Bài tập công thức lượng giác lớp 10
Bài tập công thức lượng giác lớp 10
VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh Bài tập công thức lượng giác lớp 10 để bạn đọc cùng tham khảo. Các bài tập công thức lượng giác lớp 10 này sẽ giúp các bạn ôn tập và luyện các dạng bài tập về công thức lượng giác, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác... Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.
Phần 1: Hàm số lượng giác
1. Các công thức lượng giác cơ bản
a) 
\(sin^{2}x + cos^{2}x = 1\)
b) \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) c) \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)
d) \(1 + tan^{2}x =
\frac{1}{cos^{2}x}\)
e) \(1 + cot^{2}x
= \frac{1}{sin^{2}x}\)
f) \(\tan x.cotx
= 1\)
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau
cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx
tan(-x) = -tanx cot(-x) = -cotx
b) Hai cung bù nhau
sin(π - x) = sinx cos(π - x) = -cosx
tan(π - x) = -tanx cot(π - x) = -cotx
c) Hai cung khác nhau 2π
sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cosx
tan(x + 2π) = tanx cot(x + 2π) = cotx
d) Hai cung khác nhau π
sin(x + π) = -sinx cos(x + π) = -cosx
tan(x + π) = tanx cot(x + π) = cotx
e) Hai cung phụ nhau
\(\sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right) =
\cos x\) \(\cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) =
\sin x\)
\(\tan\left( \frac{\pi}{2} - x \right) =
\cot x\) \(\cot\left( \frac{\pi}{2} - x \right) =
\tan x\)
B. Bài tập hàm số lượng giác
1. Tìm các giá trị của để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
\(A = \frac{1}{{1 + \sin \alpha }}{\text{ ; }}B = \frac{1}{{1 - \cos \alpha }}\)
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin1230 - sin 1320 b) cot3040 - cot3160
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(5tan540^{o} + 2cos1170^{o} +
4sin990^{o} - 3cos540^{o}\)
b) \(3sin\frac{25\pi}{6} -
3tan\frac{13\pi}{4} + 2cos\frac{19\pi}{3}\)
c) \(sin^{2}15^{o} + sin^{2}35^{o} +
sin^{2}55^{o} + sin^{2}75^{o}\)
d) \(cos^{2}15^{o} + cos^{2}35^{o} +
cos^{2}55^{o} + cos^{2}75^{o}\)
e) \(sin^{2}\frac{\pi}{12} +
sin^{2}\frac{3\pi}{12} + sin^{2}\frac{5\pi}{12} + sin^{2}\frac{7\pi}{12}
+ sin^{2}\frac{9\pi}{12} + sin^{2}\frac{11\pi}{12}\)
f) \(cos^{2}\frac{\pi}{12} +
cos^{2}\frac{3\pi}{12} + cos^{2}\frac{5\pi}{12} + cos^{2}\frac{7\pi}{12}
+ cos^{2}\frac{9\pi}{12} + cos^{2}\frac{11\pi}{12}\)
g) \(sin(\pi + a) - \cos\left(
\frac{\pi}{2} + a \right) + cot(2\pi - a) + \tan\left( \frac{3\pi}{2} +
a \right)\)
h) \(A = sin^{4}a + cos^{2}a +
sin^{2}a.cos^{2}a\)
i) \(B = \frac{\left( \sin\frac{a}{2} +
\cos\frac{a}{2} \right)^{2} - 1}{\tan\frac{a}{2} -
\sin\frac{a}{2}.cos\frac{a}{2}}\)
j) \(C = \frac{cos^{2}696^{o} + tan( -
260^{o}).tan530^{o} - cos^{2}156}{tan^{2}252^{o} +
cot^{2}342^{o}}\)
k) \(\left\lbrack \tan\frac{17\pi}{4} +
\tan\left( \frac{7\pi}{2} - b \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack
\cot\frac{13\pi}{4} + \cot(7\pi - b) \right\rbrack^{2}\)
l) \(\left( \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 +
\sin x}} - \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)\left(
\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos
x}} \right)\)
m) \(sin^{3}a(1 + \cot a) + cos^{3}a(1 +
\tan a)\)
n) \(\frac{\tan b}{\tan b + \cot
b}\)
o) \(\frac{1 - cos^{4}a -
sin^{4}a}{cos^{4}a}\)
p) \(\frac{sin(x - \pi).cos(x -
2\pi).sin(2\pi - x)}{\sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right).cot(\pi -
x).cot\left( \frac{3\pi}{2} + x \right)}\)
q) \(\left\lbrack \sin\left( \frac{\pi}{2}
- x \right) + sin(\pi - x) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \cos\left(
\frac{3\pi}{2} - x \right) + cos(2\pi - x)
\right\rbrack^{2}\)
r) \(\sin\left( \frac{\pi}{3} - a
\right).tan\left( \frac{2\pi}{3} + a \right).cos\left( \frac{5\pi}{3} +
a \right) + tan(\pi + a).tan\left( \frac{3\pi}{2} - a
\right)\)
s) \(\frac{cot(5,5\pi - a) + tan(b -
4\pi)}{cot(a - 6\pi) - tan(b - 3,5\pi)}\)
t) \(tan50^{o}.tan190^{o}.tan250^{o}.tan260^{o}.tan400^{o}.tan700^{o}\)
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) \(sin(A + B) = \sin C;\ cos(B + C) = -
cosA\)
c) \(tan(A + C) = - \tan B;\
cot(A + B) = - cotC\)
b) \(\sin\frac{A + B}{2} =
\cos\frac{C}{2};\ cos\frac{B + C}{2} = \sin\frac{A}{2}\)
d) \(\tan\frac{A + C}{2} = \cot\frac{B}{2};\ cot\frac{A
+ B}{2} = \tan\frac{C}{2}\)
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \(y =
\frac{2 + \cos x}{\sin x + \cos x - 2}\)
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng \(- \pi < x < \pi\): \(y = \frac{\cos x + 2sinx + 3}{2cosx - \sin x +
4}\).
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho \(sin^{2}B + sin^{2}C =
2sin^{2}A\). Chứng minh \(A \leq
60^{o}\).
b) \(2(a\cos A + b\cos B + c\cos C) = a + b
+ c \Rightarrow \Delta ABC\) đều.
c) Chứng minh: \(0 < \sin A + \sin B +
sinC - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA < 1\)
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
\(\begin{matrix}
1)sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \sin b\cos a \\
2)cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b \\
\end{matrix}\)
\(3)tan(a \pm b) =
\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}\)
B. Bài tập áp dụng các công thức lượng giác
1. Chứng minh các công thức sau:
a) \(\cos a + \sin a = \sqrt{2}\cos\left(
\frac{\pi}{4} - a \right) = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} + a
\right)\)
b) \(\cos a - \sin a = \sqrt{2}\cos\left(
\frac{\pi}{4} + a \right) = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - a
\right)\)
2. Rút gọn các biểu thức:
a) \(\frac{\sqrt{2}\cos a - 2cos\left(
\frac{\pi}{4} + a \right)}{- \sqrt{2}\sin a + 2sin\left( \frac{\pi}{4} +
a \right)}\)
b) \(cos10^{o} + cos11^{o}.cos21^{o} +
cos69^{o}.cos79^{o}\)
c) \((tana - \tan b).cot(a - b) - \tan
a.tanb\)
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) \(tanA + tanB + tanC =
tanA.tanB.tanC\) b) \(\tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2} +
\tan\frac{B}{2}.tan\frac{C}{2} + \tan\frac{C}{2}.tan\frac{A}{2} =
1\)
c) \(\cot A.cotB + \cot B.cotC + \cot
C.cotA = 1\)
d) \(\cot\frac{A}{2} +
\cot\frac{B}{2} + \cot\frac{C}{2} =
\cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}\)
4. a) Cho \(a - b = \frac{\pi}{4}\), chứng minh: \(\frac{1 + \tan b}{1 - \tan b} =
\tan a\) và \(\frac{1 - \tan a}{1 +
\tan a} = - \tan b\).
b) Cho \(a + b = \frac{\pi}{4}\), chứng minh: \((1 + \tan a)(1 + \tan b) =
2\) và \((1 - \cot a)(1 - \cot b) =
2\)
c) Cho \(\begin{matrix}
tan(x + a) = m \\
tan(a - y) = n \\
\end{matrix}\). Chứng minh: \(tan(x +
y) = \frac{a - b}{1 + ab}\).
d) Cho \(\tan a = \frac{2}{5}\), \(\tan b = \frac{3}{7}\) \((0 < a,\ b < 1v)\). Tìm a + b.
e) Cho \(\tan a = - \frac{1}{2}\) \((\frac{\pi}{2} < a < \pi)\) và \(\tan b = 3\) \((0 < b < \frac{\pi}{2})\). Tìm a + b.
f) Cho \(\tan a = 1\frac{2}{3}\), \(\tan b = \frac{1}{4}(0 < a,\ b <
1v)\). Tìm a - b.
g) Cho \(\tan a = \frac{1}{12}\), \(\tan b = \frac{2}{5}\), \(\tan b = \frac{1}{3}\). Chứng minh a + b + c = 45o.
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: \(15^{o}\)hoặc \(\frac{\pi}{12}\) và \(75^{o}\)hoặc \(\frac{5\pi}{12}\).
6. Cho \(\alpha,\ \beta,\
\gamma\) thoả mãn điều kiện: \(\alpha +
\beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A = \sqrt{1 + \tan\alpha.tan\beta} +
\sqrt{1 + \tan\beta.tan\gamma} + \sqrt{1 +
\tan\gamma.tan\alpha}\)
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân:
a) \(\frac{cos^{2}A + cos^{2}B}{sin^{2}A +
sin^{2}B} = \frac{1}{2}(cot^{2}A + cot^{2}B)\) b) \(\frac{\sin B}{\sin C} = 2cosA\)
c) \(a + b = \tan\frac{A}{2}(a\tan A +
b\tan B)\) d) \(\tan A + 2tanB = \tan
A.tan^{2}B\)
8. Chứng minh bất đẳng thức: \(\sin\frac{x
+ y}{2} \geq \frac{1}{2}(sinx + \sin y)\) với \(0 < x,y < \pi\).
9. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(sin^{4}\frac{\pi}{16} +
sin^{4}\frac{3\pi}{16} + sin^{4}\frac{5\pi}{16} +
sin^{4}\frac{7\pi}{16}\)
b) \(tan67^{o}5' - cot67^{o}5' + \cot
7^{o}5' - \tan 7^{o}5'\)
c) \(\cos 5^{o}cos55^{o}cos65^{o}\)
d) \(\cos\frac{\pi}{11} + \cos\frac{3\pi}{11}
+ \cos\frac{5\pi}{11} + \cos\frac{7\pi}{11} +
\cos\frac{9\pi}{11}\)
10. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) \(\sqrt{4sin^{4}x + sin^{2}2x} +
4cos^{2}\left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)\) với \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\) b) \(4cos^{4}x + cos^{2}2x -
4cos^{2}xcos2x\)
c) \(cos^{2}x + cos^{2}\left( \frac{\pi}{3}
+ x \right) + cos^{2}\left( \frac{\pi}{3} - x \right)\) d) \(sin^{2}x + sin^{2}\left( \frac{2\pi}{3} + x
\right) + sin^{2}\left( \frac{2\pi}{3} - x \right)\)
11. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: \(\sin A = \frac{\sin B + \sin C}{\cos A + \cos
B}\)
12. Chứng minh nếu các góc của \(\Delta
ABC\) thoả mãn: \(\cos A + \cos B +
\cos C = \frac{3}{2}\) thì nó là tam giác đều.
13. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của \(\Delta ABC\) thoả mãn hệ thức: \(\cos A + \cos B = \frac{b + c}{a}\) thì tam giác đó là tam giác vuông.
14. Cho tam giác ABC và \(5tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = 1\). Chứng minh rằng: 3c = 2(a + b).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
...............................................................................
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Bài tập công thức lượng giác lớp 10. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé
Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.
