Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm tọa độ tâm và tìm bán kính
Xác định tâm, bán kính của đường tròn trong Oxy
Trong chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy, việc nhận dạng phương trình đường tròn, tìm tọa độ tâm và tìm bán kính là kỹ năng nền tảng, giúp học sinh nắm vững hình học giải tích và giải quyết nhiều dạng bài tập quan trọng trong Toán THPT. Bài viết này tổng hợp đầy đủ kiến thức cốt lõi, phân biệt các dạng phương trình đường tròn, hướng dẫn cách đưa phương trình về dạng chuẩn và cách xác định tâm – bán kính nhanh chóng và chính xác.
A. Cách xác định phương trình đường tròn
Phương trình về dạng: 
\((C)\ :\ \ x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by +
c = 0\) (1)
Xét dấu biểu thức \(P = a^{2} + b^{2} - c\)
- Nếu \(P > 0\) thì (1) là phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}\)
- Nếu \(P \leq 0\) thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
- Phương trình về dạng: \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = P\) (2).
- Nếu \(P > 0\) thì (2) là phương trình đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R = \sqrt{P}\)
- Nếu \(P \leq 0\) thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
B. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) \(x^{2} + y^{2} + xy + 4x - 2 = 0\); b) \(x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 5 =
0\);
c) \(x^{2} + y^{2} + 6x - 8y + 1 =
0\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(x^{2} + y^{2} + xy + 4x - 2 =
0\) không phải là phương trình của một đường tròn vì có \(xy\).
b) Ta có: \(x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 5 =
0\)
\(\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}
= 0\) không phải là phương trình của một đường tròn vì \(R = 0\).
c) Ta có: \(x^{2} + y^{2} + 6x - 8y + 1 =
0\)
\(\Leftrightarrow (x + 3)^{2} + (y - 4)^{2}
= \left( 2\sqrt{6} \right)^{2}\) là phương trình của đường tròn tâm \(I( - 3;4)\), bán kính \(R = 2\sqrt{6}\).
Ví dụ 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
a) \(\ x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 9 =
0\) (1) b) \(x^{2} + y^{2} - 6x + 4y +
13 = 0\) (2)
c) \(2x^{2} + 2y^{2} - 6x - 4y - 1 =
0\) (3) d) \(2x^{2} + y^{2} + 2x - 3y +
9 = 0\) (4)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (1) có dạng \(\ x^{2} +
y^{2} - 2ax - 2by + c = 0\)với \(a =
- 1;\ \ \ b = 2;\ \ \ c = 9\)
Ta có \(a^{2} + b^{2} - c = 1 + 4 - 9 <
0\)
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: \(a^{2} + b^{2} - c = 9 + 4 - 13
= 0\)
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có: \((3) \Leftrightarrow x^{2} +
y^{2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0\)
Suy ra: \(P = a^{2} + b^{2} - c = \left(
\frac{3}{2} \right)^{2} + 1^{2} - \left( - \frac{1}{2} \right) =
\frac{15}{4} > 0\)
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( \frac{3}{2};1 \right)\) bán kính \(R = \frac{\sqrt{15}}{2}\)
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^{2}\) và \(y^{2}\) khác nhau.
Ví dụ 3: Tìm tâm và tính bán kính của các đường tròn sau:
a) \((x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 36\) b) \(x^{2} + (y + 2)^{2} = 5\)
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn \((x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} =
36\) có tâm là điểm \(I( -
3;3)\), có bán kính \(R =
6\).
b) Đường tròn \(x^{2} + (y + 2)^{2} =
5\) có tâm là điểm \(I(0; -
2)\), có bán kính \(R =
\sqrt{5}\).
Ví dụ 4: Cho phương trình \(\ x^{2} + y^{2}
- 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0\) (1)
a) Tìm điều kiện của \(m\) để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \(a^{2} + b^{2} - c > 0\)
Với \(a = m;\ \ b = 2(m - 2);\ \ c = 6 -
m\)
Hay \(m^{2} + 4(m - 2)^{2} - 6 + m >
0\)
\(\Leftrightarrow 5m^{2} - 15m + 10 > 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m > 2 \\
m < 1
\end{matrix} \right.\)
b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm \(I\left( m;2(m - 2) \right)\) và bán kính: \(R = \sqrt{5m^{2} - 15m + 10}\)
D. Bài tập tự rèn luyên có hướng dẫn giải chi tiết
1. Bài tập tự luận
Bài tập 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \(x^{2} + y^{2} - 2x - 2y - 2 =
0.\) b) \(16x^{2} + 16y^{2} + 16x - 8y
= 11.\)
Bài tập 2: Cho phương trình đường cong \((C_{m})\):\(\
x^{2} + y^{2} + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0\) (2)
a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn \((C_{m})\) luôn đi qua hai điểm cố định.
2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I) \(x^{2} + y^{2} - 4x + 15y - 12 =
0\).
(II) \(x^{2} + y^{2} - 3x + 4y + 20 =
0\).
(III) \(2x^{2} + 2y^{2} - 4x + 6y + 1 =
0\).
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
----------------------------------------------------
Qua những hướng dẫn chi tiết và các bài tập minh họa trong bài viết, chắc hẳn bạn đã nắm rõ cách nhận dạng phương trình đường tròn, cách tìm tâm – bán kính và cách chuyển về dạng chuẩn trong mặt phẳng Oxy Toán lớp 10. Đây là kỹ năng quan trọng không chỉ trong chương trình Toán THPT mà còn giúp bạn giải tốt các đề thi học kỳ và thi lên lớp trên.
