Xác định Parabol y = ax^2 + bx + c
Cách xác định Parabol nhanh nhất từ dữ kiện đề bài
Trong chương trình Toán 10, việc xác định Parabol y = ax2 + bx + c đóng vai trò quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về đồ thị hàm số bậc hai. Đây là nền tảng để phân tích hình dạng Parabol, xác định đỉnh, trục đối xứng, hướng mở và ứng dụng vào giải bài tập. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn nhận dạng nhanh Parabol từ bảng giá trị, từ đồ thị hoặc từ dữ kiện cho trước, kèm theo bài tập hàm số bậc hai có đáp án chi tiết, giúp bạn nắm chắc lý thuyết và nâng cao kỹ năng làm bài.
A. Kiến thức cần nhớ
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức:
\(y = ax^{2} + bx + c\)
Trong đó \(x\) là biến số, \(a,b,c\)là các hằng số và \(a \neq 0\).
Tập xác định của hàm số bậc hai là \(\mathbb{R}\).
Chú ý:
+ Khi \(a = 0\), \(b \neq 0\), hàm số trở thành hàm số bậc nhất \(y = bx + c\).
+ Khi \(a = b = 0\), hàm số trở thành hàm hằng \(y = c\) .
Đồ thị hàm số \(y = ax^{2} + bx + c,a \neq
0\) là một parabol có:
- Đỉnh \(I\left( - \frac{b}{2a}; -
\frac{\Delta}{4a} \right)\).
- Trục đối xứng là đường thẳng \(x = -
\frac{b}{2a}\).
- Bề lõm hướng lên trên nếu \(a >
0\), hướng xuống dưới nếu \(a <
0\).
- Giao điểm với trục tung là \(M(0;c)\).
- Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình \(ax^{2} + bx + c = 0\).
B. Bài tập minh họa xác định parabol
Ví dụ 1: Xác định parabol \((P):y = 2x^{2}
+ bx + c,\) biết rằng \((P)\) đi qua điểm \(M(0;4)\) và có trục đối xứng \(x = 1.\)
A. \(y = 2x^{2} - 4x + 4.\) B. \(y = 2x^{2} + 4x - 3.\) C. \(y = 2x^{2} - 3x + 4.\) D. \(y = 2x^{2} + x + 4.\)
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có \(M \in (P)\overset{}{\rightarrow}c =
4.\)
Trục đối xứng \(- \frac{b}{2a} =
1\overset{}{\rightarrow}b = - 4.\)
Vậy \((P):y = 2x^{2} - 4x + 4.\)
Ví dụ 2: Biết rằng \((P):y = ax^{2} + bx +
2\) \((a > 1)\) đi qua điểm \(M( - 1;6)\) và có tung độ đỉnh bằng \(- \frac{1}{4}\). Tính tích \(T = ab.\)
A. \(P = - 3.\) B. \(P = - 2.\) C. \(P
= 192.\) D. \(P = 28.\)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Vì \((P)\) đi qua điểm \(M( - 1;6)\) và có tung độ đỉnh bằng \(- \frac{1}{4}\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{matrix}a - b + 2 = 6 \\- \frac{\Delta}{4a} = - \frac{1}{4}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a - b = 4 \\b^{2} - 4ac = a\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 4 + b \\b^{2} - 8(4 + b) = 4 + b\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 4 + b \\b^{2} - 9b - 36 = 0\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 16 \\
b = 12
\end{matrix} \right.\) (thỏa mãn \(a
> 1\)) hoặc \(\left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 3
\end{matrix} \right.\) (loại).
Suy ra \(T = ab = 16.12 = 192.\)
Ví dụ 3: Biết rằng hàm số \(y = ax^{2} + bx
+ c\ (a < 0)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\) tại \(x =
2\) và có đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0; - 1)\). Tính tổng \(S = a + b + c.\)
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có hệ
\(\left\{ \begin{matrix}
- \frac{b}{2a} = 2 \\
y(2) = 3 \\
c = - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = - 4a \\
4a + 2b + c = 3 \\
c = - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = - 4a \\
4a - 8a - 1 = 3 \\
c = - 1
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = 4 \\
c = - 1
\end{matrix} \right.\ \overset{}{\rightarrow}S = a + b + c =
2.\)
Ví dụ 4: Xác định parabol \((P):y = ax^{2}
- 4x + c\) biết rằng hoành độ đỉnh của \((P)\) bằng \(-
3\) và \((P)\) đi qua điểm \(M( - 2;1)\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
- \frac{- 4}{2a} = - 3 \\
4a + 8 + c = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 4 = 6a \\
4a + c = - 7
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - \frac{2}{3} \\
c = - \frac{13}{3}
\end{matrix} \right.\).
Vậy parabol \((P)\) có phương trình là \(y = - \frac{2}{3}x^{2} - 4x -
\frac{13}{3}\).
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho parabol \(y = ax^{2} + bx +
4\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x
= \frac{1}{3}\) và đi qua điểm \(A(1;3)\). Tổng giá trị \(a + 2b\) là
A. \(- \frac{1}{2}\). B. \(1\). C. \(\frac{1}{2}\). D. \(- 1\).
Bài tập 2: Xác định \((P):y = - 2x^{2} + bx
+ c\), biết \((P)\) có đỉnh là \(I(1;3)\).
A. \((P):y = - 2x^{2} + 3x + 1\). B. \((P):y = - 2x^{2} + 4x +
1\).
C. \((P):y = - 2x^{2} + 4x - 1\). D. \((P):y = - 2x^{2} - 4x + 1\).
Bài tập 3: Xác định hàm số bậc hai \(y =
2x^{2} + bx + c\), biết rằng đồ thị của nó có đỉnh là \(I( - 1;0)\).
Bài tập 4: Parabol \(y = ax^{2} + bx +
c\) đi qua \(A(8;0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\). Khi đó tích \(a.b.c\) bằng
A. \(- 10368\). B. \(10368\). C. \(6912\). D. \(-
6912\).
Bài tập 5: Xác định hàm số \(y = ax^{2} +
bx + c\), biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) tại \(x = -
2\) và đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\).
A. \(y = \frac{1}{2}x^{2} + 2x +
6\). B. \(y = x^{2} + 2x +
6\). C. \(y = x^{2} + 6x + 6\). D. \(y = x^{2} + x + 4\).
Bài tập 6: Biết rằng hàm số \(y = ax^{2} +
bx + c\ (a \neq 0)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) tại \(x =
2\) và có đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\). Tính tích \(P = abc\).
A. \(P = - 6\). B. \(P = - 3\). C. \(P
= 6\). D. \(P =
\frac{3}{2}\).
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
---------------------------------
Qua chuyên đề này, bạn đã hiểu cách xác định Parabol qua hệ số a, b, c, cách tìm đỉnh và trục đối xứng, cũng như vận dụng vào các dạng bài thực tế của hàm số bậc hai Toán 10. Hãy luyện tập thêm để thành thạo kỹ năng nhận diện đồ thị và giải nhanh những bài toán nâng cao. Theo dõi thêm các bài viết tiếp theo để củng cố toàn diện kiến thức hàm số và đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra.
