Nhận biết hàm số bậc hai. Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của (P)
Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng của Parabol
Hàm số bậc hai và đồ thị Parabol (P) là một trong những nội dung quan trọng nhất của chương trình Toán 10. Việc nhận biết dạng hàm số, xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng không chỉ giúp học sinh hiểu bản chất đồ thị mà còn hỗ trợ giải nhanh nhiều dạng bài thi. Trong bài viết Nhận biết hàm số bậc hai – Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của (P), bạn sẽ được hệ thống hóa kiến thức rõ ràng, kèm theo phương pháp làm bài và bài tập minh họa có lời giải chi tiết. Đây là nguồn tài liệu chất lượng thuộc chuyên mục Bài tập Toán 10 có đáp án, phù hợp cho cả học sinh đang học mới và ôn luyện nâng cao.
A. Bài toán 1. Nhận biết hàm số bậc hai. Tính giá trị của hàm số bậc hai
1. Phương pháp giải
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: 
\(y = ax^{2} + bx + c,\) trong đó \(x\) là biến số, \(a,b,c\) là các hằng số và \(a \neq 0\).
Tập xác định của hàm số bậc hai là \(\mathbb{R}\).
Chú ý:
+ Khi \(a = 0\), \(b \neq 0\), hàm số trở thành hàm số bậc nhất \(y = bx + c\).
+ Khi \(a = b = 0\), hàm số trở thành hàm hằng \(y = c\) .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong những hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?
a) \(y = 2x + 3.\) b) \(y = 10\) c) \(y = \frac{3x - 1}{2x +
1}.\) d) \(y = 4 - x^{2}\)
e) \(y = 2x^{2} + 4x - 1.\) f) \(y = 2\sqrt{x + 2} - 3.\) g) \(y = 2022x^{2}\)
Hướng dẫn giải
Những hàm số là hàm số bậc hai
d) \(y = 4 - x^{2}\) e) \(y = 2x^{2} + 4x - 1\) g) \(y = 2022x^{2}\)
Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = - 2x^{2} + 4x -
5.\) Tìm giá trị \(y\)tương ứng với giá trị \(x\) trong bảng sau:
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Hướng dẫn giải
Giá trị \(y\) tương ứng với giá trị \(x\) trong bảng là:
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-35 |
-21 |
-11 |
-5 |
-3 |
-5 |
-11 |
B. Bài toán 2. Xác định tọa độ đỉnh - Trục đối xứng của (P)
1. Phương pháp giải
Đồ thị hàm số \(y = ax^{2} + bx + c,a \neq
0\) là một parabol có:
Cách 1:
+ Tìm \(x = - \frac{b}{2a}\).
+ Thế \(x = - \frac{b}{2a}\) vào \(y = ax^{2} + bx + c,a \neq 0\) ta được \(y = - \frac{\Delta}{4a}\).
Kết luận:
Đỉnh \(I\left( - \frac{b}{2a}; -
\frac{\Delta}{4a} \right)\). Trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{b}{2a}\).
Cách 2: (Sử dụng cho trắc nghiệm)
Dùng máy tính Casio-Mode-5-3. Bỏ qua hai nghiệm là tọa độ đỉnh parabol.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm trục đối xứng của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y =
2x^{2}\) b) \(y = x^{2} -
4x\) c) \(y = 2x^{2}
+ 4x - 1.\) d) \(y = 3 -
2x^{2}.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét \(y = 2x^{2}\).
Ta có \(a = 2,\ b = 0 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = - \frac{0}{2.2} = 0.\)
Vậy trục đối xứng là đường thẳng \(x =
0\).
b) xét \(y = x^{2} - 4x\).
Ta có \(a = 1,\ b = - 4 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = - \frac{- 4}{2.1} = 2\)
Vậy trục đối xứng là đường thẳng \(x =
2.\).
c) Xét \(y = 2x^{2} + 4x - 1.\)
Ta có: \(- \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2.2} =
- 1\)
Vậy trục đối xứng là đường thẳng \(x = -
1.\).
d) Xét \(y = 3 - 2x^{2}.\)
Ta có \(a = - 2,\ b = 0 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = - \frac{0}{2.( - 2)} = 0\)
Vậy trục đối xứng là đường thẳng \(x =
0\).
Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh của các Parabol sau:
a) \(y = -
3x^{2}\) b) \(y = x^{2} +
2x\) c) \(y = 5 - 4x
- x^{2}.\) d) \(y = x^{2} -
1.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét \(y = - 3x^{2}\)
Ta có \(a = - 3,\ b = 0 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = - \frac{0}{2.( - 3)} = 0.\)
Thế \(x = 0\) vào \(y = - 3x^{2}\) ta được \(y = - 3.0^{2} = 0.\)
Vậy tọa độ đỉnh của Parabol là \(O(0;0).\)
b) Xét \(y = x^{2} + 2x\)
Ta có \(a = 1,\ b = 2 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = \frac{- 2}{2.1} = - 1\)
Thế \(x = - 1\) vào \(y = x^{2} + 2x\) ta được \(y = ( - 1)^{2} + 2( - 1) = - 1\)
Vậy tọa độ đỉnh của Parabol là \(I( - 1; -
1).\)
c) Xét \(y = 5 - 4x - x^{2}.\)
Ta có \(a = - 1,\ b = - 4 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = - \frac{( - 4)}{2.( - 1)} = - 2\)
Thế \(x = - 2\) vào \(y = 5 - 4x - x^{2}.\) ta được \(y = 5 - 4( - 2) - ( - 2)^{2} = 9.\)
Vậy tọa độ đỉnh của Parabol là \(I( -
2;9).\)
d) Xét \(y = x^{2} - 1.\)
Ta có \(a = 1,\ b = 0 \Rightarrow -
\frac{b}{2a} = 0.\)
Thế \(x = 0\) vào \(y = x^{2} - 1.\) ta được \(y = 0^{2} - 1 = - 1.\)
Vậy tọa độ đỉnh của Parabol là \(I(0; -
1).\)
Ví dụ 3. Cho parabol \((P):\ y = ax^{2} +
bx + 2\ .\) Xác định hệ số \(a\), \(b\) biết \((P)\) có đỉnh \(I(2; - 2)\).
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện: \(a \neq 0\).
+ \((P)\) có đỉnh \(I(2; - 2)\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{matrix}
- \frac{b}{2a} = 2 \\
- 2 = a.2^{2} + b.2 + 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a + b = 0 \\
4a + 2b = - 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 4
\end{matrix} \right.\).
C. Bài tập tự rèn luyện
Câu 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai:
A. \(y = 2x + 3.\) B. \(y = \frac{3x - 1}{2x + 1}.\) C. \(y = 2x^{2} + 4x - 1.\) D. \(y = 2\sqrt{x + 2} - 3.\)
Câu 2. Cho hàm số \(y = 4x^{2} - 3x +
1\), điểm nào thuộc đồ thị hàm số:
A. \(N(1;2)\) B. \(Q(0; - 1)\) C. \(P( - 2;10)\) D. \(M(2;1)\)
Câu 3. Cho hàm số \(y = 2x^{2} + 6x +
3\) có đồ thị (P). Trục đối xứng của (P) là
A. \(x = - \frac{3}{2}\) B. \(y = - \frac{3}{2}\) C. \(x = - 3\) D. \(x
= 3\)
Câu 4. Cho hàm số \(y = x^{2} + 4x\) có đồ thị (P). Hoành độ đỉnh của (P) là
A. \(x = 0.\) B. \(y = 0.\) C. \(x =
- 2.\) D. \(y = - 2.\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ
-------------------------------------------
Qua nội dung trên, bạn đã nắm được cách nhận biết hàm số bậc hai, công thức tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng, cũng như cách vận dụng vào bài tập thực tiễn. Các ví dụ và bài giải chi tiết sẽ giúp bạn tự tin hơn khi xử lý những câu hỏi liên quan đến đồ thị Parabol trong kiểm tra và học kỳ. Hãy lưu lại bài viết để tiếp tục ôn tập khi cần và khám phá thêm nhiều chủ đề khác trong chuyên mục Bài tập Toán 10 có đáp án. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao với chuyên đề hàm số bậc hai!
