Vị trí tương đối của điểm với đường thẳng, đường tròn với đường tròn
Xác định vị trí tương đối trong mặt phẳng Oxy
Trong chương trình Hình học tọa độ, việc xác định vị trí tương đối của điểm với đường thẳng cũng như vị trí tương đối của hai đường tròn là kỹ năng quan trọng giúp học sinh hiểu rõ cấu trúc hình học và giải quyết nhanh các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn. Đây là nền tảng để xử lý hiệu quả những bài tập nâng cao và các dạng đề thi thường gặp trong chương trình Toán lớp 10.
Bài viết này cung cấp hệ thống phương pháp nhận biết vị trí tương đối một cách logic, từ các tiêu chí đại số đến kết luận hình học, kèm theo những bài tập chuẩn mực và đáp án chi tiết, giúp bạn nắm chắc kiến thức và vận dụng thành thạo vào thực hành.
A. Phương pháp xét vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính 
\(IM\)
+ Nếu \(IM < R\) suy ra M nằm trong đường tròn
+ Nếu \(IM = R\) suy ra M thuộc đường tròn
+ Nếu \(IM > R\) suy ra M nằm ngoài đường tròn
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta\) và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính \(d(I;\Delta)\)
+ Nếu \(d(I;\Delta) < R\) suy ra \(\Delta\) cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
+ Nếu \(d(I;\Delta)\ = R\) suy ra \(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn
+ Nếu \(d(I;\Delta) > R\) suy ra \(\Delta\) không cắt đường tròn
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng \(\Delta\) và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
3. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C')
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn (C') và tính \(II'\), \(R +
R',\ \ |R - R'|\)
+ Nếu \(II' > R + R'\) suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau
+ Nếu \(II'\ = R + R'\) suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
+ Nếu \(II'\ < |R -
R'|\) suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau
+ Nếu \(II'\ = |R - R'|\) suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
+ Nếu \(\ |R - R'| < II' < R
+ R'\) suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C') bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
B. Ví dụ về vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng, đường tròn
Ví dụ 1: Cho đường thẳng \(\Delta:x - y + 1
= 0\) và đường tròn \((C):x^{2} + y^{2}
- 4x + 2y - 4 = 0\)
a) Chứng minh điểm \(M(2;1)\) nằm trong đường tròn
b) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta\) và \((C)\).
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta'\) vuông góc với \(\Delta\) và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm \(I(2; -
1)\) và bán kính \(R = 3\).
Ta có \(IM = \sqrt{(2 - 2)^{2} + (1 +
1)^{2}} = 2 < 3 = R\) do đó M nằm trong đường tròn.
b) Vì \(d(I;\Delta) = \frac{|2 + 1 +
1|}{\sqrt{1 + 1}} = 2\sqrt{2} < 3 = R\) nên \(\Delta\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt.
c) Vì \(\Delta'\) vuông góc với \(\Delta\) và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên \(\Delta'\) vuông góc với \(\Delta\) và đi qua tâm I của đường tròn (C).
Do đó \(\Delta'\) nhận vectơ \(\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;1)\) làm vectơ pháp tuyến suy ra \(\Delta':1(x
- 2) + 1(y + 1) = 0\) hay \(x + y - 1 =
0\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(\Delta':x + y - 1 = 0\)
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn \((C):x^{2} + y^{2} - 2x -
6y - 15 = 0\) và \((C'):x^{2} +
y^{2} - 6x - 2y - 3 = 0\)
a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O.
Hướng dẫn giải
a) Cách 1: \((C)\) có tâm \(I(1;3)\) và bán kính \(R = 5\), \((C)\) có tâm \(I'(3;1)\) và bán kính \(R = \sqrt{13}\)
\(II' = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (1 -
3)^{2}} = 2\sqrt{2}\)
Ta thấy \(\left| R_{1} - R_{2} \right| <
I_{1}I_{2} < \left| R_{1} + R_{2} \right|\) suy ra hai đường tròn cắt nhau.
Cách 2: Xét hệ phương trình
\(\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + y^{2} - 2x - 6y - 15 = 0 \\
x^{2} + y^{2} - 6x - 2y - 3 = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + y^{2} - 2x - 6y - 15 = 0 \\
x - y - 3 = 0
\end{matrix} \right.\ \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(y + 3)^{2} + y^{2} - 2(y + 3) - 6y - 15 = 0 \\
x = y + 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y^{2} - y - 6 = 0 \\
x = y + 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
y = - 2 \\
y = 3
\end{matrix} \right.\ \\
x = y + 3
\end{matrix} \right.\
\end{matrix}\)
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là \(A(1; - 2)\) và \(B(6;3)\)
b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \(\overrightarrow{AB}(5;5)\) làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 5t \\
y = - 2 + 5t
\end{matrix} \right.\)
c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng \(x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0\)
(C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ \(\left\{ \begin{matrix}
1 + 4 - 2a + 4b + c = 0 \\
36 + 9 - 12a - 6b + c = 0 \\
c = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = \frac{7}{2} \\
b = \frac{1}{2} \\
c = 0
\end{matrix} \right.\)
Vậy (C"): \(x^{2} + y^{2} - 7x - y =
0\)
Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình
\(x^{2} + y^{2} - 2x - 6y - 15 + m\left(
x^{2} + y^{2} - 6x - 2y - 3 \right) = 0\) (*)
Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi \(- 15 + m.( - 3) = 0 \Leftrightarrow m = -
5\)
Khi đó phương trình (*) trở thành \(x^{2} +
y^{2} - 7x - y = 0\)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \(x^{2} + y^{2} - 7x - y = 0\)
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho đường tròn \((C):\ (x -
1)^{2} + (y + 3)^{2} = 10\) và đường thẳng \(\Delta:x + y + 1 = 0\) biết đường thẳng \(\Delta\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\). Tìm độ dài đoạn thẳng \(AB\).
Bài tập 2: Cho đường tròn \((C):x^{2} +
y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm I và đường thẳng \(\Delta:\sqrt{2}x + my + 1 - \sqrt{2} =
0\)
a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\Delta\) cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm m để diện tích tam giác \(IAB\) là lớn nhất.
Bài tập 3. Cho đường thẳng \(d:y - 2x + 1 =
0\) cắt đường tròn \((C):x^{2} + y^{2}
- 4x - 2y + 1 = 0\) tại hai điểm \(M,\
\ N\). Tính độ dài đoạn \(MN\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
---------------------------------------
Qua các phương pháp phân tích và ví dụ minh họa ở trên, hy vọng bạn đã hiểu rõ cách xác định vị trí tương đối của điểm với đường thẳng và đường tròn với đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Khi nắm vững các tiêu chí so sánh khoảng cách và bán kính, bạn sẽ dễ dàng giải nhanh mọi dạng toán thuộc chuyên đề này.
Hãy tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài tập Phương trình đường tròn có đáp án để củng cố kỹ năng và tăng tự tin khi làm bài. Đừng quên theo dõi các chuyên đề tiếp theo để cập nhật thêm phương pháp giải nhanh và mẹo làm bài hiệu quả.
