VnDoc.com

Cách lập phương trình chính tắc của elip

Toán lớp 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Hướng dẫn viết phương trình elip có đáp án

A. Công thức phương trình chính tắc của elip
B. Ví dụ minh họa viết phương trình chính tắc của elip
C. Bài tập vận dụng viết phương trình elip

Trong chương trình Toán lớp 10, việc nắm vững cách lập phương trình chính tắc của elip là nền tảng quan trọng để học sinh học tốt phần hình học giải tích. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết các bước xác định trục lớn, trục nhỏ, tâm và độ dài các bán trục để viết phương trình elip chính xác. Đồng thời, bạn sẽ được cung cấp bài tập có đáp án giúp luyện tập và ứng dụng ngay vào từng dạng toán cụ thể.

A. Công thức phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $(E):\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ $b^{2} = a^{2} - c^{2}$; …}

Trục đối xứng $Ox$, $Oy$
Tâm đối xứng $O$.
Tiêu điểm $F_{1}( - c;0),\ F_{2}(c;0)$ $F_{1}( - c;0),\ F_{2}(c;0)$.
Tọa độ các đỉnh $A_{1}( - a;0),\ A_{2}(a;0),\ B_{1}(0; - b),\ B_{2}(0;b)$ $A_{1}( - a;0),\ A_{2}(a;0),\ B_{1}(0; - b),\ B_{2}(0;b)$.
Độ dài trục lớn $2a$. Độ dài trục bé $2b$.
Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là $2a$ và $2b$.
Tâm sai $e = \frac{c}{a} < 1$ $e = \frac{c}{a} < 1$.
Hai đường chuẩn $x = \frac{a}{e}$ $x = \frac{a}{e}$ và $x = - \frac{a}{e}$ $x = - \frac{a}{e}$.
$M(x;y) \in (E)$ $M(x;y) \in (E)$. Khi đó $MF_{1} = a + ex$ $MF_{1} = a + ex$: bán kính qua tiêu điểm trái.
$MF_{2} = a - ex$ $MF_{2} = a - ex$: bán kính qua tiêu điểm phải.

B. Ví dụ minh họa viết phương trình chính tắc của elip

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A(5;0) và có một tiêu điềm là F₂(3;0)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình elip có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$(a > b > 0)

Do elip đi qua $A(5;0)$ nên: $\frac{25}{a^{2}} + \frac{0}{b^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 25$ $\frac{25}{a^{2}} + \frac{0}{b^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 25$

Mặc khác: tiêu điểm $F_{2}(3;0)$ $F_{2}(3;0)$ nên $\Rightarrow c = 3 = > c^{2} = 9 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow c = 3 = > c^{2} = 9 = a^{2} + b^{2}$=> $b^{2} = 16$ $b^{2} = 16$.

Vậy phương trình của elip cần tìm là $:\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ $:\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:

a) Elip đi qua điểm $M\left( 2;\frac{5}{3} \right)$ $M\left( 2;\frac{5}{3} \right)$ và có một tiêu điểm $F_{1}( - 2;0)$ $F_{1}( - 2;0)$.

b) Elip nhận $F_{2}(5;0)$ $F_{2}(5;0)$ là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt{6}$ $4\sqrt{6}$.

c) Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}$ và tiêu cự bằng 2.

d) Elip đi qua hai điểm $M\left( 2; - \sqrt{2} \right)$ $M\left( 2; - \sqrt{2} \right)$ và $N\left( - \sqrt{6};1 \right)$ $N\left( - \sqrt{6};1 \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Do $(E)$ có một tiêu điểm $F_{1}( - 2;0)$ $F_{1}( - 2;0)$ nên $c = 2$. Suy ra $a^{2} = b^{2} + c^{2} = b^{2} + 4$ $a^{2} = b^{2} + c^{2} = b^{2} + 4$.

Mặt khác, $(E)$ đi qua điểm $M\left( 2;\frac{5}{3} \right)$ $M\left( 2;\frac{5}{3} \right)$ nên $\frac{2^{2}}{a^{2}} + \frac{\left( \frac{5}{3} \right)^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b^{2} + 4} + \frac{25}{9b^{2}} = 1$ $\frac{2^{2}}{a^{2}} + \frac{\left( \frac{5}{3} \right)^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b^{2} + 4} + \frac{25}{9b^{2}} = 1$

$\Leftrightarrow 9b^{4} - 25b^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow b^{2} = 5$ $\Leftrightarrow 9b^{4} - 25b^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow b^{2} = 5$ hoặc $b^{2} = - \frac{20}{9}$ $b^{2} = - \frac{20}{9}$.

Vậy Elip cần tìm có phương trình $(E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$.

b) Do $(E)$ có một tiêu điểm $F_{2}(5;0)$ $F_{2}(5;0)$ nên $c = 5$.

Theo giả thiết độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt{6}$ $4\sqrt{6}$ nên $2b = 4\sqrt{6} \Leftrightarrow b = 2\sqrt{6}$ $2b = 4\sqrt{6} \Leftrightarrow b = 2\sqrt{6}$.

Suy ra $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 5^{2} + \left( 2\sqrt{6} \right)^{2} = 49$ $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 5^{2} + \left( 2\sqrt{6} \right)^{2} = 49$.

Vậy Elip cần tìm có phương trình $(E):\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$.

c) Độ dài trực lớn bằng $2\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}$ nên $2a = 2\sqrt{5} \Leftrightarrow a = \sqrt{5}$ $2a = 2\sqrt{5} \Leftrightarrow a = \sqrt{5}$. Tiêu cự bằng 2 nên $2c = 2 \Leftrightarrow c = 1$ $2c = 2 \Leftrightarrow c = 1$.

Từ hệ thức $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$, suy ra $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 5 - 1 = 4$ $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 5 - 1 = 4$.

Vậy Elip cần tìm có phương trình $(E):\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$.

d) Do $(E)$ đi qua $M\left( 2; - \sqrt{2} \right)$ $M\left( 2; - \sqrt{2} \right)$ và $N\left( - \sqrt{6};1 \right)$ $N\left( - \sqrt{6};1 \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{4}{a^{2}} + \dfrac{2}{b^{2}} = 1 \\\dfrac{6}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{1}{8} \\\dfrac{1}{b^{2}} = \dfrac{1}{4}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 8 \\b^{2} = 4\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{4}{a^{2}} + \dfrac{2}{b^{2}} = 1 \\\dfrac{6}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{1}{8} \\\dfrac{1}{b^{2}} = \dfrac{1}{4}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 8 \\b^{2} = 4\end{matrix} \right.$.

Vậy Elip cần tìm có phương trình $(E):\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$.

Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:

a) Elip có tổng độ dài hai trục bằng 8 và tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

b) Elip có tâm sai $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20.

Hướng dẫn giải

a) Tổng độ dài hai trục bằng 8 nên $2a + 2b = 8$. $(1)$

Tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow a = \sqrt{2}c$ $e = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow a = \sqrt{2}c$. $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có

$\left\{ \begin{matrix}2a + 2b = 8 \\e = \frac{c}{a} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a + b = 4 \\a = \sqrt{2}c\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}2a + 2b = 8 \\e = \frac{c}{a} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a + b = 4 \\a = \sqrt{2}c\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{2}c + b = 4 \\a = \sqrt{2}c\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}b = 4 - \sqrt{2}c \\a = \sqrt{2}c\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{2}c + b = 4 \\a = \sqrt{2}c\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}b = 4 - \sqrt{2}c \\a = \sqrt{2}c\end{matrix} \right.$.

Thay vào hệ thức $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$, ta được

$2c^{2} = \left( 4 - \sqrt{2}c \right)^{2} + c^{2} \Leftrightarrow c^{2} - 8\sqrt{2}c + 16 = 0 \Leftrightarrow c = 4\sqrt{2} \pm 4$ $2c^{2} = \left( 4 - \sqrt{2}c \right)^{2} + c^{2} \Leftrightarrow c^{2} - 8\sqrt{2}c + 16 = 0 \Leftrightarrow c = 4\sqrt{2} \pm 4$.

● Với $c = 4\sqrt{2} + 4$ $c = 4\sqrt{2} + 4$, suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 8 + 4\sqrt{2} \\ b = - 4 - 4\sqrt{2} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = 8 + 4\sqrt{2} \\ b = - 4 - 4\sqrt{2} \end{matrix} \right.$: không thỏa mãn.

● Với $c = 4\sqrt{2} - 4$ $c = 4\sqrt{2} - 4$, suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 8 - 4\sqrt{2} \\ b = - 4 + 4\sqrt{2} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = 8 - 4\sqrt{2} \\ b = - 4 + 4\sqrt{2} \end{matrix} \right.$.

Do đó Elip cần tìm có phương trình: $(E):\frac{x^{2}}{\left( 8 - 4\sqrt{2} \right)^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( 4\sqrt{2} - 4 \right)^{2}} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{\left( 8 - 4\sqrt{2} \right)^{2}} + \frac{y^{2}}{\left( 4\sqrt{2} - 4 \right)^{2}} = 1$.

b) Elip có tâm sai $e = \frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow a = \frac{3}{\sqrt{5}}c$ $e = \frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow a = \frac{3}{\sqrt{5}}c$. $(1)$

Mặt khác, Elip có hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 nên ta có:

$2(2a + 2b) = 20 \Leftrightarrow a + b = 5 \Leftrightarrow b = 5 - a$ $2(2a + 2b) = 20 \Leftrightarrow a + b = 5 \Leftrightarrow b = 5 - a$. $(2)$

Thay $(1)$ và $(2)$ vào hệ thức $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$, ta được

$\left( \frac{3}{\sqrt{5}}c \right)^{2} =(5 - a)^{2} + c^{2}$ $\left( \frac{3}{\sqrt{5}}c \right)^{2} =(5 - a)^{2} + c^{2}$ $\Leftrightarrow \left( \frac{3}{\sqrt{5}}c\right)^{2} = \left( 5 - \frac{3}{\sqrt{5}}c \right)^{2} + c^{2}$ $\Leftrightarrow \left( \frac{3}{\sqrt{5}}c\right)^{2} = \left( 5 - \frac{3}{\sqrt{5}}c \right)^{2} + c^{2}$

$\Leftrightarrow c^{2} - \frac{30}{\sqrt{5}}c + 25 = 0$ $\Leftrightarrow c^{2} - \frac{30}{\sqrt{5}}c + 25 = 0$ $\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}c = 5\sqrt{5} \\c = \sqrt{5}\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}c = 5\sqrt{5} \\c = \sqrt{5}\end{matrix} \right.$.

● Với $c = 5\sqrt{5}$ $c = 5\sqrt{5}$, suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 15 \\ b = - 10 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = 15 \\ b = - 10 \end{matrix} \right.$: không thỏa mãn.

● Với $c = \sqrt{5}$ $c = \sqrt{5}$, suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 2 \end{matrix} \right.\$ $\left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 2 \end{matrix} \right.\$.

Do đó Elip cần tìm có phương trình $(E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$.

C. Bài tập vận dụng viết phương trình elip

Bài tập 1: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:

a) Elip đi qua điểm $M\left( - \sqrt{5};2 \right)$ $M\left( - \sqrt{5};2 \right)$ và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10.

b) Elip có tâm sai $e = \frac{3}{5}$ $e = \frac{3}{5}$ và khoảng cách từ tâm đối xứng của nó đến một đường chuẩn bằng $\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$.

c) Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và phương trình một đường chuẩn là $x = \frac{25}{4}$ $x = \frac{25}{4}$.

d) Khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm $M$ thuộc Elip là 9 và 15.

Bài tập 2: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:

a) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} = 41$ $(C):x^{2} + y^{2} = 41$ và đi qua điểm $A(0;5)$.

b) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} = 21$ $(C):x^{2} + y^{2} = 21$ và điểm $M(1;2)$ nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc $60^{0}$ $60^{0}$.

c) Một cạnh hình chữ nhật cơ sở của Elip nằm trên $d:x - \sqrt{5} = 0$ $d:x - \sqrt{5} = 0$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng 6.

d) Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Bán kính của đường tròn nội tiếp hình thoi bằng $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ và tâm sai của Elip bằng $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

------------------------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm được quy trình lập phương trình chính tắc của elip và biết cách vận dụng vào các dạng bài tập khác nhau trong chương trình Toán lớp 10. Với phần đáp án chi tiết và ví dụ minh họa, nội dung sẽ hỗ trợ bạn củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chủ đề Toán 10 hữu ích và bám sát chương trình học mới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: