Công thức Heron, cách tính diện tích tam giác bằng công thức Heron

Công thức Heron lớp 10

Công thức Hê Rông (Heron)

Công thức Heron, cách tính diện tích tam giác bằng công thức Heron được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Các bạn tham khảo bài viết dưới đây để biết cách tính diện tích tam giác bằng công thức Heron.

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 10. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Công thức Heron là công thức tính diện tích của một tam giác theo độ dài 3 cạnh. Đây là công thức mang tên nhà toán học Heron của Alexandria.

Công thức Heron, cách tính diện tích tam giác bằng công thức Heron

Công thức Heron được viết như sau:

Gọi S là diện tích và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b và c

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Với p là nửa chu vi của tam giác.

$p=\frac{a+b+c}{2}$ $p=\frac{a+b+c}{2}$

Công thức Heron còn có thể được viết lại bằng:

$\begin{aligned} S=& \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4} \\ S &=\frac{\sqrt{2\left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}{4} \\ & S=\frac{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}{4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} S=& \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4} \\ S &=\frac{\sqrt{2\left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}{4} \\ & S=\frac{\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}{4} \end{aligned}$

Cách chứng minh công thức Heron

Cách chứng minh này sử dụng đại số và lượng giác

Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

$\cos (C)=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$ $\cos (C)=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$

Từ đó:

$\sin (C)=\sqrt{1-\cos ^{2}(C)}=\frac{\sqrt{4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}}}{2 a b}$ $\sin (C)=\sqrt{1-\cos ^{2}(C)}=\frac{\sqrt{4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}}}{2 a b}$

Dựa vào đường cao và sin của góc C. Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

$\begin{aligned} S &=\frac{1}{2} a b \sin (C) \\ &=\frac{1}{4} \sqrt{4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{4} \sqrt{\left(2 a b-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\right)\left(2 a b+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\right)} \\ &=\frac{1}{4} \sqrt{\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)} \end{aligned}$ $\begin{aligned} S &=\frac{1}{2} a b \sin (C) \\ &=\frac{1}{4} \sqrt{4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{4} \sqrt{\left(2 a b-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\right)\left(2 a b+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\right)} \\ &=\frac{1}{4} \sqrt{\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)} \end{aligned}$

$\begin{array}{l} =\frac{1}{4} \sqrt{(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)} \\ =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{array}$ $\begin{array}{l} =\frac{1}{4} \sqrt{(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)} \\ =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{array}$

Vậy nếu các bạn muốn tính diện tích tam giác với ba cạnh a, b, c thì các bạn cần tính nửa chu vi của tam giác với công thức:

$p=\frac{a+b+c}{2}$ $p=\frac{a+b+c}{2}$

Sau đó áp dụng công thức tính diện tích Heron để tính diện tích tam giác:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Trên đây là công thức Heron, cách tính diện tích tam giác bằng công thức Heron. Hi vọng qua bài viết này các bạn sẽ có thêm kiến thức về công thức Heron và áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác nhanh chóng. Chúc các bạn thành công!

.........................................

Ngoài Công thức Heron, cách tính diện tích tam giác bằng công thức Heron. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu lớp 10 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Chia sẻ, đánh giá bài viết

6

11.525