Các dạng phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng lớp 10
Trong môn Toán học, phương trình đường thẳng là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài thi, kiểm tra. Việc hiểu rõ các dạng phương trình đường thẳng giúp học sinh không chỉ giải quyết các bài toán hình học hiệu quả mà còn là tiền đề để học tốt các chuyên đề về hình học tọa độ, phương trình mặt phẳng trong không gian sau này. Bài viết này sẽ tổng hợp và phân tích các dạng phương trình đường thẳng cơ bản và nâng cao, từ phương trình tổng quát, phương trình tiếp tuyến, đến các dạng phương trình đặc biệt trong mặt phẳng tọa độ. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết từng dạng và cách áp dụng chúng vào bài tập thực tế để dễ dàng làm quen với các kỹ thuật giải bài toán.
Loại 1: Các dạng phương trình đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình tổng quát
* Định nghĩa: Phương trình: 
\(\Delta :ax+by+c=0, a^{2}+b^{2}\neq 0\) là PTTQ của đường thẳng \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{n}\left ( a;b \right )\) làm vectơ pháp tuyến.
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
\(+)\ \Delta: ax+c=0, \left ( a\neq 0 \right )\) nên \(\Delta\) song song hoặc trùng với Oy.
\(+)\ \Delta: ay+c=0, \left ( a\neq 0 \right )\) nên \(\Delta\) song song hoặc trùng với Ox.
\(+)\ \Delta: ax+by=0, a^{2}+b^{2}\neq 0\) nên \(\Delta\) đi qua gốc tọa độ.
+) Phương trình dạng đoạn chắn \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) nên \(\Delta\) qua A (a; 0) B(0;b) (ab khác 0)
+) Phương trình đường thẳng dạng hệ số góc y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng)
Chú ý:
+) Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu \(k \neq 0\) đặt \(M = \Delta \cap
Ox\), gọi \(Mt\) là nửa đường thẳng \(\Delta\) ở phía trên \(Ox\). Khi đó \(k
= tan\widehat{xMt}\). (Hình 1)
+) Điều kiện để phương trình đường thẳng có thể quy được về dạng hệ số góc: phương trình đường thẳng \(ax + by + c
= 0\) có thể đưa được về dạng hệ số góc nếu \(b \neq 0\).
Như vậy, đường thẳng có phương thẳng đứng \((b = 0)\) không có dạng hệ số góc.
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Phương trình tham số:
Hệ \(\left\{ \begin{matrix}
x = x_{0} + at \\
y = y_{0} + bt \\
\end{matrix},\left( a^{2} + b^{2} \neq 0 \right) \right.\) là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) qua \(\left( x_{0};y_{0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}(a;b)\) làm vectơ chỉ phương, với \(t\) là tham số.
Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Phương trình tham số: Hệ \(\left\{
\begin{matrix}
x = x_{0} + at \\
y = y_{0} + bt \\
\end{matrix},\left( a^{2} + b^{2} \neq 0 \right) \right.\) là PTTS của đường thẳng \(\Delta\) qua \(\left( x_{0};y_{0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}(a;b)\) làm véc-tơ chỉ phương, với t là tham số.
Chú ý:
+) Ý nghĩa của phương trình tham số: - Thay mỗi \(t \in R\) vào phương trình tham số, ta được một điểm \(M(x;y) \in \Delta\).
Điểm \(M(x;y) \in \Delta\) thì có một số \(t\) sao cho \(x,y\) thỏa mãn hệ.
+) Một đường thẳng luôn có vô số PTTS.
Phương trình chính tắc: \(\frac{x -
x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}\ (ab \neq 0)\) là phương trình chính tắc của đường thẳng qua \(M_{0}\left(
x_{0};y_{0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}(a;b)\) là một vectơ chi phương.
Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng
\(\left\{ \begin{matrix}
\Delta\text{~qua~}M\left( x_{0};y_{0} \right) \\
\Delta\bot\overrightarrow{n}(a;b) \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \Delta:a\left( x - x_{0} \right) + b\left(
y - y_{0} \right) = 0 \right.\)
Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng biết vectơ chi phương và một điểm thuộc đường thẳng
\(\left\{ \begin{matrix}
\Delta\text{~qua~}M(x_{0};y_{0}) \\
\Delta//\overrightarrow{u}(a;b) \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
\Delta\text{~qua~}M\left( x_{0};y_{0} \right) \\
\Delta\bot\overrightarrow{n}(b; - a) \\
\end{matrix} \\
\Leftrightarrow \Delta:b\left( x - x_{0} \right) - a\left( y - y_{0}
\right) = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \right.\)
Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng
\(\left\{ \begin{matrix}
\Delta\text{~qua~}M(x_{0};y_{0}) \\
\Delta//\Delta^{'}:ax + by + c = 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
\Delta\text{~qua~}M\left( x_{0};y_{0} \right) \\
\Delta\bot\overrightarrow{n}(a;b) \\
\end{matrix} \\
\Leftrightarrow \Delta:a\left( x - x_{0} \right) + b\left( y - y_{0}
\right) = 0,(M \notin \Delta) \\
\end{matrix} \right.\ \right.\)
Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
\(\left\{ \begin{matrix}
\Delta\text{~qua~}M(x_{0};y_{0}) \\
\Delta\bot\Delta^{'}:ax + by + c = 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
\Delta quaM\left( x_{0};y_{0} \right) \\
\Delta\bot\overrightarrow{n}(b; - a) \\
\end{matrix} \\
\Leftrightarrow \Delta:b\left( x - x_{0} \right) - a\left( y - y_{0}
\right) = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \right.\)
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước
\(\left\{ \begin{gathered}
\Delta {\text{ }}qua{\text{ }}M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \hfill \\
\Delta {\text{ co he so goc k}} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \Delta :y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
.........................................
Nắm vững các dạng phương trình đường thẳng không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học cơ bản mà còn là bước đệm quan trọng để tiếp cận các kiến thức nâng cao trong toán học như phương trình mặt phẳng và không gian. Việc hiểu rõ các dạng phương trình này giúp bạn dễ dàng nhận diện dạng bài và tìm được hướng giải quyết tối ưu. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có cái nhìn tổng quan về các phương trình đường thẳng và cách vận dụng chúng một cách linh hoạt trong học tập. Đừng quên luyện tập thật nhiều với các bài tập thực tế để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
