \(A(1; - 1)\) và đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\)
a) Tìm \(d(A,d)\)
b) Lập phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua điểm \(A(1; - 1)\) và \(\Delta\) song song với \(d\).
Hướng dẫn giải
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d đã cho là:
\(d(A,d) = \frac{\left| 1.1 + ( -
2).( - 1) + 1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2}}} =
\frac{4\sqrt{5}}{5}.\)
b) Cách 1: Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (1;-2)\).
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1; - 1)\) và \(\Delta\) song song với \(d\) nên \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{n} = (1; - 2)\)làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) là \((x
- 1) - 2(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\).
Cách 2: \(\Delta\) song song với \(d\) nên \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{n} = (1; - 2)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình \(\Delta\) có dạng:
\(x - 2y + m = 0(m \neq 1)\)
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1; - 1)\) nên \(1.1 - 2.( - 1) + m = 0 \Leftrightarrow m = -
3.\)
Vậy phương trình \(\Delta\) là \(x - 2y - 3 = 0\).
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:\ x - 2y + 1 = 0\) và điểm \(M(2;\ 3)\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) là:
Hướng dẫn giải
Cách 1: \(\Delta\) vuông góc \(d:\ x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow \Delta\) có VTPT là \(\overrightarrow{n} = (2;\
1)\).
\(\Delta\) qua \(M(2;\ 3)\) nên có phương trình là:
\(2(x - 2) + (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x
+ y - 7 = 0\).
Cách 2: \(\Delta\) vuông góc \(d:\ x - 2y + 1 = 0\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng:
\(2x + y + m = 0\)
\(\Delta\) qua \(M(2;\ 3)\) nên \(2.2 + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m= -7\).
Vậy phương trình \(\Delta\) là \(2x + y - 7 = 0\).
Ví dụ 4: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng \(d_{1}:4x - 3y + 5 = 0;d_{2}:3x + 4y - 5 =
0\), đỉnh \(A(2;1)\).Tìm diện tích của hình chữ nhật?
Hướng dẫn giải
Do điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ \(A(2;1)\) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng
\(S = \frac{|4.2 - 3.1 + 5|}{\sqrt{4^{2} +
3^{2}}} = \frac{|3.2 + 4.1 - 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2\).
C. Bài tập vận dụng tính khoảng cách có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;\
2)\), \(B(2;\ 3)\), \(C( - 3;\ - 4)\).
a) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(BC\).
b) Tìm độ dài đường cao kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\).
c) Tìm diện tích tam giác \(ABC\).
Bài tập 2: Cho hai đường thẳng song \(d_{1}:5x - 7y + 4 = 0\\)và \(d_{2}:5x - 7y + 6 = 0.\\)Tìm khoảng cách giữa \(d_{1}\) và \(d_{2}\)?
Bài tập 3: Tìm điểm M trên trục \(Ox\) sao cho nó cách đều hai đường thẳng: \(d_{1}:3x + 2y - 6 = 0;d_{2}:3x + 2y + 6 =
0\)?
Bài tập 4: Cho hai điểm \(A(3; -
1)\) và \(B(0;3)\) Tìm tọa độ điểm M trên trục \(Oy\) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB?
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu
----------------------------------------
Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm rõ công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cùng phương pháp áp dụng trong từng dạng bài Toán 10. Hãy luyện tập thêm để tăng tốc độ xử lý bài tập và ghi nhớ lâu hơn. Chúc bạn học tốt và tự tin chinh phục các dạng toán thuộc chủ đề phương trình đường thẳng!
