Vecto chỉ phương và Bài tập vận dụng

Chắc hẳn các bạn học sinh đang gặp rất nhiều vấn đề về phương trình đường thẳng Toán hình 10: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì? Tìm vectơ chỉ phương của 2 điểm? Cách chuyển từ vectơ pháp tuyến sang vectơ chỉ phương? Cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng? Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến. VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Vectơ chỉ phương và Bài tập vận dụng giúp các bạn củng cố kiến thức, chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới nhé! Chúc các bạn học tập tốt! Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

• Bài tập công thức lượng giác lớp 10
• Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
• Giáo án ôn tập hè môn Toán lớp 10

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Vectơ chỉ phương là gì?

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó.

- Cho đường thẳng d. Ta có vecto _{\(\overrightarrow{u}\ne 0\)} được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d.

- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là VTCP của d thì _{\(\overrightarrow{ku}\)} cũng là VTCP của d.

- VTCP và VTPT vuông góc với nhau \(\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( a,b \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( -b,a \right)\). Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại.

- Ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó.

2. Hệ số góc của đường thẳng

- Phương trình đường thẳng d có dang: y = kx + b hay kx – y – b = 0

+ Hệ số góc của đường thẳng là k.

+ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{n}=\left( k,-1 \right)\)

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng là: \(\overrightarrow{u}=\left( 1,k \right)\)

Ví dụ: Cho phương trình đường thẳng 3x + 2y = 1. Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, hệ số góc của đường thẳng.

Hướng dẫn:

+ Vectơ chỉ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{n}=\left( 3,2 \right)\)

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng là: \(\overrightarrow{u}=\left( -2,3 \right)\)

+Ta viết lại phương trình đường thẳng \(y=\frac{-3}{2}x-\frac{1}{2}\). Hệ số góc của đường thẳng là \(\frac{3}{2}\).

3. Phương trình tham số của đường thẳng

- Đường thẳng d đi qua A(m, n) nhận _{\(\overrightarrow{u}=\left( a,b \right)\)} làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

\(d:\left\{ \begin{matrix} x=m+at \\ y=n+bt \\ \end{matrix} \right.\)

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số đi qua điểm A(1, 2) và vectơ chỉ phương _{\(\overrightarrow{u}=\left( 1,1 \right)\)}.

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ \end{matrix} \right.\)

Ví dụ 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(2, -1) và điểm B(1,3)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( -1,4 \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng là: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( -1,4 \right)\)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \begin{matrix} x=1-t \\ y=3+4t \\ \end{matrix} \right.\)

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận \(\vec{u}\) = ( 2; 4) làm VTCP?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto \(\vec{AB}\)( 4; m - 2) làm VTCP.

Lại có vecto \(\vec{u}\)(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto \(\vec{u}\) và \(\vec{AB}\) cùng phương nên tồn tại số k sao cho: \(\vec{u}\) = k\(\vec{AB}\)

⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = k.4} \\ {4 = k\left( {m - 2} \right)} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = \dfrac{1}{2}} \\ {m = 10} \end{array}} \right.} \right.\)

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. \(\vec{u_1}\) = (1; 0)

B. \(\vec{u_2}\) = (0; -1)

C. \(\vec{u_3}\)= (1; 1)

D. \(\vec{u_4}\) = (1; - 1)

Hướng dẫn giải

Trục Ox có phương trình là y = 0; đường thẳng này có VTPT \(\vec{n}\) = ( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto \(\vec{u}\) ( 1; 0) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là \(\vec{u_1}\) =(1; 0).

Ví dụ 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4)?

A. \(\vec{u_1}\) = (-1; 2)

B. \(\vec{u_2}\) = (2; 1)

C. \(\vec{u_3}\) = (- 2; 6)

D. \(\vec{u_4}\) = (1; 1)

Hướng dẫn giải

- Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto \(\vec{AB}\) = ( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto \(\vec{AB}\) và \(\vec{u}\) = ( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto \(\vec{u}\) = ( 2;1) là VTCP.

Ví dụ 6: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là:

A. \(\vec{u}\) = (2; -5)

B. \(\vec{u}\) = (2; 5)

C. \(\vec{u}\) = (5; 2)

D. \(\vec{u}\)=( -5; 2)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có VTPT là \(\vec{n}\)( 2 ;- 5) .

⇒ Đường thẳng có VTCP là \(\vec{u}\)( 5 ; 2).

4. Ứng dụng trong mặt phẳng tọa độ

Những bài toán ứng dụng tính chất của vectơ chỉ phương thường gặp nhất:

+ Xác định vectơ chỉ phương cho trước.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và VTCP cho trước.

+ Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng.

+ Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+ Biện luận, chứng minh phương trình đường thẳng.

Các tính chất của vecto chỉ phương sẽ xuất hiện xuyên suốt trong các bài tập tổng hợp về phương trình đường thẳng, học sinh cần nắm vững nội dung định nghĩa, tính chất của vectơ pháp tuyến.

5. Bài tập vận dụng vecto chỉ phương

Câu 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d x = 2+3t và y = -3-t là:

A. \(\xrightarrow[u_1]{}\) = (2; -3)

B. \(\xrightarrow[u_2]{}\) = (3; -1)

C. \(\xrightarrow[u_3]{}\) = (3; 1)

D. \(\xrightarrow[u_4]{}\) = (3; -3)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B (1; 4)?

A. \(\overrightarrow{u_1}\) = (-1; 2)

B. \(\overrightarrow{u_2}\) = (2; 1)

C. \(\overrightarrow{u_3}\) = (- 2; 6)

D. \(\overrightarrow{u_4}\) = (1; 1)

Câu 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng x = 2+3t và y = -3-t = 1 là:

A. \(\overrightarrow{u_4}\) = (-2; 3)

B. \(\overrightarrow{u_2}\) = (3; -2)

C. \(\overrightarrow{u_3}\) = (3; 2)

D. \(\overrightarrow{u_1}\) = (2; 3)

Câu 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là:

A. \(\overrightarrow u\) = (2; -5)

B. \(\overrightarrow u\) = (2; 5)

C. \(\overrightarrow u\) = (5; 2)

D. \(\overrightarrow u\)=( -5; 2)

Câu 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A. \(\overrightarrow n\) = (2; -2)

B. \(\overrightarrow n\) = (2; -1)

C. \(\overrightarrow n\) = (1; 1)

D. \(\overrightarrow n\) = (1; -2)

Câu 6: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. \(\overrightarrow{u_1}\) = (1; 0).

B. \(\overrightarrow{u_2}\) = (0; -1)

C. \(\overrightarrow{u_3}\) = (1; 1)

D. \(\overrightarrow{u_4}\) = (1; - 1)

Câu 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u\)  (1; 3) làm VTCP?

A. m = - 2

B. m = -1

C. m = 5

D. m = 2

Câu 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u\)( 2; 4) làm VTCP?

A. m = - 2

B. m = -8

C. m = 5

D. m = 10

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A. \(\overrightarrow u\) ( -a; b)

B. \(\overrightarrow u\)( a; b)

C.\(\overrightarrow u\)( a + b; 0)

D. \(\overrightarrow u\)( - a; - b)

Câu hỏi trắc nghiệm phương trình đường thẳng

-----------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Vectơ chỉ phương và Bài tập vận dụng. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được khái niệm về vecto chỉ phương, hệ số góc đường thằng, phương trình tham số của đường thẳng và các bài tập vận dụng. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Ngoài ra, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu học tập liên quan tới chương trình lớp 10 được chúng tôi biên soạn và tổng hợp tại các mục: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,...

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.