Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12

Bảng công thức lượng giác đầy đủ, chi tiết

73 109.629

Bảng công thức lượng giác

1. Công thức Lượng giác cơ bản
2. Công thức cộng
3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác
4. Công thức nhân
5. Công thức hạ bậc
6. Biến đổi tổng thành tích
7. Biến đổi tích thành tổng
8. Nghiệm phương trình lượng giác
9. Dấu của các giá trị lượng giác
10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt
11. Công thức lượng giác bổ sung
12. Cách học thuộc Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú"

1. Công thức Lượng giác cơ bản

$\tan x = \frac{sinx}{cosx}$	$cotx = \frac{cosx}{sinx}$
sin²x + cos²x = 1	tan x . cot x = 1
1 + tan² x = $\frac{1}{\cos^{2}x}$	1 + cot² x = $\frac{1}{\sin ^{2}x}$

Thơ nhớ hàm lượng giác cơ bản

Sin bình cộng cos bình thì phải bằng 1

Sin bình thì bằng tan bình trên tan bình cộng 1

Cos bình bằng một trên một cộng tan bình

Một trên sin bình bằng 1 cộng cot bình

Một trên cos bình bằng một cộng tan bình

Bắt được quả tan,

Sin nằm trên cos,

Cot cải lại,

Cos nằm trên sin.

Hoặc là:

Bắt được quả tan,

Sin nằm trên cos (tan x = sin x / cos x),

Cot dại dột,

Bị cos đè cho (cot x = cos x / sin x).

2. Công thức cộng

cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b	cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a	sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a
tan(a + b) = $\frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}$	tan(a - b) = $\frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}$

Thơ công thức cộng

Cos cộng cos thì bằng hai cos cos

Cos trừ cos phải bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin thì bằng hai sin cos

Sin trừ sin bằng hai cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin nhớ nha dấu trừ

Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ mà.

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Góc đối nhau ( cos đối)	Góc bù nhau (sin bù)	Góc phụ nhau (Phụ chéo)	Góc hơn kém (Khác pi tan)
cos (-α) = cos α	sin (π - α) = sin α	sin (π/2 - α)= cos α	sin (π + α) = - sin α
sin (-α) = -sin α	cos (π - α) = - cos α	cos (π/2 - α) = sinα	cos (π + α) = - cosα
tan (-α) = - tan α	tan ( π - α) = - tan α	tan (π/2 - α) = cot α	tan (π + α) = tanα
cot (-α) = -cot α	cot (π - α) = – cot α	cot (π/2 - α) = tan α	cot (π + α) = cotα

Cung hơn kém π / 2

cos(π/2 + x) = - sinx
sin(π/2 + x) = cosx

Thơ nhớ cung đặc biệt

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Cosin của 2 góc đối thì bằng nhau.

Sin của 2 góc bù nhau cũng bằng nhau.

Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia.

Tan góc này bằng Cot góc kia.

Tan của 2 góc hơn kém pi cũng bằng nhau.

4. Công thức nhân

a. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
tan2a = $\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$

Thơ:

Sin gấp đôi thì bằng 2 lần sin cos

Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sin, bằng luôn hai cos bình trừ đi 1, cũng bằng một trừ hai sin bình mà thôi.

Tang gấp đôi, ta lấy 2 tang chia đi một trừ bình tang ra liền.

b. Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin³a
cos3a = 4cos³a - 3cosa
tan3a = $\frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}$

Thơ:

Nhân 3 một gốc bất kỳ.

Sin thì ba bốn, Cos thì bốn ba.

Dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phường thì bốn chổ, thế là ra ngay.

5. Công thức hạ bậc

${\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}$	${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}$
${\sin ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}$	${\cos ^3}a = \frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}$

6. Biến đổi tổng thành tích

$\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}$	$\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}$
$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}$	$\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}$

Thơ nhớ:

Sin tổng lập tổng sin cô.

Cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng.

Tan tổng thì lập tổng hai tan.

Một trừ tan tích mẫu mang thương sầu.

Gặp hiệu ta chớ phải lo.

Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng.

7. Biến đổi tích thành tổng

$\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$
$\sin a.\sin b = -\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]$
$\sin a.\cos b = - \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]$

Thơ:

Cos cos thì nữa cos cộng cộng cos trừ.

Sin sin thì trừ nữa cos cộng trừ cos trừ.

Sin cos thi nữa sin cộng cộng sin trừ.

8. Nghiệm phương trình lượng giác

Kiến thức cơ bản

Trường hợp đặc biệt

$\sin a = \sin b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b + k2\pi } \\ {a = \pi - b + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = \cos b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b + k2\pi } \\ {a = - b + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\tan a = \tan b \Leftrightarrow a = b + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cot a = \cot b \Leftrightarrow a = b + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin a = 0 \Leftrightarrow a = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin a = - 1 \Leftrightarrow a = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = 1 \Leftrightarrow a = k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = - 1 \Leftrightarrow a = \pi + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

9. Dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư số	I	II	III	IV
Giá trị lượng giác	I	II	III	IV
sin x	+	+	-	-
cos x	+	-	-	+
tan x	+	-	+	-
cot x	+	-	+	-

10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

$\alpha$	$0$ $\left( {{0}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{6}$ $\left( {{30}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{4}$ $\left( {{45}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{3}$ $\left( {{60}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{2}$ $\left( {{90}^{0}} \right)$	$\frac{2\pi }{3}$ $\left( {{120}^{0}} \right)$	$\frac{3\pi }{4}$ $\left( {{135}^{0}} \right)$	$\frac{5\pi }{6}$ $\left( {{150}^{0}} \right)$	$\pi$ $\left( {{180}^{0}} \right)$	$\frac{3\pi }{2}$ $\left( {{270}^{0}} \right)$	$2\pi$ $\left( {{360}^{0}} \right)$
$\sin \alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0
$\cos \alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1	0	1
$\tan \alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	\|\|	$-\sqrt{3}$	-1	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	0	\|\|	0
$\cot \alpha$	\|\|	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	-1	$-\sqrt{3}$	\|\|	0	\|\|

11. Công thức lượng giác bổ sung

$\sin a + \cos b = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)$
$\sin a - \cos b = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)$
tan a + cot a = $\frac{2}{{\sin 2a}}$
cot a - tan a = 2cot 2a
sin⁴a + cos⁴a = 1 - $\frac{1}{2}$ sin²2a = $\frac{1}{4}$ cos4a + $\frac{3}{4}$
sin⁶a + cos⁶a = 1 - $\frac{3}{4}$ sin²2a = $\frac{3}{8}$ cos4a + $\frac{5}{8}$

Biểu diễn công thức theo $t = \tan \frac{\alpha }{2}$

$\sin \alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$
$\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

$\tan \alpha = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}$
$\cot \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{2t}}$

12. Cách học thuộc Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú"

Cách học thuộc các công thức lượng giác bằng thơ

Công thức CỘNG trong lượng giác

Cos + cos = 2 cos cos

cos trừ cos = trừ 2 sin sin

Sin + sin = 2 sin cos

sin trừ sin = 2 cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).

Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ òm.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bắt được quả tan

Sin nằm trên cos ([email protected] = [email protected]:[email protected])

Cot dại dột

Bị cos đè cho. ([email protected] = [email protected]:[email protected])

Cách 2:

Bắt được quả tan

Sin nằm trên cos

Cot cãi lại

Cos nằm trên sin!

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NHÂN BA

Nhân ba một góc bất kỳ,

sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,

dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn,

… thế là ok.

Công thức gấp đôi:

+ Sin gấp đôi = 2 sin cos

+ Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 + 2 lần bình cos

= + 1 trừ 2 lần bình sin

+Tang gấp đôi

Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan)

Chia 1 trừ lại bình tan, ra liền.

Cách nhớ công thức: tan(a + b)=(tana + tanb)/1 - tana.tanb

tan một tổng 2 tầng cao rộng

trên thượng tầng tan + tan tan

dưới hạ tầng số 1 ngang tàng

dám trừ một tích tan tan oai hùng

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Cos cos nửa cos(+) cộng cos(-)

Sin sin nửa cos(-) trừ cos (+)

Sin cos nửa sin(+) cộng sin(-)

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng

còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu

gặp hiệu ta chớ lo âu,

đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng

Một phiên bản khác của câu Tan mình cộng với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

tanx cộng tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta

tanx trù tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t = tg(a/2))

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một cộng bình tê (1 + t²)

Sin thì tử có hai tê (2t),

cos thì tử có một trừ bình tê (1 - t²).

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài (Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc (Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây (Cot = Kề/ Đối)

Sin: đi học (cạnh đối - cạnh huyền)

Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền)

Tan: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề)

Cot: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cos lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tan ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cot cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra

Sin bù, cos đối, hơn kém pi tan, phụ chéo.

+ Sin bù: Sin(180-a) = sina

+ Cos đối: Cos(-a)=cosa

+ Hơn kém pi tang:

Tan (a + 180) = tan a

Cot (a + 180) = cot a

+ Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội 2 pi sin, cos

Tan, cot hơn kém bội pi.

Sin(a+k.2.180⁰) = sin a ; Cos(a + k.2.180⁰) = cos a

Tan (a + k180⁰)=tan a ; Cot(a + k180⁰)=cot a

* sin bình + cos bình = 1

* Sin bình = tan bình trên tan bình + 1.

* cos bình = 1 trên 1 + tan bình.

* Một trên cos bình = 1 + tan bình.

* Một trên sin bình = 1 + cot bình.

(Chú ý sin *; cos @ ; tan @ ;cot * với các dấu * và @ là chúng có liên quan nhau trong CT trên)

Học công thức lượng giác “thần chú”

• Sin = đối/ huyền

Co s= kề/ huyền

Tan = đối/ kề

Cot = kề/ huyền

* Thần chú: Sin đi học, Cos không hư, tan đoàn kết, cot kết đoàn

Hoặc: Sao đi học, cứ khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây!

• Công thức cộng:

Cos(x ± y)= cosx. cosy $\mp$ sinx . siny

Sin(x ± y)= sinxcosy ± cosxsiny

* Thần chú: Cos thì cos cos sin sin

Sin thì sin cos cos sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hỡi nàng

Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!

* Thần chú: Tan một tổng hai tầng cao rộng

Trên thượng tầng tan cộng cùng tan

Hạ tầng số 1 ngang tàng

Dám trừ đi cả tan tan oai hùng

Hoặc: Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ òm.

• Công thức biến đổi tổng thành tích:

Ví dụ: cosx + cosy= 2cos cos

(Tương tự những công thức như vậy)

* Thần chú: cos cộng cos bằng 2 cos cos

Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin

Sin cộng sin bằng 2 sin sin

Sin trừ sin bằng 2 cos sin.

* Tan ta cộng với tan mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta.

Công thức biến đổi tích thành tổng:

Ví dụ: cosx.cosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)] (Tương tự những công thức như vậy)

* Thần chú: Cos cos nửa cos(+) cộng cos(-)

Sin sin nửa cos(-) trừ cos(+)

Sin cos nửa sin(+) cộng sin(-)

• Công thức nhân đôi:

Ví dụ: sin2x= 2sinxcosx (Tương tự những công thức như vậy)

Thần chú: Sin gấp đôi bằng 2 sin cos

Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sin

= trừ 1 cộng hai bình cos

= cộng 1 trừ hai bình sin

Chỉ việc nhớ công thức nhân đôi của cos bằng thần chú trên rồi từ đó có thể suy ra công thức hạ bậc.

Tan gấp đôi = Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan)

Chia 1 trừ lại bình tan, ra liền.

• Hàm số lượng giác và các cung có liên quan đặc biệt:

Ví dụ: Cos(-x) = cosx

Tan( + x) = tan x

* Thần chú: Sin bù, Cos đối, Tan Pi,

Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia

Hoặc: Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém pi tan.

Diện tích

Muốn tính diện tích hình thang
Đáy lớn, đáy bé ta mang cộng vào
Rồi đem nhân với đường cao
Chia đôi kết quả thế nào cũng ra.

Muốn tìm diện tích hình vuông,
Cạnh nhân với cạnh ta thường chẳng sai
Chu vi ta đã học bài,
Cạnh nhân với bốn có sai bao giờ.
Muốn tìm diện tích hình tròn,
Pi nhân bán kính, bình phương sẽ thành.
Nguyên tắc để 2 tam giác bằng nhau
Con gà con, gân cổ gáy, cúc cù cu
(cạnh góc cạnh, góc cạnh góc, cạnh cạnh cạnh)

Bên cạnh việc học thuộc công thức lượng giác bằng thơ, thần chú nêu trên bằng phương pháp làm bài tập, luyện tập phản xạ: Với phương pháp này, các bạn cần giải liên tục khoảng 10 bài toán có chứa những công thức lượng giác cần học. Sau đó 1 tuần, bạn hãy ôn lại và đến khi trước kỳ thi lại ôn tập thêm lần nữa. Cách học thuộc công thức lượng giác này mặc dù đơn giản nhưng lại mang đến hiệu quả vô cùng lớn, vừa ghi nhớ công thức vừa rèn luyện khả năng giải các dạng bài tập. Hoặc có thể học bằng phương pháp sử dụng các hình ảnh, với cách học thuộc công thức lượng giác này chỉ có thể áp dụng với những bạn có năng khiếu vẽ và có tư duy về hình ảnh. Bạn có thể vẽ những hình ảnh mô tả lại các công thức lượng giác, và khi nhìn vào chúng có thể liên tưởng ngay đó là công thức gì.

Lượng giác là phần thi chiếm số điểm tương đối trong các bài thi, các bài kiểm tra và trong các kỳ thi. Nếu như không nắm vững chắc chắn người học sẽ không thể nào làm được. Ngoài bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12 các bạn cũng có thể tìm hiểu thêm những tài liệu khác, dạng bài tập, công thức khác. Mong rằng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập nhé.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12 được VnDoc sưu tầm và đăng tải gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bảng công thức lượng giác này là tổng hợp các công thức lượng giác được học trong chương trình trung học phổ thông. Cụ thể, bảng công thức lượng giác này bao gồm các kiến thức về giá trị lượng giác của các cung đặc biệt, giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, các công thức nghiệm cơ bản và các công thức lượng giác. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp đỡ các bạn trong quá trình học tập. Sau đây là tài liệu, mời các bạn học sinh tải về tham khảo.

---------------------------------------------

Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12 được VnDoc chia sẻ trên đây là tổng hợp công thức lượng giác học từ lớp 10 - 12, với các công thức về cung. Hy vọng với tài liệu này các bạn sẽ nắm chắc kiến thức về lượng giác nói chung, từ đó hoàn thiện tốt bài tập được giao. Chúc các bạn học tốt và nhớ tham khảo thêm nhiều bài tập hay tại VnDoc.com nha

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12. Mong rằng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Soạn bài lớp 12, Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Tham khảo thêm