Tìm tọa độ đỉnh, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
Cách tìm tọa độ đỉnh và tiêu điểm của elip trong Toán 10
Trong nội dung Toán 10, việc xác định tọa độ đỉnh, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của elip là kỹ năng quan trọng để phân tích và nhận dạng phương trình elip trong mặt phẳng tọa độ. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước xác định đầy đủ các yếu tố đặc trưng của elip từ phương trình cho trước. Đồng thời, phần bài tập Toán 10 có đáp án sẽ giúp bạn luyện tập và ghi nhớ kiến thức một cách hiệu quả nhất.
A. Kiến thức cần nhớ
Cho Elip có phương trình chính tắc: 
\((E):\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =
1\) với \(b^{2} = a^{2} -
c^{2}\).
- Tiêu điểm \(F_{1}( - c;0),\
F_{2}(c;0)\).
- Tọa độ các đỉnh \(A_{1}( - a;0),\
A_{2}(a;0),\ B_{1}(0; - b),\ B_{2}(0;b)\).
- Độ dài trục lớn \(2a\).
- Độ dài trục bé \(2b\).
- Tiêu cự \(2c\)
B. Ví dụ minh họa tìm các yếu tố của Elip
Ví dụ 1: Cho elip có phương trình \(\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của Elip?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9}
= 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} = 36 \\
b^{2} = 9
\end{matrix} \right.\)
Mặt khác \(c^{2} = a^{2} - b^{2} = 36 - 9 =
27 \Rightarrow c = \pm \sqrt{27}\).
Vậy ta có hai tiêu điểm \(F_{1}\left( -
\sqrt{27};0 \right);F_{2}\left( \sqrt{27};0 \right)\) và có tiêu cự bằng \(2c = 2\sqrt{27}\).
Ví dụ 2: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của Elip: \((E):\ \frac{x^{2}}{4} +
\frac{y^{2}}{1} = 1\).
Hướng dẫn giải
Từ phương trình của \(c = \sqrt{a^{2} -
b^{2}} = \sqrt{3}\), ta có \(a = 2,b =
1\).
Suy ra \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} =
\sqrt{3}\).
Suy ra tọa độ các đỉnh là \(A_{1}( -
2;0);A_{2}(2;0);B_{1}(0; - 1);B_{2}(0;1)\).
Độ dài trục lớn \(A_{1}A_{2} = 4\), độ dài trục bé \(B_{1}B_{2} = 2\).
Tiêu cự \(F_{1}F_{2} = 2c =
2\sqrt{3}\), tiêu điểm là \(F_{1}\left(
- \sqrt{3};0 \right);F_{2}\left( \sqrt{3};0 \right)\).
Tâm sai của \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} =
\sqrt{3}\) là \(e = \frac{c}{a} =
\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Ví dụ 3: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:\((E):4x^{2} + 25y^{2} =
100\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(4x^{2} + 25y^{2} = 100
\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1\) suy ra \(a = 5;b = 2\) nên \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{21}\).
Do đó tọa độ các đỉnh là \(A_{1}( -
5;0);A_{2}(5;0);B_{1}(0; - 2);B_{2}(0;2)\).
Độ dài trục lớn \(A_{1}A_{2} = 10\), độ dài trục bé \(B_{1}B_{2} = 4\).
Tiêu cự \(F_{1}F_{2} = 2c =
2\sqrt{21}\), tiêu điểm là \(F_{1}\left( - \sqrt{21};0 \right);F_{2}\left(
\sqrt{21};0 \right)\).
Tâm sai của \((E)\) là \(e = \frac{c}{a} =
\frac{\sqrt{21}}{5}\).
C. Bài tập vận dụng xác định các yếu tố của Elip có đáp án
Bài tập 1: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: \((E):4x^{2} + 9y^{2} =
1\).
Bài tập 2: Tìm tâm sai của Elip biết:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 600.
b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600.
c) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự.
Bài tập 3. Trong mặt phẳng \((Oxy)\), cho elip \((E)\) có phương trình \(\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1\). Tìm tiêu cự của \((E)\).
A. \(F_{1}F_{2}\ = \ 12\) B. \(F_{1}F_{2}\ = \ 8\) C. \(F_{1}F_{2}\ = \ 2\sqrt{5}\) D. \(F_{1}F_{2}\ = \ 4\sqrt{5}\)
Bài tập 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm tiêu cự của elip \((E):\frac{x^{2}}{25} +
\frac{y^{2}}{16} = 1\).
Bài tập 5 : Tìm các tiêu điểm của Elip \(\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} =
1\).
A. \(F_{1}(3;\ 0);\) \(F_{2}(0;\ - 3)\). B. \(F_{1}\left( \sqrt{8};\ 0 \right);\) \(F_{2}\left( 0;\ - \sqrt{8} \right)\).
C. \(F_{1}( - 3;\ 0);\) \(F_{2}(0;\ - 3)\). D. \(F_{1}\left( - \sqrt{8};\ 0 \right);\) \(F_{2}\left( \sqrt{8};\ 0 \right)\).
Bài tập 6. Elip \((E):\frac{x^{2}}{25} +
\frac{y^{2}}{9} = 1\) có độ dài trục lớn bằng bao nhiêu?
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
------------------------------------------
Qua nội dung trên, bạn đã nắm được cách xác định các yếu tố quan trọng của elip như đỉnh, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai và độ dài các trục. Với hệ thống ví dụ và bài tập có đáp án, bài viết hy vọng giúp bạn hiểu sâu bản chất và tự tin xử lý mọi dạng bài liên quan trong chương trình Toán 10. Hãy tiếp tục theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chủ đề hình học giải tích hay và hữu ích.
