Tìm hàm số bậc hai thỏa điều kiện cho trước
Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện
Trong chương trình Toán 10, dạng toán tìm hàm số bậc hai thỏa các điều kiện cho trước là một chủ đề quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về cấu trúc hàm số và ứng dụng của đồ thị parabol. Đây là dạng bài rèn luyện khả năng tư duy, thiết lập phương trình và xử lý dữ liệu một cách logic. Bài viết Tìm hàm số bậc hai thỏa điều kiện cho trước sẽ hướng dẫn bạn phương pháp giải bài hiệu quả, trình tự thực hiện rõ ràng và ví dụ minh họa cụ thể. Tài liệu thuộc Bài tập Toán 10 Hàm số, phù hợp cho học sinh muốn củng cố kiến thức, luyện thi và nâng cao kỹ năng giải toán.
A. Cách tìm hàm số bậc hai
Để xác định hàm số bậc hai 
\(y = f(x) =ax^2 + bx + c\) (đồng nghĩa với xác định các tham số \(a,\ \ b,\ \ c\)) ta cần dựa vào giả thiết để lập nên các phương trình (hệ phương trình) ẩn là \(a,\ \ b,\ \ c\). Từ đó tìm được \(a,\ \ b,\ \ c\). Việc lập nên các phương trình nêu ở trên thường sử dụng đến các kết quả sau:
- Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left(
x_{0};\ \ y_{0} \right)\ \ \Leftrightarrow \ \ y_{0} = f\left( x_{0}
\right)\).
- Đồ thị hàm số có trục đối xứng \(x =
x_{0}\ \ \Leftrightarrow \ \ - \frac{b}{2a} = x_{0}\).
- Đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left(
x_{I};\ \ y_{I} \right)\ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix}
- \frac{b}{2a} = x_{I} \\
- \frac{\Delta}{4a} = y_{I}
\end{matrix} \right.\) \(\left( \
\left\{ \begin{matrix}
- \frac{b}{2a} = x_{I} \\
f\left( x_{I} \right) = y_{I}
\end{matrix} \right.\ \right)\).
- Trên \(\mathbb{R}\), ta có:
- \(f(x)\) có giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow \ \ a < 0\). Lúc này gí trị lớn nhất của \(f(x)\) là \(- \frac{\Delta}{4a} = f\left( - \frac{b}{2a}
\right)\).
- \(f(x)\) có giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow a > 0\). Lúc này giá trị nhỏ nhất \(f(x)\) là \(- \frac{\Delta}{4a} = f\left( - \frac{b}{2a}
\right)\).
B. Bài tập minh họa xác định hàm số bậc hai
Ví dụ 1: Xác định parabol \(y = ax^{2} + bx
+ 1\), trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm \(A(1;0)\) và \(B(2;4)\);
b) Đi qua điểm \(A(1;0)\) và có trục đối xứng \(x = 1\);
c) Có đỉnh \(I(1;2)\).
Hướng dẫn giải
a) Vì parabol \(y = ax^{2} + bx +
1\) đi qua điểm \(A(1;0)\) nên ta có :
\(0 = a.1^{2} + b.1 + 1 \Leftrightarrow a
+ b = - 1\ \ \ \ (1)\)
Vì parabol \(y = ax^{2} + bx + 1\) đi qua điểm \(B(2;4)\) nên ta có :
\(4 = a.2^{2} + b.2 + 1 \Leftrightarrow 4a
+ 2b = 3\ \ \ (2)\)
Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{matrix}
a = \frac{5}{2} \\
b = - \frac{7}{2}
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(y = \frac{5}{2}x^2 - \frac{7}{2}x +1\)
b) Đi qua điểm \(A(1;0)\) và có trục đối xứng \(x = 1\);
Vì parabol \(y = ax^{2} + bx + 1\) đi qua điểm \(A(1;0)\) nên ta có \(0 = a.1^{2} + b.1 + 1 \Leftrightarrow a + b = - 1\
\ (1)\)
Vì parabol \(y = ax^{2} + bx + 1\) có trục đối xứng \(x = 1\)nên ta có \(- \frac{b}{2a} = 1 \Rightarrow - b = 2a
\Rightarrow 2a + b = 0\ \ (2)\)
Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(y = x^{2} - 2x + 1\)
c) Vì parabol \(y = ax^{2} + bx +
1\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
2 = a.1^{2} + b.1 + 1 \\
- \frac{b}{2a} = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a + b = 1 \\
2a + b = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(y = - x^{2} + 2x + 1\)
Ví dụ 2: Xác định parabol \((P):\ y\ = \
ax^{2} + bx + 2\), biết rằng \((P)\) đi qua điểm \(M(1\ ;\ 5)\) và có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
a + b + 2 = 5 \\
- \frac{b}{2a} = - \frac{1}{4}
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a + b = 3 \\
a = 2b
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 2 \\
b = 1
\end{matrix} \right.\) .
Vậy \((P)\) có phương trình là \(y = 2x^{2} + x + 2\).
C. Bài tập vận dụng tìm hàm số bậc hai (P) có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1: Tìm parabol \((P)\):\(y =
ax^{2} + bx + c\), biết rằng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1\ ;\ - 1)\), \(B(2\ ;\ 3)\), \(C( - 1\ ;\ - 3)\).
Bài tập 2. Tìm Parabol \(y = ax^{2} + bx +
c\) đi qua \(A(8;0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\).
Bài tập 3: Tìm parabol \((P):\ y\ = \
ax^{2} + bx + 2\) đi qua điểm \(A( -
1;6)\) và có tung độ đỉnh \(-
0,25\).
Bài tập 4. Xác định hàm số \(y = ax^{2} +
bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng \(5\) tại \(x = -
2\) và có đồ thị đi qua điểm \(M(1;- 1)\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
----------------------------------------
Sau khi nghiên cứu bài viết, bạn đã nắm được cách thiết lập hàm số bậc hai dựa trên các điều kiện bài toán đưa ra, đồng thời có khả năng vận dụng thành thạo vào nhiều dạng đề khác nhau. Các ví dụ chi tiết sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn khi gặp dạng toán này trong kiểm tra hay thi cử. Hãy lưu lại tài liệu trong chuyên mục Bài tập Toán 10 Hàm số để tiếp tục ôn luyện và khám phá thêm những dạng bài nâng cao khác. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao!
