Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đánh giá
Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đánh giá lớp 10
Bạn đang tìm cách giải bất phương trình chứa căn một cách nhanh chóng, logic và dễ hiểu? Trong chương trình Toán 10, dạng bài này thường khiến nhiều học sinh lúng túng vì vừa phải xử lý biểu thức căn bậc hai, vừa phải đặt điều kiện xác định và đánh giá giá trị. Bài viết “Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đánh giá” dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết để bạn rèn luyện và áp dụng hiệu quả trong các đề kiểm tra hay kỳ thi. Đặc biệt, phần “Giải bất phương trình chứa căn lớp 10” được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, phù hợp cả cho học sinh khá giỏi muốn nâng cao kỹ năng.
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
A. Bài tập minh họa giải bất phương trình bằng đánh giá
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 
\(\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\le 2\)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-1\ge 0 \\
x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}\ge 0 \\
x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 1\)
Xét vế trái của bất phương trình ta có:
\(\begin{align}
& VT=\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}} \\
& \ge 2\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}.\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=2 \\
\end{align}\)
Bất phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\
\Leftrightarrow x=1\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(x=1\)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: \(\sin x\ge \sqrt{{{x}^{2}}+1}\)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(\forall x\in \mathbb{R}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
\sin x\le 1 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ge 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Do đó bất phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{matrix}
\sin x=1 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+1}=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=0\)
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: \(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}\ge -{{x}^{2}}+2(*)\)
Hường dẫn giải
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
1-2x\ge 0 \\
1+2x\ge 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le \dfrac{1}{2} \\
x\ge \dfrac{-1}{2} \\
\end{matrix} \right. \right.\)
Với điều kiện này ta có: \(2-{{x}^{2}}>0\)
\(\left( * \right)\Leftrightarrow 2+2\sqrt{1-4{{x}^{2}}}\ge {{\left( 2-2x \right)}^{2}}
\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2\sqrt{1-4{{x}^{2}}}+2\le 0\)
\(\Leftrightarrow 1-4{{x}^{2}}-2\sqrt{1-4{{x}^{2}}}+1+{{x}^{4}}\le 0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{1-4{{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}+{{x}^{4}}\le 0\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
\sqrt{1-4{{x}^{2}}}-1=0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x=0 \right.\)
Vậy bất phương trình có nghiệm: x = 0.
Ví dụ 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\sqrt{x - 2018} > \sqrt{2018 - x}\)?
A. \(S = \left\{ 2018 \right\}\) B. \(S = \varnothing\)
C. \(S = ( - \infty;2018)\) D. \(S = (2018; + \infty)\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{matrix}
x - 2018 \geq 0 \\
2018 - x \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \geq 2018 \\
x \leq 2018 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 2018\).
Dễ thấy \(x = 2018\) không thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Vậy \(S = \varnothing\).
Ví dụ 5. Giải bất phương trình: \(\sqrt{x^{2} + 2x + 92} \geq x^{2} + 2x + \sqrt{x -
1} + 1\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x \geq 1\)
Bất phương trình \(\Leftrightarrow
\sqrt{x^{2} + 2x + 92} - 10 \geq (x^{2} + 2x - 8) + (\sqrt{x - 1} -
1)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{x^{2} + 2x - 8}{\sqrt{x^{2} + 2x + 92} + 10} \geq(x - 2)(x + 4) + \dfrac{x - 2}{\sqrt{x - 1} + 1}\)
\(\Leftrightarrow (x - 2)\left\lbrack \dfrac{x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2x + 92}+ 10} - (x + 4) - \dfrac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} \right\rbrack \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x - 2)\left\lbrack (x +
4)(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2x + 92} + 10} - 1) - \frac{1}{\sqrt{x - 1} +
1} \right\rbrack \geq 0\)
Ta có: \((x + 4)(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2x
+ 92} + 10} - 1) - \frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} < 0,\forall x \geq
1\)
Do đó bất phương trình \(\Leftrightarrow x
- 2 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 2\)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: \(1 \leq x \leq 2\)
Ví dụ 6. Giải bất phương trình: \(\sqrt{x^{2} + 35} < 5x - 4 + \sqrt{x^{2} +
24}\)
Hướng dẫn giải
Bất phương trình tương đương
\(\sqrt{x^{2} + 35} - \sqrt{x^{2} + 24}
< 5x - 4\)
\(\Leftrightarrow \frac{11}{\sqrt{x^{2} +
35} + \sqrt{x^{2} + 24}} < 5x - 4\)
\(\Leftrightarrow 11 < (5x -
4)(\sqrt{x^{2} + 35} + \sqrt{x^{2} + 24})\)
Xét:
a) Nếu x\(\leq \frac{4}{5}\) không thỏa mãn bất phương trình
b) Nếu x > 4/5:
Hàm số \(y = (5x - 4)(\sqrt{x^{2} + 35} +
\sqrt{x^{2} + 24})\) với x > 4/5
y'=\(5(\sqrt{x^{2} + 35} +
\sqrt{x^{2} + 24}) + (5x - 4)(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 35}} +
\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 24}})\)> 0 mọi x > 4/5
Vậy Nếu 4/5 < x \(\leq\) 1 thì y(x) \(\leq\)11
+ Nếu x > 1 thì y(x)>11
Vậy nghiệm BPT x>1
Ví dụ 7. Giải bất phương trình: \(\sqrt{2x^{2} - 4x + 6} - \sqrt{2x - 1} > x -
2,\ \ x\mathbb{\in R}.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện x ≥ \(\frac{1}{2}\).
Biến đổi bất phương trình về dạng: \(\sqrt{2(x - 2)^{2} + 2(2x - 1)} > x - 2 +
\sqrt{2x - 1}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{matrix}
u = x - 2 \\
v = \sqrt{2x - 1} \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\) Khi đó, bất phương trình có dạng: \(\sqrt{2u^{2} + 2v^{2}} > u + v\) (1)
Ta có: \(\sqrt{2\left( u^{2} + v^{2}
\right)} \geq \sqrt{(u + v)^{2}} = |u + v| \geq u + v\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(u =
v\)
Vậy \((1) \Leftrightarrow u \neq
v\)
Xét trường hợp \(u = v\), ta có: \(\sqrt{2x - 1} = x - 2 \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 2 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 5 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\lbrack \frac{1}{2}; + \infty
\right)\backslash\left\{ 5 \right\}\).
B. Bài tập tự rèn luyện giải bất phương trình bằng phương pháp đánh giá
Bài 1: Giải bất phương trình sau: \(\cos x\le \sqrt{{{x}^{2}}+1}\)
Bài 2: Giải bất phương trình sau: \(\sqrt{{{\left( 2{{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{4{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+25{{x}^{2}}}<2x+1\)
Bài 3: Giải bất phương trình sau: \(\sqrt{x-1}-\sqrt{2{{x}^{2}}-10x+16}\ge 3-x\)
---------------------------------------------------
Qua những phân tích và ví dụ trên, bạn đã thấy rằng giải bất phương trình chứa căn bằng cách đánh giá không hề khó nếu nắm chắc điều kiện xác định, biết cách biến đổi và so sánh giá trị. Khi luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin xử lý mọi dạng bất phương trình chứa căn lớp 10 trong thời gian ngắn nhất và đạt kết quả cao.
Hãy lưu bài viết này lại, chia sẻ cùng bạn bè hoặc tham khảo thêm các chuyên đề Toán khác để củng cố kiến thức toàn diện hơn. Chúc bạn học tốt, giải nhanh – làm đúng mọi bài bất phương trình chứa căn trong chương trình Toán 10 và chinh phục điểm số cao nhất!
