Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)

Bài tập Mệnh đề Toán 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 10: Mệnh đề chứa kí hiệu với mọi (∀) và kí hiệu tồn tại (∃) - Có đáp án

A. Kí hiệu với mọi, kí hiệu tồn tại
B. Cách xác định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)
C. Bài tập Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ có đáp án
D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bạn đang tìm hiểu về mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại) trong toán học? Hay bạn gặp khó khăn trong việc hiểu rõ ý nghĩa và cách sử dụng của các lượng từ phổ biến này? Bài viết này được thiết kế để giải đáp mọi thắc mắc của bạn! Chúng tôi sẽ đi sâu vào định nghĩa chi tiết, cách đọc và cách viết chuẩn các mệnh đề có chứa kí hiệu "mọi" và "tồn tại". Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, bạn còn được khám phá các ví dụ minh họa rõ ràng và bài tập thực hành có đáp án, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin ứng dụng vào các bài toán. Hãy cùng bắt đầu khám phá ngay!

A. Kí hiệu với mọi, kí hiệu tồn tại

Kí hiệu ∀: đọc là với mọi hoặc với tất cả.
Kí hiệu ∃: đọc là có một (tồn tại một) hay có ít nhất một (tồn tại ít nhất một).

B. Cách xác định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)

$"\forall x \in X,P(x)"$ : với mọi x thuộc X có tính chất P(x).
$"\exists x \in X,P(x)"$ : tồn tại (hoặc có một) x thuộc X có tính chất P(x).
Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"\forall x \in X,P(x)"$ là $"\exists x \in X,\overline{P(x)}"$
Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"\exists x \in X,P(x)"$ là $"\forall x \in X,\overline{P(x)}"$

Cách xác định mệnh đề

$''\forall x \in X,P(x)''$ đúng $\Leftrightarrow$ mọi $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ đúng.
$''\forall x \in X,P(x)''$ sai $\Leftrightarrow$ có $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ sai.
$''\exists x \in X,P(x)''$ đúng $\Leftrightarrow$ có $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ đúng.
$''\exists x \in X,P(x)''$ sai $\Leftrightarrow$ mọi $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ sai.

Ví dụ. Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của nó.

$P:\ "\exists x\mathbb{\in R},x^{2} + 1 = 0".$

Hướng dẫn giải

Mệnh đề P có thể phát biểu là: "Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0 ".

Phủ định của mệnh đề là: "Không tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0", tức là: "Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 khác 0".

Ta có thể viết mệnh đề phủ định của P là $\overline{P}:\ \forall x\mathbb{\in R},x^{2} + 1 \neq 0$ ".

Mệnh đề phủ định này đúng.

C. Bài tập Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ có đáp án

Bài 1. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề:

a. $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} + 1 \geq 0$ b. $\forall x\mathbb{\in R},\ x + 2 = x$

c. $\exists x\mathbb{\in Q},\ 9x^{2} - 4 = 0$ d. $\forall x\mathbb{\in Q},\ 3x^{2} - 5 = 0$ .

Hướng dẫn giải

a. Mệnh đề đúng vì x² + 1 ≥ 1 > 0.

b. Mệnh đề sai, vì chọn x = -2 nguyên thì (-2) + 2 = (-2) là sai.

c. Mệnh đề đúng, vì chọn x = 2/3 là số hữu tỉ thì 9x² - 4 = 0.

d. Mệnh đề sai, vì $3x^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}\mathbb{\notin Q}$ .

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} > 0$ . b) $\exists x\mathbb{\in R},\ x > x^{2}$ .

c) $\exists x\mathbb{\in Q},\ 4x^{2} - 1 = 0.$ d) $\forall n\mathbb{\in N},\ n^{2} > n.$

e) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} - x - 1 > 0.$ f) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} > 9 \Rightarrow x > 3.$ .

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề sai, vì x = 0 => x² = 0.

b) Mệnh đề đúng khi 0<x<1. Phát biểu: “Tồn tại số thực lớn hơn bình phương của nó”.

c) Mệnh đề đúng, giải phương trình $4x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\mathbb{\in Q}$ .

d) Mệnh đề sai, chẳng hạn với n = 1.

e) Mệnh đề sai, chẳng hạn với x = 1 =>x² - x - 1 = -1 < 0.

f) Mệnh đề sai, chẳng hạn x =-4.

Bài 3. Phủ định các mệnh đề:

a) $\forall x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ , x + y > 0. b) $\forall x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R},x + y > 0$ .

c) $\exists x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ , x + y > 0. d) $\exists x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$ , .

Hướng dẫn giải

a) Phủ định của mệnh đề đã cho là: $\exists x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$ , $x + y \leq 0$ .

b) Phủ định của mệnh đề đã cho là: $\exists x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ , $x + y \leq 0$ .

c) Phủ định của mệnh đề đã cho là: $\forall x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$ , $x + y \leq 0$ .

d) Phủ định của mệnh đề đã cho là: $\forall x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ , $x + y \leq 0$ .

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai, giải thích:

a. $\mathbb{\forall \in R},\ x > - 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ b. $\mathbb{\forall \in R},\ x > - 2 \Rightarrow x^{2} < 4$

c. $\mathbb{\forall \in R},\ x > 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ d. $\mathbb{\forall \in R},\ x^{2} > 4 \Rightarrow x > 2$ .

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 3 \Rightarrow x^{2} > 9.$ b) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} < 5 \Rightarrow x < \sqrt{5}.$

c) $\exists x\mathbb{\in R},\ 5x - 3x^{2} \leq 1$ . d) $\exists x\mathbb{\in R},\ x^{2} + 2x + 5$ là hợp số.

e) $\forall n\mathbb{\in N},\ n^{2} + 1$ không chia hết cho f) $\forall n\mathbb{\in N}*,\ n(n + 1)$ là số lẻ.

g) $\forall n\mathbb{\in N}*,\ n(n + 1)(n + 2)$ chia hết cho .

Bài 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a. $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 1 \Rightarrow \frac{2x}{x + 1} < 1$ .

b. $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 1 \Rightarrow \frac{2x}{x + 1} > 1$ .

c. $\forall x\mathbb{\in N},\ x^{2}$ chia hết cho 6 => x chia hết cho 6.

d. $\forall x\mathbb{\in N},\ x^{2}$ chia hết cho 9 => x chia hết cho 9.

Bài 4. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với $x\mathbb{\in R}$ . Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng?

a) P(x): "x² - 5x + 4 = 0".

b) P(x): "x² - 5x + 6 = 0".

Bài 5. Xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:

a) $\exists x\mathbb{\in Q},4x^{2} - 1 = 0$ . b) $\exists x\mathbb{\in N},n^{2} + 1$ chia hết cho 4.

c) $\exists x\mathbb{\in R},(x - 1)^{2} \neq x - 1$ . d) $\forall x\mathbb{\in N},n^{2} > n$ .

e) $\exists n\mathbb{\in N},n(n + 1)$ là một số chính phương.

Bài 6. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề:

a) $\forall x\mathbb{\in R},x^{2} - x + 1 > 0$ . b) $\exists n\mathbb{\in N},(n + 2)(n + 1) = 0$ .

c) $\exists x\mathbb{\in Q},x^{2} = 3$ . d) $\forall n\mathbb{\in N},2^{n} \geq n + 2$ .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1

a. Mệnh đề sai, vì mệnh đề $x > - 2 \Rightarrow {x^2} > 4$ sai khi x = 1.

b. Mệnh đề sai, vì mệnh đề $x > - 2 \Rightarrow {x^2} < 4$ sai khi x = 5.

c. Mệnh đề đúng, thật vậy, ta có: x > 2 => x – 2 > 0 và x > 0 nên $\Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 4 > 0 \Rightarrow {x^2} > 4$ .

d. Mệnh đề sai, vì ${x^2} > 4 \Rightarrow x > 2$ sai khi x = -3 .

Bài 2.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Phát biểu: “Với mọi số thực x , nếu x >3 thì ${x^2} > 9$ ”.

b) Đúng, vì ${x^2} < 5 \Leftrightarrow - \sqrt 5 < x < \sqrt 5$ .Phát biểu: “Với mọi số thực x , nếu ${x^2} < 5$ thì $x < \sqrt 5$ ”.

c) Đúng, vì bất phương trình đó có nghiệm. Phát biểu: “Tồn tại số thực x sao cho $5x - 3{x^2} \le 1$ ”.

d) Đúng, chẳng hạn $x = 1 \Rightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} + 5 = 8$ là hợp số.

e) Đúng, vì $n \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 1;2\left( {\bmod \,3} \right)$ nên ${n^2} + 1$ không chia hết cho 3.

f) Sai, trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chẵn nên tích của chúng là số chẵn.

g) Đúng, vì 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn nên $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 2$

Nếu $n = 3k \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = 3k\left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \vdots 3$

Nếu $n = 3k + 1 \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)\left( {3k + 3} \right) \vdots 3$

Nếu $n = 3k + 2 \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \left( {3k + 2} \right)\left( {3k + 3} \right)\left( {3k + 4} \right) \vdots 3$

Vì (2; 3) = 1 nên $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 6$

Phát biểu: “Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6”.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

------------------------------------------------

❓ FAQ – Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃ Toán 10

1. Kí hiệu ∀ trong Toán học có nghĩa là gì?

Kí hiệu: ∀

được đọc là: 👉 “Với mọi” hoặc “mọi”.

2. Kí hiệu ∃ có ý nghĩa gì?

Kí hiệu: ∃

được đọc là: 👉 “Tồn tại”.

3. Mệnh đề chứa lượng từ là gì?

Đó là mệnh đề: 👉 Có chứa kí hiệu ∀ hoặc ∃ để diễn tả tính đúng sai của một khẳng định.

4. Ví dụ về mệnh đề chứa kí hiệu ∀ là gì?

$\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge0$

5. Ví dụ về mệnh đề chứa kí hiệu ∃ là gì?

$\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=4$

6. Phủ định của mệnh đề chứa ∀ được thực hiện như thế nào?

Khi phủ định:

∀ đổi thành ∃
Nội dung mệnh đề đổi sang phủ định

7. Phủ định của mệnh đề chứa ∃ được thực hiện ra sao?

Khi phủ định:

∃ đổi thành ∀
Nội dung mệnh đề đổi sang phủ định

8. Những dạng bài tập thường gặp trong chuyên đề này là gì?

Xác định tính đúng sai của mệnh đề
Viết phủ định mệnh đề
Chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và kí hiệu toán học

9. Sai lầm phổ biến khi học lượng từ là gì?

Nhầm giữa ∀ và ∃
Phủ định sai mệnh đề
Không xác định đúng tập xác định

---------------------------------

Qua bài viết này, hy vọng bạn đã có cái nhìn toàn diện và sâu sắc về mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại). Việc hiểu rõ vai trò của các lượng từ này là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán logic và chứng minh trong toán học. Hãy luôn luyện tập với các ví dụ và bài tập đa dạng để củng cố kiến thức và tránh những sai lầm thường gặp. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về mệnh đề có lượng từ hoặc cần làm rõ thêm điều gì, đừng ngần ngại để lại bình luận phía dưới nhé! Chúc bạn học tốt và thành công trong hành trình chinh phục toán học!

Tải về

Chọn file muốn tải về: