VnDoc.com

Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)

Bài tập Mệnh đề Toán 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 10: Mệnh đề chứa kí hiệu với mọi (∀) và kí hiệu tồn tại (∃) - Có đáp án

A. Kí hiệu với mọi, kí hiệu tồn tại
B. Cách xác định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)
C. Bài tập Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ có đáp án
D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bạn đang tìm hiểu về mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại) trong toán học? Hay bạn gặp khó khăn trong việc hiểu rõ ý nghĩa và cách sử dụng của các lượng từ phổ biến này? Bài viết này được thiết kế để giải đáp mọi thắc mắc của bạn! Chúng tôi sẽ đi sâu vào định nghĩa chi tiết, cách đọc và cách viết chuẩn các mệnh đề có chứa kí hiệu "mọi" và "tồn tại". Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, bạn còn được khám phá các ví dụ minh họa rõ ràng và bài tập thực hành có đáp án, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin ứng dụng vào các bài toán. Hãy cùng bắt đầu khám phá ngay!

A. Kí hiệu với mọi, kí hiệu tồn tại

Kí hiệu ∀: đọc là với mọi hoặc với tất cả.
Kí hiệu ∃: đọc là có một (tồn tại một) hay có ít nhất một (tồn tại ít nhất một).

B. Cách xác định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)

$"\forall x \in X,P(x)"$ : với mọi x thuộc X có tính chất $P(x)$.
$"\exists x \in X,P(x)"$ : tồn tại (hoặc có một) x thuộc X có tính chất $P(x)$.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"\forall x \in X,P(x)"$ là $"\exists x \in X,\overline{P(x)}"$
Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"\exists x \in X,P(x)"$ là $"\forall x \in X,\overline{P(x)}"$

Cách xác định mệnh đề

$''\forall x \in X,P(x)''$đúng $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ mọi $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ đúng.
$''\forall x \in X,P(x)''$sai $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ có $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ sai.
$''\exists x \in X,P(x)''$đúng $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ có $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ đúng.
$''\exists x \in X,P(x)''$sai $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ mọi $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ $x_{0} \in X,P\left( x_{0} \right)$ sai.

Ví dụ. Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của nó.

$P:\$ $P:\ $

Hướng dẫn giải

Mệnh đề $P$ có thể phát biểu là: "Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0 ".

Phủ định của mệnh đề $P$ là: "Không tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0", tức là: "Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 khác 0".

Ta có thể viết mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}:\ \forall x\mathbb{\in R},x^{2} + 1 \neq 0$ $\overline{P}:\ \forall x\mathbb{\in R},x^{2} + 1 \neq 0$ ".

Mệnh đề phủ định này đúng.

C. Bài tập Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ có đáp án

Bài 1. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề:

a. $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} + 1 \geq 0$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} + 1 \geq 0$ b. $\forall x\mathbb{\in R},\ x + 2 = x$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x + 2 = x$

c. $\exists x\mathbb{\in Q},\ 9x^{2} - 4 = 0$ $\exists x\mathbb{\in Q},\ 9x^{2} - 4 = 0$ d. $\forall x\mathbb{\in Q},\ 3x^{2} - 5 = 0$ $\forall x\mathbb{\in Q},\ 3x^{2} - 5 = 0$.

Hướng dẫn giải

a. Mệnh đề đúng vì $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$.

b. Mệnh đề sai, vì chọn $x = - 2$ nguyên thì $( - 2) + 2 = ( - 2)$ là sai.

c. Mệnh đề đúng, vì chọn $x = \frac{2}{3}$ $x = \frac{2}{3}$ là số hữu tỉ thì $9x^{2} - 4 = 0$ $9x^{2} - 4 = 0$.

d. Mệnh đề sai, vì $3x^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}\mathbb{\notin Q}$ $3x^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}\mathbb{\notin Q}$.

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} > 0$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} > 0$. b) $\exists x\mathbb{\in R},\ x > x^{2}$ $\exists x\mathbb{\in R},\ x > x^{2}$.

c) $\exists x\mathbb{\in Q},\ 4x^{2} - 1 = 0.$ $\exists x\mathbb{\in Q},\ 4x^{2} - 1 = 0.$ d) $\forall n\mathbb{\in N},\ n^{2} > n.$ $\forall n\mathbb{\in N},\ n^{2} > n.$

e) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} - x - 1 > 0.$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} - x - 1 > 0.$ f) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} > 9 \Rightarrow x > 3.$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} > 9 \Rightarrow x > 3.$.

Hướng dẫn giải

a) Sai, vì $x = 0 \Rightarrow x^{2} = 0$ $x = 0 \Rightarrow x^{2} = 0$.

b) Đúng khi $0 < x < 1$. Phát biểu: “Tồn tại số thực lớn hơn bình phương của nó”.

c) Đúng, giải phương trình $4x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\mathbb{\in Q}$ $4x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\mathbb{\in Q}$.

d) Sai, chẳng hạn với $n = 1$.

e) Sai, chẳng hạn với $x = 1 \Rightarrow x^{2} - x - 1 = - 1 < 0$ $x = 1 \Rightarrow x^{2} - x - 1 = - 1 < 0$.

f) Sai, chẳng hạn $x = - 4$.

Bài 3. Phủ định các mệnh đề:

a) $\forall x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$, $x + y > 0$. b) $\forall x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R},x + y > 0$ $\forall x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R},x + y > 0$.

c) $\exists x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ $\exists x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$, $x + y > 0$. d) $\exists x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$ $\exists x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$, $x + y > 0$.

Hướng dẫn giải

a) $\exists x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$ $\exists x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$, $x + y \leq 0$ $x + y \leq 0$.

b) $\exists x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ $\exists x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$, $x + y \leq 0$ $x + y \leq 0$.

c) $\forall x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R},\exists y\mathbb{\in R}$, $x + y \leq 0$ $x + y \leq 0$.

d) $\forall x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R},\forall y\mathbb{\in R}$, $x + y \leq 0$ $x + y \leq 0$.

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai, giải thích :

a. $\mathbb{\forall \in R},\ x > - 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ $\mathbb{\forall \in R},\ x > - 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ b. $\mathbb{\forall \in R},\ x > - 2 \Rightarrow x^{2} < 4$ $\mathbb{\forall \in R},\ x > - 2 \Rightarrow x^{2} < 4$

c. $\mathbb{\forall \in R},\ x > 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ $\mathbb{\forall \in R},\ x > 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ d. $\mathbb{\forall \in R},\ x^{2} > 4 \Rightarrow x > 2$ $\mathbb{\forall \in R},\ x^{2} > 4 \Rightarrow x > 2$.

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 3 \Rightarrow x^{2} > 9.$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 3 \Rightarrow x^{2} > 9.$ b) $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} < 5 \Rightarrow x < \sqrt{5}.$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x^{2} < 5 \Rightarrow x < \sqrt{5}.$

c) $\exists x\mathbb{\in R},\ 5x - 3x^{2} \leq 1$ $\exists x\mathbb{\in R},\ 5x - 3x^{2} \leq 1$. d) $\exists x\mathbb{\in R},\ x^{2} + 2x + 5$ $\exists x\mathbb{\in R},\ x^{2} + 2x + 5$ là hợp số.

e) $\forall n\mathbb{\in N},\ n^{2} + 1$ $\forall n\mathbb{\in N},\ n^{2} + 1$ không chia hết cho $3.$ f) $\forall n\mathbb{\in N}*,\ n(n + 1)$ $\forall n\mathbb{\in N}*,\ n(n + 1)$ là số lẻ.

g) $\forall n\mathbb{\in N}*,\ n(n + 1)(n + 2)$ $\forall n\mathbb{\in N}*,\ n(n + 1)(n + 2)$ chia hết cho $6.$.

Bài 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a. $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 1 \Rightarrow \frac{2x}{x + 1} < 1$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 1 \Rightarrow \frac{2x}{x + 1} < 1$.

b. $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 1 \Rightarrow \frac{2x}{x + 1} > 1$ $\forall x\mathbb{\in R},\ x > 1 \Rightarrow \frac{2x}{x + 1} > 1$.

c. $\forall x\mathbb{\in N},\ x^{2}$ $\forall x\mathbb{\in N},\ x^{2}$ chia hết cho $6 \Rightarrow x$ $6 \Rightarrow x$ chia hết cho 6.

d. $\forall x\mathbb{\in N},\ x^{2}$ $\forall x\mathbb{\in N},\ x^{2}$ chia hết cho $9 \Rightarrow x$ $9 \Rightarrow x$ chia hết cho 9.

Bài 4. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$, với $x\mathbb{\in R}$ $x\mathbb{\in R}$. Tìm $x$ để $P(x)$ là mệnh đề đúng?

a) $P(x):\$ $P(x):\ $.

b) $P(x):\$ $P(x):\ $.

Bài 5. Xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:

a) $\exists x\mathbb{\in Q},4x^{2} - 1 = 0$ $\exists x\mathbb{\in Q},4x^{2} - 1 = 0$. b) $\exists x\mathbb{\in N},n^{2} + 1$ $\exists x\mathbb{\in N},n^{2} + 1$ chia hết cho 4.

c) $\exists x\mathbb{\in R},(x - 1)^{2} \neq x - 1$ $\exists x\mathbb{\in R},(x - 1)^{2} \neq x - 1$. d) $\forall x\mathbb{\in N},n^{2} > n$ $\forall x\mathbb{\in N},n^{2} > n$.

e) $\exists n\mathbb{\in N},n(n + 1)$ $\exists n\mathbb{\in N},n(n + 1)$là một số chính phương.

Bài 6. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề:

a) $\forall x\mathbb{\in R},x^{2} - x + 1 > 0$ $\forall x\mathbb{\in R},x^{2} - x + 1 > 0$. b) $\exists n\mathbb{\in N},(n + 2)(n + 1) = 0$ $\exists n\mathbb{\in N},(n + 2)(n + 1) = 0$.

c) $\exists x\mathbb{\in Q},x^{2} = 3$ $\exists x\mathbb{\in Q},x^{2} = 3$. d) $\forall n\mathbb{\in N},2^{n} \geq n + 2$ $\forall n\mathbb{\in N},2^{n} \geq n + 2$.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

------------------------------------------------

Qua bài viết này, hy vọng bạn đã có cái nhìn toàn diện và sâu sắc về mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại). Việc hiểu rõ vai trò của các lượng từ này là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán logic và chứng minh trong toán học. Hãy luôn luyện tập với các ví dụ và bài tập đa dạng để củng cố kiến thức và tránh những sai lầm thường gặp. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về mệnh đề có lượng từ hoặc cần làm rõ thêm điều gì, đừng ngần ngại để lại bình luận phía dưới nhé! Chúc bạn học tốt và thành công trong hành trình chinh phục toán học!

Tải về

Chọn file muốn tải về: